1、第2讲概率高考定位1.以选择题、填空题的形式考查古典概型及相互独立事件的概率；2.二项分布的应用是考查的热点；3.以选择题、填空题的形式考查离散型随机变量的期望与方差，难度为中档真 题 感 悟 1(2018浙江卷)设0p1，随机变量的分布列是012P则当p在(0，1)内增大时()AD()减小 BD()增大CD()先减小后增大 DD()先增大后减小解析由题可得E()p，所以D()p2p，所以当p在(0，1)内增大时，D()先增大后减小故选D.答案D2(2018全国卷)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723.
2、在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是()A. B. C. D.解析不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，从中随机选取两个不同的数有C种不同的取法，这10个数中两个不同的数的和等于30的有3对，所以所求概率P，故选C.答案C3(2018全国卷)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为()A0.3 B0.4 C0.6 D0.7解析设“只用现金支付”为事件A，“既用现金支付也用非现金支付”为事件B，“不用现金支付”为事件C，则P(C)1P(A)P(B)10.4
3、50.150.4.故选B.答案B4(2018江苏卷)某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为_解析记2名男生分别为A，B，3名女生分别为a，b，c，则从中任选2名学生有AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc，共10种情况，其中恰好选中2名女生有ab，ac，bc，共3种情况，故所求概率为.答案考 点 整 合1古典概型的概率P(A).2相互独立事件和独立重复试验(1)相互独立事件同时发生的概率P(AB)P(A)P(B)(2)独立重复试验、二项分布如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为C
4、pk(1p)nk，k0，1，2，n.一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(Xk)Cpkqnk，其中0p1，pq1，k0，1，2，n，称X服从参数为n，p的二项分布，记作XB(n，p)，且E(X)np，D(X)np(1p)3离散型随机变量的分布列(1)离散型随机变量的分布列的两个性质pi0(i1，2，n)；p1p2pn1.(2)期望公式E(X)x1p1x2p2xnpn.(3)期望的性质E(aXb)aE(X)b；若XB(n，p)，则E(X)np.(4)方差公式D(X)x1E(X)2p1x2E(X)2p2xnE(X)2pn，标准差为.(5)方
5、差的性质D(aXb)a2D(X)；若XB(n，p)，则D(X)np(1p).热点一古典概型【例1】 (1)(2018宁波十校联考)在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7门学科中任选3门若同学甲必选物理，则甲的不同的选法种数为_，乙、丙两名同学都选物理的概率是_(2)2位男生和3位女生共5位同学站成一排，则3位女生中有且只有两位女生相邻的概率是()A. B. C. D.解析(1)在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7门学科中任选3门， 同学甲必选物理，则甲的不同选法种数为：CC15；乙、丙两名同学7门学科中任选3门，基本事件总数nCC，乙、丙两名同学都选物理，包含的基本事件个数mCC
6、，乙、丙两名同学都选物理的概率是p.(2)依题意，要使3位女生中有且只有两位女生相邻，需先将两名女生捆绑，然后排两名男生，最后将捆绑的两名女生与剩下的一名女生去插空，共有(CA)AA种排法，所以求概率P，故选B.答案(1)15(2)B探究提高(1)解答有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，这常用到计数原理与排列、组合的相关知识(2)在求基本事件的个数时，要准确理解基本事件的构成，这样才能保证所求事件所包含的基本事件个数的求法与基本事件总数的求法的一致性【训练1】 (1)从分别标有1，2，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上
7、的数奇偶性不同的概率是()A. B. C. D.(2)(2018杭州高级中学模拟)4封不同信件放入4个写好地址的信封中，其中全装错的概率为()A. B. C. D.解析(1)由题意得，所求概率p，故选C.(2)将4封不同信件放入4个写好地址的信封中有A24(种)不同的放法其中全装错有339(种)不同的放法，所以由古典概型可知，全装错的概率为P，故选B.答案(1)C(2)B热点二相互独立事件和独立重复试验【例2】 (2018全国卷)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)2.4，P(X4)P(X6)，则p()A0.
