1、学业分层测评(十九)最大值与最小值(建议用时：45分钟)学业达标一、填空题1.已知函数f(x)x33x，|x|1，f(x)的最小值为_.【解析】f(x)3x233(x1)(x1)，当x1,1时，f(x)0，所以f(x)在1,1上是单调递减函数，f(x)的最小值为f(1)2.【答案】22.(2016徐州高二检测)函数y在0,2上的最大值是_.【解析】由f(x)得f(x)，当x0,1时，f(x)0，f(x)单调递增，当x(1,2时，f(x)0，f(x)单调递减，当x1时，函数取得最大值f(1).【答案】3.函数yxsin x，x的最大值是_.【解析】因为y1cos x，当x时，y0，则函数y在区间
2、上为增函数，所以y的最大值为ymaxsin . 【答案】4.(2016无锡高二检测)函数f(x)x(x1,3)的值域为_.【解析】f(x)1，所以在1,3上f(x)0恒成立，即f(x)在1,3上单调递增，所以f(x)的最大值是f(3)，最小值是f(1).故函数f(x)的值域为.【答案】5.已知函数yx22x3在区间a,2上的最大值为，则a等于_.【解析】当a1时，最大值为4，不合题意，当1a2时，f(x)在a,2上是减函数，f(a)最大，a22a3，解得a或a(舍去).【答案】6.函数f(x)x2ln x的最小值为_.【解析】f(x)x，且x0.令f(x)0，得x1; 令f(x)0，得0x1.
3、f(x)在x1处取得极小值也是最小值，且f(1)ln 1.【答案】7.下列结论：在区间a，b上，函数的极大值就是最大值；在区间a，b上，函数的极小值就是最小值；在区间a，b上，函数的最大值、最小值在xa和xb时达到；在区间a，b上的连续函数f(x)在a，b上必有最大值和最小值.其中正确的是_(填序号).【解析】因为连续函数在闭区间上极大值不一定就是最大值，极小值也不一定就是最小值，最值不一定在区间端点取到，所以都不正确，而连续函数f(x)在a，b上必有最大值和最小值，所以正确.【答案】8.(2016马鞍山高二检测)已知函数f(x)2ln x，若当a0时，f(x)2恒成立，则实数a的取值范围是_
4、.【解析】由f(x)2ln x得f(x)，又函数f(x)的定义域为(0，)，且a0，令f(x)0，得x(舍去)或x.当0x时，f(x)0；当x时，f(x)0. 故x是函数f(x)的极小值点，也是最小值点，且f()ln a1. 要使f(x)2恒成立，需ln a12恒成立，则ae.【答案】e，)二、解答题9.求函数f(x)x33x，x，的最大值和最小值.【解】f(x)3x233(x1)(x1)，令f(x)0，得x1或x1.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1,1)1(1，)f(x)00f(x)0220由上表可知：当x1时，f(x)取得最大值，f(x)maxf(1)2.
5、当x1时，f(x)取得最小值，f(x)minf(1)2.10.已知函数f(x)kln x，k0，求函数f(x)在上的最大值和最小值.【解】因f(x)kln x，f(x).若k0，则f(x)在上恒有f(x)0，f(x)在上单调递减.f(x)minf(e)，f(x)maxfe1.若k0，f(x)，则在上恒有0，f(x)在上单调递减，f(x)minf(e)kln ek1，f(x)maxfek1.综上，当k0时，f(x)min，f(x)maxe1；当k0时，总有f(x)e2x，求实数a的取值范围.【解析】由f(x)e2x得：a，设g(x)，x0，则g(x)，令g(x)0，得x2.当x(0,2)时，g(x)0，g(x)在(0,2)上单调递增；当x(2，)时，g(x)0，g(x)在(2，)上单调递减.当x2时，y(x)取最大值为，g(x)g(2)，因此，a的取值范围为.
