1、题型练6大题专项(四)立体几何综合问题题型练第60页1.如图,在三棱锥P-ABC中,AC=BC=2,ACB=90,AP=BP=AB,PCAC.(1)求证:PCAB;(2)求点C到平面APB的距离.(1)证明取AB的中点D,连接PD,CD.AP=BP,PDAB.AC=BC,CDAB.PDCD=D,AB平面PCD.PC平面PCD,PCAB.(2)解由(1)知AB平面PCD,平面APB平面PCD.过C作CHPD,垂足为H.平面APB平面PCD=PD,CH平面APB.CH的长即为点C到平面APB的距离.由(1)知PCAB,又PCAC,且ABAC=A,PC平面ABC.CD平面ABC,PCCD.在RtPC
2、D中,CD=12AB=2,PD=32PB=6,PC=PD2-CD2=2.CH=PCCDPD=233,点C到平面APB的距离为233.2.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB,AB1B1C1.求证:(1)AB平面A1B1C;(2)平面ABB1A1平面A1BC.证明(1)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,ABA1B1.因为AB平面A1B1C,A1B1平面A1B1C,所以AB平面A1B1C.(2)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABB1A1为平行四边形.又因为AA1=AB,所以四边形ABB1A1为菱形,因此AB1A1B.又因为AB1B1C1,BCB1C1,所
3、以AB1BC.又因为A1BBC=B,A1B平面A1BC,BC平面A1BC,所以AB1平面A1BC.因为AB1平面ABB1A1,所以平面ABB1A1平面A1BC.3.已知PA平面ABCD,CDAD,BAAD,CD=AD=AP=4,AB=2.(1)求证:CD平面ADP;(2)若M为线段PC上的点,当BMPC时,求三棱锥B-APM的体积.(1)证明因为PA平面ABCD,PA平面ADP,所以平面ADP平面ABCD.因为平面ADP平面ABCD=AD,CDAD,所以CD平面ADP.(2)解取CD的中点F,连接BF,在梯形ABCD中,因为CD=4,AB=2,所以BFCD.又BF=AD=4,所以BC=25.在
4、ABP中,由勾股定理求得BP=25.所以BC=BP.又知点M在线段PC上,且BMPC,所以点M为PC的中点.在平面PCD中过点M作MQDC交DP于Q,连接QB,QA,则V三棱锥B-APM=V三棱锥M-APB=V三棱锥Q-APB=V三棱锥B-APQ=1312QPAQ2=132222=83.4.如图,ABC的外接圆O的直径为AB,CD平面ABC,BECD.(1)求证:平面ADC平面BCDE;(2)试问在线段DE和BC上是否分别存在点M和F,使得平面OMF平面ACD?若存在,确定点M和点F的位置;若不存在,请说明理由.(1)证明ABC的外接圆O的直径为AB,CD平面ABC,BECD,ACBC,ACD
5、C.BCDC=C,AC平面BCDE.AC平面ADC,平面ADC平面BCDE.(2)解存在点M和F,使得平面OMF平面ACD.取BC的中点M,DE的中点F,连接OM,MF,OF.O是AB的中点,OMAC,MFCD.ACCD=C,OMMF=M,AC,CD平面ACD,OM,MF平面OMF,平面OMF平面ACD.5.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,PCD为等边三角形,平面PAC平面PCD,PACD,CD=2,AD=3.(1)设G,H分别为PB,AC的中点,求证:GH平面PAD;(2)求证:PA平面PCD;(3)求直线AD与平面PAC所成角的正弦值.(1)证明如图,连接BD,易知
6、ACBD=H,BH=DH.又由BG=PG,故GHPD.又因为GH平面PAD,PD平面PAD,所以GH平面PAD.(2)证明取棱PC的中点N,连接DN,依题意,得DNPC,又因为平面PAC平面PCD,平面PAC平面PCD=PC,所以DN平面PAC,又PA平面PAC,故DNPA.又已知PACD,CDDN=D,所以PA平面PCD.(3)解连接AN,由(2)中DN平面PAC,可知DAN为直线AD与平面PAC所成的角.因为PCD为等边三角形,CD=2且N为PC的中点,所以DN=3,又DNAN,在RtAND中,sinDAN=DNAD=33.所以,直线AD与平面PAC所成角的正弦值为33.6.如图,在四棱锥
7、P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PA底面ABCD,PA=AC,过点A的平面与棱PB,PC,PD分别交于点E,F,G(E,F,G三点均不在棱的端点处).(1)求证:平面PAB平面PBC.(2)若PC平面AEFG,求PFPC的值.(3)直线AE是否可能与平面PCD平行?证明你的结论.(1)证明因为PA平面ABCD,所以PABC.因为四边形ABCD为正方形,所以ABBC,所以BC平面PAB.所以平面PAB平面PBC.(2)解连接AF.因为PC平面AEFG,所以PCAF.又因为PA=AC,所以F是PC的中点.所以PFPC=12.(3)解AE与平面PCD不可能平行.证明如下:假设AE平面PCD,因为ABCD,AB平面PCD,所以AB平面PCD.而AE,AB平面PAB,所以平面PAB平面PCD,这显然矛盾.所以假设不成立,即AE与平面PCD不可能平行.