8、7 B0.6 C0.4 D0.3解析由题意知，该群体的10位成员使用移动支付的概率分布符合二项分布，所以D(X)10p(1p)2.4，所以p0.6或p0.4.由P(X4)P(X6)，得Cp4(1p)6Cp6(1p)4，即(1p)20.5，所以p0.6.答案B探究提高求相互独立事件和独立重复试验的概率的注意点(1)求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，分析复杂事件能转化为几个彼此互斥事件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后用概率公式求解(2)注意辨别独立重复试验的基本特征：在每次试验中，试验结果只有发生与不发生两种情况；在每次试验中，事件发生的概率相同【训练2】 将一
9、枚均匀的硬币投掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为_解析正面4次，反面2次的概率为P1C；正面5次反面1次的概率为P2C；正面6次，反面0次的概率为P3C，则所求概率PP1P2P3.答案热点三离散型随机变量的分布列【例3】 (1)(2018台州模拟)已知随机变量X的分布列如表所示，则E(6X8)_，D(X)_.X123P0.20.40.4(2)设随机变量X的分布列为X123Pa 则a_，E(X)_解析(1)E(X)10.220.430.42.2，E(6X8)6E(X)862.2821.2，D(X)0.2(12.2)20.4(22.2)20.4(32.2)20.56.(2)根据所给
10、分布列，可得a1，E(X)123.答案(1)(2)探究提高求解随机变量分布列问题的两个关键点(1)求离散型随机变量分布列的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，然后综合应用各类概率公式求概率(2)求随机变量的期望与方差的关键是正确求出随机变量的分布列若随机变量服从二项分布，则可直接使用公式法求解【训练3】 (1)随机变量的分布列如下：101Pa0.25b若E()，则D()_(2)(2018丽水调研)已知随机变量 满足E(1)5，D(1)5 ，则下列说法正确的是()AE()5，D()5 BE()4，D()4CE()5，D()5 DE()4，D()5解析(1)由题设可知解得a，b，所以
11、D().(2)随机变量 满足E(1)5，D(1)5，1E()5，D()5，E()4，D()5.故选D.答案(1)(2)D1运用公式P(AB)P(A)P(B)时一定要注意公式成立的条件，只有当事件A，B相互独立时，公式才成立2注意二项分布与超几何分布的联系与区别有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理3求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X取各个值的概率4要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误5超几何分布是一种常见的离散型随机变量的概率分布模型，要会根据问题特征
12、去判断随机变量是否服从超几何分布，然后利用相关公式进行计算.一、选择题1现有编号为A，B，C，D的四本书，将这4本书平均分给甲、乙两位同学，则A，B两本书不被同一位同学分到的概率为()A. B. C. D.解析将4本书平均分给甲、乙两位同学，共有C6(种)不同的分法，A，B两本书不被同一位同学分到，则有AA4(种)分法，所以所求概率为，故选C.答案C2小王同学有三支款式相同、颜色不同的圆珠笔，每支圆珠笔都有一个与之同颜色的笔帽，平时小王都将笔和笔帽套在一起，但偶尔会将笔和笔帽搭配成不同色将笔和笔帽随机套在一起，请问小王将两支笔和笔帽的颜色混搭的概率是()A. B. C. D.解析设三只笔的笔筒
13、与笔帽的搭配方式分别有：(Aa，Bb，Cc)，(Aa，Bc，Cb)，(Ab，Ba，Cc)，(Ac，Bb，Ca)，(Ab，Bc，Ca)，(Ac，Ba，Cb)，共6种情形，其中恰有两只笔和笔帽的颜色混搭的可能有(Aa，Bc，Cb)，(Ab，Ba，Cc)，(Ac，Bb，Ca)共3种情形，故所求事件的概率P，故选C.答案C3投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为()A0.648 B0.432 C0.36 D0.312解析该同学通过测试的概率为0.63C0.62(10.6)0.648，故选A.答案A4(2
14、018稽阳联谊学校联考)随机变量的分布列如下，且满足E()2，则E(ab)的值为()123PabcA.0B1C2D无法确定，与a，b有关解析由题意得，abc1，a2b3c2，3，得2ab1，所以E(ab)aE()b2ab1，故选B.答案B5某游戏中一个珠子从图中的通道(图中实线表示通道)由上至下滑下，从最下面的六个出口(如图所示1，2，3，4，5，6)出来，规定猜中出口者为胜如果你在该游戏中，猜得珠子从3号出口出来，那么你取胜的概率为()A. B.C. D以上都不对解析我们把从A到3的路线图单独画出来：分析可得，从A到3共有C10(种)走法，每一种走法的概率都是，所以珠子从出口3出来的概率是C
