1、高考导航热点透析思想方法第2讲 圆锥曲线的综合问题高考体验2.(2013年福建卷,文20)如图,抛物线E:y2=4x的焦点为F,准线l与x轴的交点为A.点C在抛物线E上,以C为圆心,|CO|为半径作圆,设圆C与准线l交于不同的两点M,N.(1)若点C的纵坐标为2,求|MN|;(2)若|AF|2=|AM|AN|,求圆C的半径.解:(1)抛物线y2=4x的准线l的方程为x=-1.由点C的纵坐标为2,点C在抛物线E上,得点C的坐标为(1,2),所以点C到准线l的距离d=2,感悟备考圆锥曲线的综合问题,包括直线与圆锥曲线的位置关系问题,圆锥曲线与圆以及圆锥曲线间的综合问题等,在近几年的高考中不仅有利用
2、直线、圆及圆锥曲线的方程求弦长及参数的计算问题,还经常考查点或直线的存在性问题,利用解析法证明问题.预测2015年高考大题会考查圆锥曲线与圆的综合问题,或者存在性问题或者用解析法证明与圆锥曲线有关的问题.题后反思(1)过定点的直线常选斜率作参数进行有关计算和论证.(2)本题中的直线斜率一定存在,故无需再讨论验证斜率不存在的情形,又直线过抛物线内部的一定点,则直线与抛物线必有两个交点,也无需用0确定k的范围.(3)斜率不同而过相同的一点的两条直线,与圆锥曲线相交的结论只需作一个同理代换,无需再重复计算.题后反思(1)定义法:过圆锥曲线的焦点的弦长问题,利用圆锥曲线的定义,可优化解题.(2)点距法
3、:将直线的方程与圆锥曲线的方程联立,求出两交点的坐标,再运用两点间距离公式求弦长.(3)弦长公式法:它体现了解析几何中的设而不求的思想,其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系.题后反思以直线与圆锥曲线相交为背景的向量表达式的证明,一般思路为:(1)利用向量平行的充要条件、向量垂直的充要条件、数量积的坐标运算等将向量表达式坐标化.(2)利用根与系数的关系和整体代入思想,减少变量个数,将表达式用相应变量表示出来.(3)借助函数法、基本不等式法等证得结论.(2)可由条件得直线l的斜率,从而可设直线l的方程y=kx+m(m待求),然后把直线方程与椭圆方程联立,得x的二次方程,由得0,由结合韦达定理弦长公式等表达出三角形的面积得m的一个方程,解出m,最后要验证成立.方法点睛(1)利用韦达定理表达弦长,进而表达三角形的面积,是本题列出m的方程的关键.(2)设出参数,列出参数的方程是解析几何中直线与圆锥曲线问题中的基本题型,也是高考所考查的重点题型.点击进入限时训练
