1、53三角函数的图象与性质最新课程标准学科核心素养1.借助单位圆能画出三角函数的图象2了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值3借助图象理解正弦函数、余弦函数在0，2上，正切函数在(-2，2)上的性质1.掌握“五点法”画正弦函数、余弦函数的图象的方法(直观想象)2了解周期函数、周期、最小正周期的定义(数学抽象)3掌握函数ysinx，ycosx的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性(逻辑推理、数学运算)4会求正弦、余弦、正切函数的单调区间、最大值与最小值(数学运算、逻辑推理)5.3.1正弦函数、余弦函数的图象与性质第1课时正弦函数、余弦函数的图象教材要点要点正弦曲线与余弦曲线及其画法函数y
2、sinxycosx图象图象画法五点法五点法关键五点_，(2，1)，_，(32，-1)，_，(2，0)，_，(32，0)，_状元随笔1.关于正弦函数y sin x的图象(1)正弦函数ysin x，x2k，2(k1)，kZ的图象与x0，2上的图形一致，因为终边相同角的同一三角函数值相等(2)正弦函数的图象向左、右无限延伸，可以由ysin x，x0，2图象向左右平移得到(每次平移2个单位)2“几何法”和“五点法”画正、余弦函数的比较(1)“几何法”就是利用单位圆中正弦线和余弦线作出正、余弦函数图象的方法该方法作图较精确，但较为烦琐(2)“五点法”是画三角函数图象的基本方法，在要求精度不高的情况下常用
3、此法提醒：作图象时，函数自变量要用弧度制，自变量与函数值均为实数，因此在x轴、y轴上可以统一单位，这样作出的图象正规便于应用基础自测1.思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)正弦函数ysinx(xR)的图象关于x轴对称()(2)函数ysinx与ysin (x)的图象完全相同()(3)余弦函数ycosx的图象与x轴有无数个交点()(4)函数ycosx的图象与ysinx的图象形状和位置不一样.()2不等式sinx0，x0，2的解集为()A0，B(0，)C0， D(2，32)3下列图象中，是ysinx在0，2上的图象的是()4用“五点法”作函数ycos2x，xR的图象时，首先应描出的五个点的横
4、坐标是_题型1用“五点法”作三角函数的图象例1(1)在0，2内用“五点法”作出ysinx1的简图(2)在0，2内用“五点法”作出y2cosx3的简图方法归纳作形如yasinxb(或yacosxb)，x0，2的图象的三个步骤跟踪训练1作出函数y32cosx的简图题型2利用“图象变换”作三角函数的图象例2作出下列函数的图象(1)y1cos2；(2)ysin|x|.方法归纳某些函数的图象可通过图象变换，如平移变换、对称变换作出，如将ysinx的图象在y轴右侧的保留，在左侧作右侧关于y轴的对称图形，便得到ysin|x|的图象，将ysinx图象在x轴上方的不动，x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方，便得到
5、y|sinx|的图象等跟踪训练2函数ycosx|cosx|，x0，2的大致图象为()题型3正弦、余弦函数图象的应用角度1零点个数问题例3求方程sinxx10的解的个数方法归纳对于含三角函数的方程的解的个数问题，一般无法直接求解，我们常转化为两个函数的图象的交点个数问题求解，这就要求我们要对三角函数的图象熟练掌握角度2解三角不等式例4利用正弦曲线，求满足12sinx32的x的集合方法归纳用正弦曲线(余弦曲线)解三角不等式(如sinxa或cosxa)的步骤跟踪训练3(1)方程x2cosx的实数解的个数为_(2)函数y2cosx1的定义域为_易错辨析忽视函数定义域致误例5作出函数y1tanxsin