15、.故选A.答案A6从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任取3个不同的数，每个数被取到的可能性相同，则这3个数的和恰好能被3整除的概率是()A. B. C. D.解析从10个数中任取3个共有C120(种)取法，若所取的3个数的和恰能被3整除，则第一类：这3个数从1，4，7，10中取，共有C4(种)取法；第二类：这3个数从2，5，8中取，共有C1(种)取法；第三类：这3个数从3，6，9中取，共有C1(种)取法；第四类：从1，4，7，10中取1个数，从2，5，8中取1个数，从3，6，9中取1个数，共有43336(种)取法，所以所取的3个数的和恰好能被3整除的概率是，故选D.答案D7
16、(2018温州模拟)设是离散型随机变量，P(x1)，P(x2)，且x1x2，现已知：E()，D()，则x1x2的值为()A. B. C3 D.解析E()，D()，P(x1)，P(x2)，x1x2，.由及x1x2可得x1x23.所以C选项是正确的故选C.答案C二、填空题8将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则所得的两个点数中至少有一个是奇数的概率为_解析将一颗骰子先后抛掷2次，有6636种结果，其中没有奇数的结果有339种，故所求概率为1.答案9一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则D(X)_解析有放回地抽取，是一个二项分布
17、模型，其中p0.02，n100，则D(X)np(1p)1000.020.981.96.答案1.9610(2018宁波十校适应性考试)将3个小球随机地投入编号为1，2，3，4的4个小盒中(每个盒子容纳的小球的个数没有限制)，则1号盒子中小球的个数的期望为_解析因为3个小球依次投入4个小盒中，彼此之间没有影响，因此符合独立性重复试验与二项分布，每个小球落在1号小盒的概率都是，故期望为3.答案11有一批产品，其中有12件正品和4件次品，有放回地任取3件，若X表示取到次品的件数，则D(X)_解析由题意知，取到次品的概率为，XB，D(X)3.答案12(2018金丽衢十二校联考)用黑白两种颜色随机地染如下
18、表格中6个格子，每个格子染一种颜色，则有_个不同的染色方法从左至右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子的概率为_解析(1)用黑白两种颜色随机地染表格中的6个格子，每个格子染一种颜色有2664(种)不同的染色方法；(2)分三类：第一类，第1格染黑色，第2格染白色，有6种不同的染法；第二类，第1，2格染黑色，第3格染白色，有6种不同的染法；第三类，当第1，2，3格均为黑色，则第4，5，6格中的颜色可任意选，共有238(种)不同的染法综上，由分类加法计数原理知满足条件的不同染色方法共有66820(种)，故所求概率为.答案6413已知离散型随机变量X的分布列为X012Pa则变量X的期望E(
19、X)_，方差D(X)_.解析由a1，解得a，所以期望E(X)0121，D(X)(01)2(11)2(21)2.答案114(2018湖州模拟)随机变量的分布列如下：101Pabc其中a，b，c成等差数列，若随机变量的期望E()，则a的值是_，随机变量的方差D()的值是_解析由2bac，abc1，E()ca，解得a，b，c，所以D().答案15(2017浙江卷改编)已知随机变量i满足P(i1)pi，P(i0)1pi，i1，2.若0p1p2，或)解析由题意可知i(i1，2)服从两点分布，E(1)p1，E(2)p2，D(1)p1(1p1)，D(2)p2(1p2)，又0p1p2，E(1)E(2)，把方差
20、看作函数yx(1x)，根据0p1p2知，D(1)D(2)答案16设S是不等式3的解集，整数m，nS，若p(m，n)，q(1，2)，则pq的概率为_，设m2，则其期望E()为_解析不等式3的解集为S.因为m，n为整数，所以m，n2，1，0，1，2，3，所以基本事件总数为6636.因为pq2nm0，满足条件的(m，n)有3个，分别为(0，0)，(2，1)，(2，1)，所以所求概率P.因为m2的所有不同取值为0，1，4，9，且有P(0)，P(1)，P(4)，P(9).所以E()0149.答案17有甲、乙两个盒子，甲盒子中装有3个小球，乙盒子中装有5个小球，每次随机取一个盒子并从中取一个球，则甲盒子中的球被取完时，乙盒子中恰剩下2个球的概率为_，当取完一个盒子中的球时，另一个盒子恰剩下个球，则的期望为_解析甲盒子中的球被取完时，乙盒子中恰剩下2个球的概率PC；由题意，知的可能取值为1，2，3，4，5，因为P(1)CC，P(2)CC，P(3)C，P(4)C，P(5)，所以E()12345.答案
