1、(建议用时：45 分钟)1椭圆x2a2y2b21(ab0)与直线 xy10 相交于 P，Q 两点，且 OPOQ(O为原点)(1)求证：1a2 1b2等于定值；(2)若椭圆的离心率 e33，22，求椭圆长轴长的取值范围(1)证明 由b2x2a2y2a2b2，xy10消去 y，得(a2b2)x22a2xa2(1b2)0，直线与椭圆有两个交点，0，即 4a44(a2b2)a2(1b2)0a2b2(a2b21)0，ab0，a2b21.设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 x1、x2 是方程的两实根x1x2 2a2a2b2，x1x2a2（1b2）a2b2.由 OPOQ 得 x1x2y1y20，又
2、y11x1，y21x2，得 2x1x2(x1x2)10.式代入式化简得 a2b22a2b2.1a2 1b22.(2)解 利用(1)的结论，将 a 表示为 e 的函数由 ecab2a2a2e2，代入式，得 2e22a2(1e2)0.a22e22（1e2）1212（1e2）.33 e 22，54a232.a0，52 a 62.长轴长的取值范围是 5，62已知椭圆x2a2y2b21(a0，b0)的左焦点 F 为圆 x2y22x0 的圆心，且椭圆上的点到点 F 的距离最小值为 21.(1)求椭圆方程；(2)已知经过点 F 的动直线 l 与椭圆交于不同的两点 A，B，点 M 54，0，证明：MA MB
3、为定值(1)解 化圆的标准方程为(x1)2y21，则圆心为(1，0)，半径 r1，所以椭圆的半焦距 c1.又椭圆上的点到点 F 的距离最小值为 21，所以 ac 21，即 a 2，则 b2a2c21，故所求椭圆的方程为x22y21.(2)证明 当直线 l 与 x 轴垂直时，l 的方程为 x1.可求得 A1，22，B1，22.此时，MA MB 154，22 154，22 716.当直线 l 与 x 轴不垂直时，设直线 l 的方程为 yk(x1)，由yk（x1），x22y21，得(12k2)x24k2x2k220，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2 4k212k2，x1x22k2
4、212k2.因为MA MB x154，y1 x254，y2 x154 x254 y1y2x1x254(x1x2)542k(x11)k(x21)(1k2)x1x2k254(x1x2)k22516(1k2)2k2212k2k254 4k212k2 k225164k2212k2 251622516 716.所以，综上得MA MB 为定值，且定值为 716.3(2014北京卷)已知椭圆 C：x22y24.(1)求椭圆 C 的离心率；(2)设 O 为原点若点 A 在直线 y2 上，点 B 在椭圆 C 上，且 OAOB，求线段 AB 长度的最小值解(1)由题意，知椭圆 C 的标准方程为x24y221.所以
5、 a24，b22，从而 c2a2b22.因此 a2，c 2.故椭圆 C 的离心率 eca 22.(2)设点 A，B 的坐标分别为(t，2)，(x0，y0)，其中 x00.因为 OAOB，所以OA OB 0，即 tx02y00，解得 t2y0 x0.又 x202y204，所以|AB|2(x0t)2(y02)2x02y0 x02(y02)2x20y204y20 x20 4x204x2022（4x20）x204x2028x204(0 x204)因为x2028x204(0 x204)，且当 x204 时等号成立，所以|AB|28.故线段 AB 长度的最小值为 2 2.4.(2014辽宁卷)圆 x2y2
6、4 的切线与 x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为 P(如图)(1)求点 P 的坐标；(2)焦点在 x 轴上的椭圆 C 过点 P，且与直线 l：yx 3交于 A，B 两点若PAB 的面积为 2，求 C 的标准方程解(1)设切点坐标为(x0，y0)(x00，y00)，则切线斜率为x0y0，切线方程为 yy0 x0y0(xx0)，即 x0 xy0y4，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为 S124x04y0 8x0y0.由 x20y2042x0y0 知当且仅当 x0y0 2时 x0y0 有最大值，即 S 有最小值，因此点 P 的坐标为(2，2)(2)设
7、 C 的标准方程为x2a2y2b21(ab0)，点 A(x1，y1)，B(x2，y2)由点 P 在 C 上知 2a2 2b21，并由x2a2y2b21，yx 3得 b2x24 3x62b20，又 x1，x2 是方程的根，因此x1x24 3b2，x1x262b2b2.由 y1x1 3，y2x2 3，得|AB|2|x1x2|24824b28b4b2.由点 P 到直线 l 的距离为 32及 SPAB12 32|AB|2 得 b49b2180，解得 b26 或 3，因此 b26，a23(舍)或 b23，a26.从而所求 C 的方程为x26y231.5.如图，已知点 E(m，0)(m0)为抛物线 y24
8、x 内一个定点，过 E 作斜率分别为 k1，k2 的两条直线交抛物线于点 A，B，C，D，且 M，N 分别是 AB，CD 的中点(1)若 m1，k1k21，求EMN 面积的最小值；(2)若 k1k21，求证：直线 MN 过定点(1)解 当 m1 时，E 为抛物线 y24x 的焦点，k1k21，ABCD.设直线 AB 的方程为 yk1(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由yk1（x1），y24x，得 k1y24y4k10，y1y24k1，y1y24.Mx1x22，y1y22，M2k211，2k1，同理，点 N(2k211，2k1)，S EMN 12|EM|EN|122k2122k12（
9、2k21）2（2k1）2 2k211k2122 224，当且仅当 k211k21，即 k11 时，EMN 的面积取得最小值 4.(2)证明 设直线 AB 的方程为 yk1(xm)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由yk1（xm），y24x得 k1y24y4k1m0，y1y24k1，y1y24m，Mx1x22，y1y22，M2k21m，2k1，同理，点 N2k22m，2k2，kMN k1k2k1k2k1k2.直线 MN 的方程为y2k1k1k2x2k21m，即 yk1k2(xm)2，直线 MN 恒过定点(m，2)6(2015西安质量检查)在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆：x2a2y2b21
10、(ab0)过点(2，0)，焦距为 2 3.(1)求椭圆 的方程；(2)设斜率为 k 的直线 l 过点 C(1，0)且交椭圆 于 A，B 两点，试探究椭圆 上是否存在点 P，使得四边形 OAPB 为平行四边形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由解(1)由已知得 a2，c 3，因为 a2b2c2，所以 b2a2c21，所以椭圆 的方程为x24y21.(2)依题意得，直线 l：yk(x1)，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，假设椭圆 上存在点 P(x0，y0)使得四边形 OAPB 为平行四边形，则x1x2x0，y1y2y0.由yk（x1），x24y21，得(14k2)x28k2x4(k21)0，所以 x1x2 8k214k2，y1y2k(x1x22)k8k214k22 2k14k2.于是x0 8k214k2，y02k14k2，即点 P 的坐标为8k214k2，2k14k2.又点 P 在椭圆 上，所以8k214k2242k14k221，整理得 4k210，此方程无解故椭圆 上不存在点 P，使得四边形 OAPB 为平行四边形.
