1、指数与指数函数1.根式的概念及性质(1)概念：式子叫做 ，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.(2) 没有偶次方根.0的任何次方根都是0，记作 .()n (nN*，且n1).a(n为大于1的奇数).|a|(n为大于1的偶数).2.分数指数幂规定：正数的正分数指数幂的意义是a (a0，m，nN*，且n1)；正数的负分数指数幂的意义是a (a0，m，nN*，且n1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂 .3.指数幂的运算性质实数指数幂的运算性质：aras ；(ar)s ；(ab)r ，其中a0，b0，r，sR.4.指数函数及其性质(1)概念：函数yax(a0，且a1)叫做指数函数，其中指数x是
2、自变量，定义域是R.(2)指数函数的图象与性质a10a0时， ；当x0时， 当x0时， 在(，)上是 在(，)上是 yax与y的图象关于y轴对称1.画指数函数yax(a0，且a1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.2.指数函数yax(a0，且a1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a1与0a0，且a1)的图象越高，底数越大.1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)4.()(2)分数指数幂a可以理解为个a相乘.()(3)函数y2x1是指数函数.()(4)函数yax21(a1)的值域是(0，).()2.(多选)下列函数中，值域为(0，)的是()A.yx2 B.yC.y2
3、x D.y3x13.(2021日照检测)函数f(x)1e|x|的图象大致是()4.(易错题)若函数f(x)(a23)ax为指数函数，则a_.5.已知a，b，c，则a，b，c的大小关系是_.6.(2022重庆月考)计算：8_.考点一指数幂的运算1.(2020新高考全国卷)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R01rT.有学者基于已有数据估计出R03.28，T6
4、.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 20.69)()A.1.2天 B.1.8天 C.2.5天 D.3.5天2.(0.064)2.50_.3.计算：_(a0，b0).4.若xx3，则_.考点二指数函数的图象及应用例1 (1)已知函数f(x)|2x1|，abf(c)f(b)，则下列结论中一定成立的是()A.a0，b0，c0 B.a0C.2a2c D.2a2c2(2)若曲线|y|2x1与直线yb没有公共点，则b的取值范围是_.训练1 (1)(2020北京卷)已知函数f(x)2xx1，则不等式f(x)0的解集是()A.(1，1)B.(，1)(1，)C.(0，1)
5、D.(，0)(1，)(2)(多选)(2021济南调研)已知实数a，b满足等式2 022a2 023b，则下列关系式成立的是()A.0ba B.ab0C.0ab D.ab考点三指数函数的性质及应用角度1比较指数式的大小例2 (1)已知a2，b4，c25，则()A.bac B.abcC.bca D.cab(2)若eabeba，下列结论一定成立的是()A.ab0 B.ab0C.ab0 D.ab0角度2解简单的指数方程或不等式例3 (1)已知实数a1，函数f(x)若f(1a)f(a1)，则a的值为_.(2)(2022湖南五市联考)设函数f(x)若f(a)1，则实数a的取值范围是()A.(，3)B.(1
6、，)C.(3，1)D.(，3)(1，)角度3与指数函数有关的复合函数的单调性例4 (1)已知函数f(x)2|2xm|(m为常数)，若f(x)在区间2，)上是增函数，则m的取值范围是_.(2)函数f(x)x22x1的单调递减区间为_.(3)已知定义域为R的函数f(x)，则关于t的不等式f(t22t)f(2t21)0的解集为_.角度4函数的最值(值域)问题例5 (1)(2021沈阳期末)函数y1在区间3，2上的值域是_.(2)若函数f(x)的值域是，则f(x)的单调递增区间是_.训练2 (1)(2022福州一模)已知a25，b6，c2，则()A.abc B.bacC.cba D.acb(2)函数y
7、的单调递增区间是_.(3)已知函数f(x)的图象关于点对称，则a_，f(x)的值域为_.1.(多选)函数yaxa(a0，a1)的图象可能是()2.(多选)下列函数中在区间(0，1)内单调递减的是()A.yx B.y21xC.yln(x1) D.y|1x|3.不论a为何值，函数y(a1)2x恒过定点，则这个定点的坐标是()A. B.C. D.4.(2021合肥冲刺)若0ba0，a1)的图象经过点A(1，6)，B(3，24).(1)求f(x)的表达式；(2)若不等式m0在x(，1上恒成立，求实数m的取值范围.12.(多选)(2021唐山二模)已知ab0，且ab4，则()A.2ab1 B.log2a
