1、江西省南昌市进贤一中2021届高三数学暑期摸底考试试题 理一、单选题1已知函数的定义域为，函数的定义域为，则（ ）A B且 C D且2若复数是虚数单位），则的共轭复数（ ）ABCD3二项式的展开式中的常数项为（ ）A15B20C15D204已知，令，那么之间的大小关系为（ ）ABCD5已知实数满足约束条件，则的最小值为（ ）A11B9C8D36“”是“直线与圆相切”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件7某学校星期一至星期五每天上午共安排五节课，每节课的时间为40分钟，第一节课上课的时间为7：508：30，课间休息10分钟.某同学请假后返校，若他在8：
2、509：30之间随机到达教室，则他听第二节课的时间不少于20分钟的概率为（ ）ABCD8在中，则（ ）ABC或D9某几何体的三视图如图所示，则它的体积为（ ）ABCD10定义为个正数的“快乐数”.若已知正项数列的前项的“快乐数”为，则数列的前项和为（ ）ABCD11已知点是抛物线的焦点，点为抛物线的对称轴与其准线的交点，过作抛物线的切线，设其中一个切点为，若点恰好在以为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）ABCD12设函数恰有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）A B C D二、填空题13已知均为单位向量，若，则与的夹角为_.14若是奇函数，则_.15数式中省略号“”代表无限重复，但该式是
3、一个固定值，可以用如下方法求得：令原式=t，则，则，取正值得.用类似方法可得_.16在四面体中，若， ，则四面体的外接球的表面积为_.三、解答题（1721题12分）17的内角的对边分别为，已知.（1）求的大小；（2）若，求面积的最大值.18年以来精准扶贫政策的落实，使我国扶贫工作有了新进展，贫困发生率由年底的下降到年底的，创造了人类减贫史上的的中国奇迹.“贫困发生率”是指低于贫困线的人口占全体人口的比例，年至年我国贫困发生率的数据如下表：年份2012201320142015201620172018贫困发生率 10.28.57.25.74.53.11.4（1）从表中所给的个贫困发生率数据中任选两
4、个，求两个都低于的概率；（2）设年份代码，利用线性回归方程，分析年至年贫困发生率与年份代码的相关情况，并预测年贫困发生率.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：(的值保留到小数点后三位）19如图，在四棱锥中，底面是菱形，.（1）证明：；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.20己知椭圆的离心率为，分别是椭圈的左、右焦点，椭圆的焦点到双曲线渐近线的距离为.(1)求椭圆的方程；(2)直线与椭圆交于两点，以线段为直径的圆经过点，且原点到直线的距离为，求直线的方程.21已知函数，其中，为自然对数的底数.（1）当时，证明：对1；（2）若函数在上存在极值，求实数的取值范围四、选做题二选一（10
5、分）22已知直线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）设点，直线与曲线交于两点，求的值.23设函数.（1）求不等式的解集；（2）如果关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.理科数学参考答案1D 2D 3C 4A 5C 6A 7B 8D 9A 10B 11C 12C由题意知函数的定义域为，.因为恰有两个极值点，所以恰有两个不同的解，显然是它的一个解，另一个解由方程确定，且这个解不等于1.令，则，所以函数在上单调递增，从而，且.所以，当且时，恰有两个极值点，即实数的取值范围是.13 141 15
6、4 16由题意可知，四面体是由下方图形中的长方体切割得到，为长方体的四个顶点，则四面体的外接球即为长方体的外接球设长方体长、宽、高分别为则 即长方体体对角线长度为：长方体外接球半径为体对角线长度一半，即四面体外接球表面积：本题正确结果：17（1）由正弦定理得： ，又 ，即由得：（2）由余弦定理得：又（当且仅当时取等号） 即三角形面积的最大值为：18（1）由数据表可知，贫困发生率低于的年份有个从个贫困发生率中任选两个共有：种情况选中的两个贫困发生率低于的情况共有：种情况所求概率为：（2）由题意得：；， 线性回归直线为： 年至年贫困发生率逐年下降，平均每年下降当时，年的贫困发生率预计为19（1）证
7、明：取中点，连接，四边形为菱形 又 为等边三角形，又为中点 ，为中点 平面， 平面又平面 （2）以为原点，可建立如下图所示空间直角坐标系：由题意知：，则，设平面的法向量，令，则， 设直线与平面所成角为即直线与平面所成角的正弦值为：20（1）由题意知，双曲线方程知，其渐近线方程为：焦点到双曲线渐近线距离：，解得：由椭圆离心率得： 椭圆的方程为：（2）原点到直线距离为：，整理得：设，由得：则，即：，以为直径的圆过点 又 ，即：由且得：，满足直线方程为：21(1)当时，于是，.又因为，当时，且.故当时，即. 所以，函数为上的增函数，于是，.因此，对，；(2) 方法一：由题意在上存在极值，则在上存在零
8、点，当时，为上的增函数，注意到，所以，存在唯一实数，使得成立. 于是，当时，为上的减函数；当时，为上的增函数；所以为函数的极小值点； 当时，在上成立，所以在上单调递增，所以在上没有极值；当时，在上成立，所以在上单调递减，所以在上没有极值， 综上所述，使在上存在极值的的取值范围是.方法二：由题意，函数在上存在极值，则在上存在零点.即在上存在零点. 设，则由单调性的性质可得为上的减函数.即的值域为，所以，当实数时，在上存在零点.下面证明，当时，函数在上存在极值.事实上，当时，为上的增函数，注意到，所以，存在唯一实数，使得成立.于是，当时，为上的减函数；当时，为上的增函数；即为函数的极小值点.综上所述，当时，函数在上存在极值.22（1）由直线参数方程消去可得普通方程为：曲线极坐标方程可化为：则曲线的直角坐标方程为：，即（2）将直线参数方程代入曲线的直角坐标方程，整理可得：设两点对应的参数分别为：，则，23（1）当时，解得：当时，恒成立当时，解得：综上所述，不等式的解集为：（2）由得：由（1）知：令当时，当时，当时，综上所述，当时，恒成立