6、x的图象解析：由tan x0得xk，且xk2，kZ，即xk2(kZ)，此时有y1tanxsin xcosx，即ycosx(xk2，kZ)其图象如下图所示易错警示易错原因纠错心得有的同学这样做：y1tanxsin xcosxsinxsin xcosx错在化简时漏掉了对自变量范围的讨论，扩大了定义域已知函数解析式作函数图象，首先要求出函数的定义域，然后再对其进行化简，如果先进行化简，则化简前后自变量的取值范围就发生了变化，作出的函数图象就可能与原解析式不对应课堂十分钟1(多选)以下对正弦函数ysinx的图象描述正确的是()A与x2k，2k2(kZ)上的图象形状相同，只是位置不同B介于直线y1与直线
7、y1之间C关于x轴对称D与y轴仅有一个交点2函数ycos (x)，x0，2的简图是()3在0，2内，不等式sin x32的解集是()A(0，) B3，43C43，53D53，24直线y12与函数ysinx，x0，2的交点坐标是_5用“五点法”作出函数y113cosx的简图53三角函数的图象与性质53.1正弦函数、余弦函数的图象与性质第1课时正弦函数、余弦函数的图象新知初探课前预习要点(0，0)(，0)(2，0)(0，1)(，1)(2，1)基础自测1答案：(1)(2)(3)(4)2解析：由ysin x在0，2的图象可得故选B.答案：B3解析：函数ysin x的图象与函数ysin x的图象关于x轴
8、对称，故选D.答案：D4解析：令2x0，2，32和2，得x0，4，2，34，.答案：0，4，2，34，题型探究课堂解透例1解析：(1)列表：x02322y12101描点并用光滑曲线连接可得其图象如图所示(2)由条件列表如下：x023222cos x202022cos x313531描点、连线得出函数y2cos x3(0x2)的图象如图所示跟踪训练1解析：(1)列表，如下表所示x02322ycos x10101y32cos x53135(2)描点，连线，如图所示：例2解析：(1)y1cos2x|sinx|，ysinx，2kx2k+，sinx，2k+x2k+2.(kZ)作出ysin x，x0，和y
9、sin x，x(，2的图象，并将图象左右平移即可其图象如图所示(2)ysin |x|sinx，x0，sinx，x1sin x，所以此时两图象无交点；当0x4时，两图象有3个交点，当x0时，两图象有3个交点，又当x0时，两图象有1个交点，所以一共有7个交点，即原方程有7个解例4解析：首先作出ysin x在0，2上的图象如图所示，作直线y12，根据特殊角的正弦值，可知该直线与ysin x，x0，2的交点横坐标为6和56；作直线y32，该直线与ysin x，x0，2的交点横坐标为3和23.观察图象可知，在0，2上，当6x3，或23x56时，不等式12sin x32成立所以12sin x32的解集为x
10、6+2kx32k或232kx562k，kZ跟踪训练3解析：(1)作函数ycosx与yx2的图象，如图所示，由图象可知原方程有2个实数解(2)2cos x10，cosx12.取余弦函数的图象在一个周期内连续的一段如图，则当x3时，cosx12.函数y2cosx1的定义域为2k3，2k+3(kZ)答案：(1)2(2)2k3，2k+3(kZ)课堂十分钟1解析：由正弦函数图象可知，A正确；由正弦函数的图象可知B正确；由正弦函数的图象，知正弦函数的图象不关于x轴对称，关于原点对称，故C错误；由正弦函数图象，知D正确故选ABD.答案：ABD2解析：由ycos (x)cosx知，其图象和ycosx的图象相同故选B.答案：B3解析：画出ysin x，x0，2的草图如下：因为sin 332，所以sin +332，sin 2332.所以在0，2内，满足sin x32的是x43和x53.所以不等式sin x32的解集是43，53.故选C.答案：C4解析：令sin x12，则x2k6或x2k56(kZ)，又x0，2，故x6或56.答案：6，12，56，125解析：(1)列表：x02322cosx10101113cos x23143123(2)描点，连线可得函数在0，2上的图象，将函数图象向左、向右平移(每次2个单位长度)，就可以得到函数y113cos x的图象，如图所示13