8、log2b1C.2a2b8 D.log2alog2b113.已知常数a0，函数f(x)的图象经过点P，Q.若2pq36pq，则a_.14.已知函数f(x)4(1x2).(1)若，求函数f(x)的值域；(2)若方程f(x)0有解，求实数的取值范围.指数与指数函数（解析版）1.根式的概念及性质(1)概念：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.(2)负数没有偶次方根.0的任何次方根都是0，记作0.()na(nN*，且n1).a(n为大于1的奇数).|a|(n为大于1的偶数).2.分数指数幂规定：正数的正分数指数幂的意义是a(a0，m，nN*，且n1)；正数的负分数指数幂的意义是a(a0，m
9、，nN*，且n1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.3.指数幂的运算性质实数指数幂的运算性质：arasars；(ar)sars；(ab)rarbr，其中a0，b0，r，sR.4.指数函数及其性质(1)概念：函数yax(a0，且a1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.(2)指数函数的图象与性质a10a0时，y1；当x0时，0y1当x1；当x0时，0y0，且a1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.2.指数函数yax(a0，且a1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a1与0a0，且a1)的图象越高，底数越大.1.思考辨析(在括号内打“”或“”)
10、(1)4.()(2)分数指数幂a可以理解为个a相乘.()(3)函数y2x1是指数函数.()(4)函数yax21(a1)的值域是(0，).()答案(1)(2)(3)(4)解析(1)由于4，故(1)错误.(2)当1时，不可以，故(2)错误.(3)由于指数函数解析式为yax(a0，且a1)，故y2x1不是指数函数，故(3)错误.(4)由于x211，又a1，ax21a.故yax21(a1)的值域是a，)，(4)错误.2.(多选)下列函数中，值域为(0，)的是()A.yx2 B.yC.y2x D.y3x1答案CD解析yx2的值域为0，)；y的值域为(，0)(0，)；y2x的值域为(0，)；y3x1的值域
11、为(0，).3.(2021日照检测)函数f(x)1e|x|的图象大致是()答案A解析易知f(x)为偶函数，且f(x)1e|x|0，A正确.4.(易错题)若函数f(x)(a23)ax为指数函数，则a_.答案2解析依题意解得a2.5.已知a，b，c，则a，b，c的大小关系是_.答案cba解析y是R上的减函数，即ab1，又c1，cba.6.(2022重庆月考)计算：8_.答案2解析原式1222.考点一指数幂的运算1.(2020新高考全国卷)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以
12、用指数模型：I(t)ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R01rT.有学者基于已有数据估计出R03.28，T6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 20.69)()A.1.2天 B.1.8天 C.2.5天 D.3.5天答案B解析由R01rT，R03.28，T6，得r0.38.由题意，累计感染病例数增加1倍，则I(t2)2I(t1)，即e0.38t22e0.38t1，所以e0.38(t2t1)2，即0.38(t2t1)ln 2，t2t11.8.2.(0.064)2.50_.答案0解析110.3.计算：
13、_(a0，b0).答案解析原式.4.若xx3，则_.答案解析由xx3，两边平方，得xx17，再平方得x2x247.x2x2245.xx(x)3(x)3(xx)(x1x1)3(71)18.考点二指数函数的图象及应用例1 (1)已知函数f(x)|2x1|，abf(c)f(b)，则下列结论中一定成立的是()A.a0，b0，c0 B.a0C.2a2c D.2a2c2答案D解析作出函数f(x)|2x1|的图象，如图，abf(c)f(b)，结合图象知，0f(a)1，a0，02a1.f(a)|2a1|12a，f(c)1，0c1.12cf(c)，12a2c1，2a2c2.(2)若曲线|y|2x1与直线yb没有
