1、章末综合检测(一) (时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若函数f(x)x3f(1)x2x，则f(1)的值为()A0B2C1 D1解析：选D.f(x)x22f(1)x1，则f(1)122f(1)11，解得f(1)0.2若曲线yx2axb在点(0，b)处的切线方程是xy10，则()Aa1，b1 Ba1，b1Ca1，b1 Da1，b1解析：选A.y2xa，所以y|x0a1.将点(0，b)代入切线方程，得b1.3函数yxcos xsin x在下面哪个区间内单调递增()A. B(，2)C. D(2，3)解析：选B
2、.ycos xxsin xcos xxsin x，当x(，2)时，xsin x0.4设x2与x4是函数f(x)x3ax2bx的两个极值点，则常数ab的值为()A21 B21C27 D27解析：选A.因为f(x)3x22axb，所以所以ab32421.故选A.5函数f(x)x2ln 2x的单调递减区间是()A. B.C.， D.，解析：选A.因为f(x)2x，所以f(x)0解得0x.6曲线ysin x与直线yx所围成的平面图形的面积为()A. B.C. D.解析：选C.在同一坐标系中作出曲线ysin x和直线yx的图象，如图所示，阴影部分的面积可表示为2dx2.7设f(x)，g(x)在a，b上可
3、导，且f(x)g(x)，则当axg(x)Bf(x)g(x)f(a)Df(x)g(b)g(x)f(b)解析：选C.因为f(x)g(x)0，所以f(x)g(x)0，所以f(x)g(x)在a，b上是增函数，所以当axf(x)g(x)f(a)g(a)，所以f(x)g(a)g(x)f(a)，f(x)g(b)0，解得x1；令f(x)0，解得x0)恒成立，即a2ln xx(x0)恒成立，设h(x)2ln xx(x0)，则h(x).当x(0，1)时，h(x)0，函数h(x)单调递增，所以h(x)minh(1)4.所以ah(x)min4.故a的取值范围是(，4二、填空题：本题共4小题，每小题5分13三次函数f(
4、x)mx3x在(，)上是减函数，则实数m的取值范围是_解析：依题意可得f(x)3mx210，且m0，从而m，则不等式2f(x)，所以g(x)2f(x)10.所以g(x)为单调增函数因为f(1)1，所以g(1)2f(1)110.所以当x1时，g(x)0，即2f(x)0)，f(x)2x1(x0)令f(x)0，则x；令f(x)0，则0x0)，由函数f(x)在1，2上是减函数，得0即2x2ax10在1，2上恒成立令h(x)2x2ax1，则即解得a.所以实数a的取值范围为.19(本小题满分12分)设函数f(x)exex.(1)证明：f(x)的导数f(x)2；(2)若对所有x0都有f(x)ax，求a的取值
5、范围解：(1)证明：f(x)exex，由基本不等式得exex22，故f(x)2，当且仅当x0时等号成立(2)令g(x)f(x)axexexax(x0)，则g(0)0，g(x)exexa.若对x0，都有g(x)0，则需g(0)2a0，得a2(a2是g(x)0(x0)恒成立的必要条件)当a2时，g(x)exexa2a0，因此函数g(x)在区间0，)上单调递增，故g(x)g(0)0(x0)恒成立所以a的取值范围是(，220(本小题满分12分)设f(x)ln x，g(x)f(x)f(x)(1)求g(x)的单调区间和最小值；(2)讨论g(x)与g的大小关系解：(1)由题设知g(x)ln x，所以g(x)
6、.令g(x)0，得x1.当x(0，1)时，g(x)0，故(1，)是g(x)的单调递增区间，因此，x1是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点所以最小值为g(1)1.(2)gln xx.设h(x)g(x)g2ln xx，则h(x).当x1时，h(1)0，即g(x)g.当x(0，1)(1，)时，h(x)0，h(1)0.因此，h(x)在(0，)内单调递减当0xh(1)0，即g(x)g.当x1时，h(x)h(1)0，即g(x)g.21(本小题满分12分)某集团为获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销经调查，每年投入广告费t(百万元)，可增加销售额约为t25t(百万元)(0t3)(
7、1)若该公司将当年的广告费控制在300万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司获得的收益最大？(2)现该公司准备共投入300万元，分别用于广告促销和技术改造经预测，每投入技术改造费x(百万元)，可增加的销售额为x3x23x(百万元)请设计一个资金分配方案，使该公司获得的收益最大(注：收益销售额投入)解：(1)设投入t(百万元)的广告费后增加的收益为f(t)(百万元)，则有f(t)(t25t)tt24t(t2)24(0t3)，所以当t2时，f(t)取得最大值4，即投入2百万元的广告费时，该公司获得的收益最大(2)设用于技术改造的资金为x(百万元)，则用于广告促销的资金为(3x)(百万元)，由此获得的收益是g(x)(百万元)，则g(x)(3x)25(3x)3x34x3(0x3)，所以g(x)x24.令g(x)0，解得x2(舍去)或x2.又当0x0；当2x3时，g(x)0.所以当x2时，g(x)取最大值，即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，该公司获得的收益最大22(本小题满分12分)已知函数f(x)ln xax2(2a1)x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a0，故f(x)在(0，)上单调递增若a0，当x时，f(x)0.故f(x)在上单调递增，在上单调递减(2)证明：由(1)知，当a0；当x(1，)时，g(x)0时，g(x)0.从而当a0时，ln10，即f(x)2.
