1、第18课时空间几何体的体积(2) 教学过程一、 问题情境问题球既没有底面,也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形,那么怎样来求球的表面积与体积呢?引导学生进行思考.二、 数学建构问题球的大小与球的半径有关,如何用球半径来表示球的体积和表面积?(激发学生推导球的体积和表面积公式.)球的体积:如果用一组等距离的平面去切割球,当距离很小之时得到很多“小圆片”,“小圆片”的体积的和正好是球的体积,由于“小圆片”近似于圆柱形状,所以它的体积也近似于圆柱形状,所以它的体积也近似于相应的圆柱体积之和,因此求球的体积可以按“分割求和化为准确和”的方法来进行.步骤:第一步:分割如图:把半球的垂直于底面的半
2、径OA作n等分,过这些等分点,用一组平行于底面的(图1)平面把半球切割成n个“小圆片”,“小圆片”厚度近似为,底面是“小圆片”的底面.如图1:得Vi=(i=1, 2 , , n).第二步:求和V半球=V1+V2+V3+VnR31-.第三步:化为准确的和当n时,0.(同学们讨论得出)所以V半球=R3=R3,所以V球=R3.我们还可以做一个倒沙实验证实这样一个的结论:一个底面半径和高都等于R的圆柱,挖去一个以上底面为底,下底面圆心为顶点的圆锥后,所得几何体的体积与一个半径为R的半球的体积相等,由此得到:V球=R2R-R2R=R3, V球=R3.球的表面积:将球的表面分成n个小球面,每个小球面的顶点
3、与球心O连结起来,近似的看作是一个棱锥,其高近似的看作是球的半径.则球的体积约为这n个小棱锥的体积和,表面积是这n个小球面的面积和.当n越大时,分割得越细密,每个小棱锥的高就越接近球的半径,于是当n趋近于无穷大时(即分割无限加细),小棱锥的高就变成了球的半径(这就是极限的思想).所有小棱锥的体积和就是球的体积.最后根据球的体积公式就可以推导出球的表面积公式:S球面=4R2.三、 数学运用【例1】木星的表面积约是地球的120倍,则体积约是地球的多少倍?处理建议学生先思考并计算,体会公式的运用.规范板书解 4=1204, =2, =240.所以木星的体积约是地球的240倍.题后反思面积公式与体积公
4、式的比例关系.变式若三个球的表面积之比为123,则它们的体积之比为多少?提示由表面积之比得半径之比为1,则体积之比为123.【例2】(教材P59例2)如图是一个奖杯的三视图(单位:cm),试画出它的直观图,并计算这个奖杯的体积(精确到0.01cm3).(图2)处理建议学生先观察思考,然后口答,教师在学生中交流,了解学生的思考过程,投影学生的解题过程,纠正出现的错误.规范板书解采用斜二测画法.先画底座,这是一个正四棱台;再画杯身,是长方体;最后画球体.因为V正四棱台=5(152+1511+112)851.667(cm3), V长方体=6818=864(cm3), V球=33113.097(cm3
5、),所以此奖杯的体积V=V正四棱台+V长方体+V球1828.76(cm3).题后反思计算组合体的体积时,应考虑将其转化为计算柱、锥、台、球等常见几何体的体积.【例3】一个正方体内接于半径为R的球内,求正方体的体积.处理建议先让学生独立思考分析,然后口答.规范板书解设正方体的棱长为a.由已知得球的直径等于正方体的体对角线的长,即2R=a, a=R.所以正方体的体积为a3=R3.变式设正方体的全面积为24cm2,一个球内切于该正方体,求这个球的体积.规范板书因为该球内切于正方体,所以球的直径等于正方体的棱长.由已知:6a2=24cm2, a=2, 2R=a,即R=1,所以该球的体积为cm3.题后反
6、思两个几何体相接是指一个几何体的所有顶点都在另一个几何体的表面上;两个几何体相切是指一个几何体的各面与另一个几何体的各面相切.解决几何体相切或相接问题,要利用截面来展现这两个几何体之间的相互关系,从而把空间问题转化为平面问题来解决.四、 课堂练习1. 把球的表面积扩大到原来的2倍,那么体积扩大到原来的2倍.解由面积扩大的倍数可知半径扩大为原来的倍,则体积扩大到原来的2倍.2. 正方体的内切球和外接球的体积之比为13.提示关键要清楚正方体内切球的直径等于棱长a,外接球的直径等于a.两球体积之比为a3(a)3=13.3. 长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3, 4, 5,且它的8个顶点都在同一个球面上,则这个球的表面积为50.提示外接球的直径2R=长方体的体对角线=(a, b, c分别是长、宽、高).4. 一个圆锥与一个球的体积相等,圆锥的底面半径是球半径的3倍,圆锥的高与球半径之比为49.解设球半径为r,圆锥的高为h,则(3r)2h=r3,可得hr=49.五、 课堂小结1. 球的表面积公式和体积公式揭示出球的表面积和体积只与球的半径有关,因此,在解决此类问题时,要充分利用球的半径表示出有关量,找出量与量之间的关系.2. 空间问题转化为平面问题的降维思想.