14、公共点，则b的取值范围是_.答案1，1解析曲线|y|2x1与直线yb的图象如图所示，由图象可得：如果曲线|y|2x1与直线yb没有公共点，则b应满足的条件是b1，1.训练1 (1)(2020北京卷)已知函数f(x)2xx1，则不等式f(x)0的解集是()A.(1，1)B.(，1)(1，)C.(0，1)D.(，0)(1，)答案D解析在同一平面直角坐标系中画出h(x)2x，g(x)x1的图象如图.由图象得交点坐标为(0，1)和(1，2).又f(x)0等价于2xx1，结合图象，可得x0或x1.故f(x)0的解集为(，0)(1，).(2)(多选)(2021济南调研)已知实数a，b满足等式2 022a2
15、 023b，则下列关系式成立的是()A.0ba B.ab0C.0ab D.ab答案ABD解析如图，观察易知a，b的关系为ab0或0ba或ab0.考点三指数函数的性质及应用角度1比较指数式的大小例2 (1)已知a2，b4，c25，则()A.bac B.abcC.bca D.cab答案A解析a216，b416，c25，幂函数yx在R上单调递增，所以ac，指数函数y16x在R上单调递增，ba，即bac.(2)若eabeba，下列结论一定成立的是()A.ab0 B.ab0C.ab0 D.ab0答案D解析eabeba，eaaebb，令f(x)exx，则f(x)是R上的增函数，式即为f(a)f(b)，ab
16、，即ab0.角度2解简单的指数方程或不等式例3 (1)已知实数a1，函数f(x)若f(1a)f(a1)，则a的值为_.答案解析当a1时，2a(1a)4a1，无解，故a的值为.(2)(2022湖南五市联考)设函数f(x)若f(a)1，则实数a的取值范围是()A.(，3)B.(1，)C.(3，1)D.(，3)(1，)答案C解析当a0时，不等式f(a)1可化为71，即8，即，因为01，所以a3，此时3a0；当a0时，不等式f(a)1可化为1，即0a1.故a的取值范围是(3，1).角度3与指数函数有关的复合函数的单调性例4 (1)已知函数f(x)2|2xm|(m为常数)，若f(x)在区间2，)上是增函
17、数，则m的取值范围是_.答案(，4解析令t|2xm|，则t|2xm|在区间上单调递增，在区间上单调递减.而y2t为R上的增函数，所以要使函数f(x)2|2xm|在2，)上单调递增，则有2，即m4，所以m的取值范围是(，4.(2)函数f(x)x22x1的单调递减区间为_.答案(，1解析设ux22x1，因为y在R上为减函数，所以函数f(x)x22x1的单调递减区间即为函数ux22x1的单调递增区间.又ux22x1的单调递增区间为(，1，所以函数f(x)的单调递减区间为(，1.(3)已知定义域为R的函数f(x)，则关于t的不等式f(t22t)f(2t21)0的解集为_.答案(1，)解析由题意知f(x
18、)是奇函数，且在R上为减函数，则f(t22t)f(2t21)0，即f(t22t)f(2t21)f(12t2).所以t22t12t2，解得t1或t.角度4函数的最值(值域)问题例5 (1)(2021沈阳期末)函数y1在区间3，2上的值域是_.答案解析因为x3，2，所以若令t，则t，故yt2t1.当t时，ymin；当t8时，ymax57.故所求函数值域为.(2)若函数f(x)的值域是，则f(x)的单调递增区间是_.答案(，1解析y是减函数，且f(x)的值域是，tax22x3有最小值2，则a0且2，解之得a1，因此tx22x3的单调递减区间是(，1，故f(x)的单调递增区间是(，1.训练2 (1)(
19、2022福州一模)已知a25，b6，c2，则()A.abc B.bacC.cba D.acb答案A解析a255，b6，c28，因为幂函数yx在(0，)上单调递增，且568，所以568，所以abc.(2)函数y的单调递增区间是_.答案解析令t，所以y，0t，1x2，故t的单调递减区间为，所以函数y的单调递增区间为.(3)已知函数f(x)的图象关于点对称，则a_，f(x)的值域为_.答案1(0，1)解析依题设f(x)f(x)1，则1，整理得(a1)4x(a1)2x10.所以a10，则a1.因此f(x)1.由于12x1，01，0f(x)1.故f(x)的值域为(0，1).1.(多选)函数yaxa(a0
20、，a1)的图象可能是()答案BC解析当a1时，yaxa为增函数，且过点(1，0)，当x0时，y1a0，故A不正确，B正确.当0a1时，yaxa为减函数，且过点(1，0)，当x0时，y1a(0，1)，故C正确，D不正确.2.(多选)下列函数中在区间(0，1)内单调递减的是()A.yx B.y21xC.yln(x1) D.y|1x|答案BD解析A项，yx在(0，1)内单调递增，B项，y21x2，在(0，1)内单调递减，C项，yln(x1)在(0，1)内单调递增，D项，y|1x|故在(0，1)上单调递减.3.不论a为何值，函数y(a1)2x恒过定点，则这个定点的坐标是()A. B.C. D.答案C解
