1、第5课时直线的方程(3) 教学过程一、 问题情境问题1直线的点斜式、斜截式、截距式、两点式方程是关于x, y的什么方程?问题2关于x, y的二元一次方程Ax+By+C=0(A, B不全为0)是否一定表示一条直线?二、 数学建构(一) 生成概念1. 引导学生研究上面的问题.(1) 直线的点斜式、斜截式、截距式、两点式方程都是关于x, y的二元一次方程.(2) 关于x, y的二元一次方程Ax+By+C=0(A, B不全为0)是否一定表示一条直线呢?这个方程是否表示直线,就看此方程能否转化为点斜式、斜截式、截距式、两点式、x=x1这五种形式之一.(1) 当B0时,方程Ax+By+C=0可化为y=-x
2、-,它表示斜率-,在y轴上的截距为-的直线.(2) 当B=0时,方程Ax+By+C=0可化为x=-,它表示垂直于x轴的直线.综上:关于x, y的二元一次方程Ax+By+C=0(A, B不全为0)都表示一条直线.问题3平面直角坐标系内的任意一条直线是否都可以用二元一次方程Ax+By+C=0(A, B不全为0)表示呢?平面直角坐标系内的直线可分为两类,第一类是与x轴垂直的直线,第二类是与x轴不垂直的直线.与x轴垂直的直线的方程为x=x1,可化为x+0y-x1=0,(1与0不全为0)与x轴不垂直的直线可用斜截式方程表示,而y=kx+b可化为kx-y+b=0,(k与-1不全为0)所以平面直角坐标系内的
3、任意一条直线都可以用二元一次方程Ax+By+C=0(A, B不全为0)表示.2. 数学概念直线的一般式方程方程Ax+By+C=0(A, B不全为0)叫做直线的一般式方程.(二) 理解概念1. 直线方程的一般式Ax+By+C=0中,A, B满足条件不全为0;当A=0, B0时,方程表示垂直于y轴的直线;当B=0, A0时,方程表示垂直于x轴的直线.2. 直线方程的一般式Ax+By+C=0(A, B不全为0)没有局限性,它能表示平面内任何一条直线.3. 直线方程的一般式Ax+By+C=0中,因为A, B不全为0,总可以两边同除以A, B之一,从而转化为只有两个参量的方程:mx+y+n=0或x+my
4、+n=0.不与y轴垂直的直线方程可设为x=py+t.4. 因为方程Ax+By+C=0(A, B不全为0)表示一条直线,所以它也称为线性方程.(三) 巩固概念1. 把方程y-y1=k(x-x1)化为一般式为kx-y+y1-kx1=0.2. 把方程+=1(ab0)化为一般式为bx+ay-ab=0.3. 把方程=化为一般式为(y2-y1)x+(x1-x2)y+x2y1-x1y2=0.2三、 数学运用【例1】(教材P86例1)求直线l:3x+5y-15=0的斜率及它在x轴、y轴上的截距,并作图.3处理建议可以把例1、例2放在一起让学生板演.解直线l的方程可化为y=-x+3,也可化为+=1,直线的斜率为
5、-,它在x轴、y轴上的截距分别为5和3.(图略)题后反思根据方程求斜率,可把方程化斜截式.【例2】(教材P86例2)设直线l的方程为x+my-2m+6=0,根据下列条件分别确定m的值:(1) 直线l在x轴上的截距为-3.(2) 直线l的斜率为1.4解(1) 据题意直线l过点(-3, 0),把坐标(-3, 0)代入直线l的方程得-3-2m+6=0,解得m=.(2) 据题意,直线l的斜率存在,所以m0,直线l的方程可化为y=-x+2-,所以-=1,解得m=-1.【例3】求斜率为,且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线方程.5处理建议引导学生分析,求直线方程,差什么量?如何构造此量的方程,如何设出
6、直线方程,设直线方程需要注意什么?解法一据题意可设所求直线的方程为y=x+m,(m0),在方程中令y=0得x=-m,直线与两坐标轴交于A与B(0, m)两点,AOB的面积为|m|=6.解得m=3或m=-3.因此,所求直线的方程为y=x+3或y=x-3,即3x-4y+12=0或3x-4y-12=0.解法二据题意可设所求直线的方程为+=1(ab0),此方程可化为y=-x+b,据题意可知解得或因此,所求直线的方程为+=1或+=1,即3x-4y+12=0或3x-4y-12=0.题后反思根据条件,恰当选择方程的形式,可简化解题,最后形式常化为一般式方程,解法二对解方程组的要求较高.*【例4】已知直线l:
7、 +=1.(1) 如果直线l的斜率为2,求m的值.(2) 如果直线l与两坐标轴的正半轴相交,求与坐标轴围成三角形面积最大时的直线l的方程.6处理建议引导学生审题:“正半轴相交”是什么意思?“三角形面积最大时”是什么意思,为什么三角形面积会有最大值?解(1) 直线l的方程可化为y=x+m,所以=2,解得m=4.(2) 直线l与两坐标轴的交点为(2-m, 0), (0, m),据题意直线l与两坐标轴围成三角形面积为S=m(2-m)=-(m-1)2+,因为0m2,所以m=1时,S取到最大值,故所求的直线l的方程为+=1,即x+y-1=0.题后反思注意挖掘条件此题可变为“已知直线l与两坐标轴的正半轴相
8、交,在两坐标轴上的截距之和为2,求与坐标轴围成三角形面积最大时的直线l的方程.”这样解法就多了,可以设斜截式方程,利用基本不等式求解.四、 课堂练习1. 直线3x+4y=6的斜率为-,在y轴上截距为.2. 直线4x-3y-12=0在x轴、y轴上的截距分别为3, -4.3. 填写下表直线l:Ax+By+C=0(A, B不全为0)与坐标轴的关系直线过原点直线l垂直于x轴直线l垂直于y轴直线l与两坐标轴都相交A, B, C满足的关系C=0B=0A=0AB04. 过两点(-4, 0)和(0, 2)的直线的一般式方程为x-2y+4=0.5. 过两点(3, 0)和(0, -1)的直线的一般式方程为x-3y-3=0.五、 课堂小结1. 到目前为止研究了直线方程的五种形式:点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式,要掌握五种形式的适用范围,并能在直线方程的各种形式之间熟练转化.2. 学会根据条件选用恰当的形式求直线的方程,用一般式设方程,往往并不简单,因为一般式中有三个参量A, B, C.