21、析y(a1)2x变为a(2xy)0，依题意，对aR，a(2xy)0恒成立，则2x0，且2xy0，x1且y，即恒过定点.4.(2021合肥冲刺)若0ba1，则ab，ba，aa，bb中最大的是()A.ab B.ba C.aa D.bb答案A解析0baaa，babb，即ab，ba，aa，bb中最大的是ab.5.(多选)(2022聊城模拟)已知函数f(x)2x2x，有下列四个结论，其中正确的结论是()A.f(0)0B.f(x)是奇函数C.f(x)在(，)上单调递增D.对任意的实数a，方程f(x)a0都有解答案ABD解析f(x)2x2x，则f(0)200，故A正确；f(x)2x2xf(x)，所以f(x)
22、是奇函数，故B正确；f(x)2x在R上是减函数，故C错误；当x时，f(x)；当x时，f(x)，即f(x)的值域是(，)，它又是R上的减函数，因此对任意实数a，f(x)a都有解，故D正确.6.(2021烟台一模)某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)间的关系式为PP0ekt，其中P0，k为正常数.如果一定量的废气在前10 h的过滤过程中污染物被消除了20%，那么污染物减少到最初含量的50%还需要经过多长时间？(结果四舍五入取整数，参考数据：ln 20.693，ln 51.609)()A.11 h B.21 h C.31 h D.41 h答
23、案B解析由已知得e10k，方程两边同取自然对数得ln 10k，所以k0.022 3.设污染物减少到最初含量的50%需要经过t h，则e0.022 3t，方程两边同取自然对数得ln 0.022 3t，解得t31.所以还需要经过311021 h使污染物减少到最初含量的50%.7.(2022德州调研)设函数f(x)为偶函数，当x0时，f(x)2x1，则不等式f(x)1的解集为_.答案(，1)(1，)解析由题意得f(1)1，则f(x)1可化为f(x)f(1)，又f(x)为偶函数，在(0，)上单调递增，故解集为(，1)(1，).8.化简：(a0，b0)_.答案解析原式ab.9.已知0x2，则函数y4x3
24、2x5的最大值为_.答案解析设2xt，0x2，则1t4，y4x32x5t23t5(t3)2，故当t1，即x0时，函数有最大值.10.化简下列各式：(1)8(2)6；(2)ab2(3ab1)(4ab3).解(1)原式(23)1|3|(26)413238.(2)原式ab3(4ab3)ab3(ab)ab.11.已知函数f(x)bax(其中a，b为常数，且a0，a1)的图象经过点A(1，6)，B(3，24).(1)求f(x)的表达式；(2)若不等式m0在x(，1上恒成立，求实数m的取值范围.解(1)因为f(x)的图象过A(1，6)，B(3，24)，所以所以a24，又a0，所以a2，b3.所以f(x)3
25、2x.(2)由(1)知a2，b3，则当x(，1时，m0恒成立，即m在x(，1上恒成立.又因为y与y均为减函数，所以y也是减函数，所以当x1时，y有最小值.则m，故m的取值范围是.12.(多选)(2021唐山二模)已知ab0，且ab4，则()A.2ab1 B.log2alog2b1C.2a2b8 D.log2alog2b1答案ACD解析ab0，且ab4.对于A，ab0，所以2ab201，故A正确；对于B，取a，b，所以log2alog2blog2log2log221，故B错误；对于C，2a2b22，当且仅当ab时取等号，又因为ab24，当且仅当ab时取等号，所以2a2b228，当且仅当ab时取等
26、号，因为ab0，所以不能取等号，故C正确；对于D，当a1b0时，log2a0，log2b0，所以log2alog2b1；当ab1时，log2a0，log2b0，所以log2alog2b1，当且仅当ab时取等号，因为ab0，所以不能取等号，故D正确.13.已知常数a0，函数f(x)的图象经过点P，Q.若2pq36pq，则a_.答案6解析因为f(x)，且其图象经过点P，Q，则f(p)，即，f(q)，即6，得1，则2pqa2pq36pq，所以a236，解得a6，因为a0，所以a6.14.已知函数f(x)4(1x2).(1)若，求函数f(x)的值域；(2)若方程f(x)0有解，求实数的取值范围.解(1)f(x)424(1x2).设t，得g(t)t22t4.当时，g(t)t23t4.所以g(t)maxg，g(t)ming.所以f(x)max，f(x)min，故函数f(x)的值域为.(2)方程f(x)0有解可转化为22x(1x2).设(x)22x，当2x，即x1时，(x)min2；当2x4，即x2时，(x)max.函数(x)的值域为.故实数的取值范围是.
