1、安徽省合肥市第八中学2020-2021学年高一数学下学期期末复习限时作业（11）（含解析）一、选择题：本题共8小题，前6小题为单项选择，每小题5分；后2小题为多项选择，每小题7分，合计共44分。1平面外的不共线三个点到平面的距离都相等，则平面与平面的位置关系是（ ）A平行B相交C重合D相交或平行【答案】D【详解】 如图1，当三点在平面同侧时，平面与平面的位置关系是平行，如图2，当三点在平面异侧时，平面与平面的位置关系是相交，故选：D2设是一平面，是一直线，直线，则“”是“”的（ ）条件.A充分非必要B必要非充分C充要D既不充分也不必要【答案】A【详解】由，可得，又，则，由，可得或，所以“”是“
2、”的充分不必要条件.故选：A3（空课十一）在直三棱柱中，侧棱平面，若，点，分别，的中点，则异面直线与所成的角为（ ）ABCD【答案】B【详解】在直三棱柱中，侧棱平面，点，分别，的中点，是异面直线与所成的角（或所成角的补角），连结，则，异面直线与所成的角为故选B4如图，已知四边形为圆柱的轴截面，为的中点，为母线的中点，异面直线与所成角的余弦值为，则该圆柱的体积为（ ）ABCD【答案】B【详解】取的中点，连接、，、分别为、中点，则，所以异面直线与所成的角为或其补角，因为为的中点，所以，即，平面，平面，平面，平面，设圆柱的底面圆的半径为，平面，平面，又因为，则，所以，因为，解得，因此，圆柱的体积为.
3、故选：B.5（单元练习8）已知三棱锥的四个顶点都在半径为的球面上，且，若三棱锥体积的最大值为，则该球的表面积为（ ）ABCD【答案】A6已知正方体的棱长为，点分别为棱的中点，下列结论中，其中正确的个数是（ ）过三点作正方体的截面，所得截面为正六边形；平面；异面直线与所成角的正切值为；四面体的体积等于A1B2C3D4【答案】C【详解】对于.延长分别与的延长线交于，连接交于，设与的延长线交于，连接交于，交于，连，则截面六边形为正六边形，故正确；对于.与相交，故与平面相交，所以不正确；对于.，且与相交，所以平面，故正确；对于.连接,由条件有,所以为异面直线与的夹角,在直角三角形中， .故正确；对于.
4、四面体的体积等于正方体的体积减去四个正三棱锥的体积，即为，故不正确故选：C二、多选题7（单元练习9）如图所示，在棱长为2的正方体中，E，F，G分别为所在棱的中点，P为平面内（包括边界）一动点，且平面EFG，则（ ）AB平面EFGC三棱锥的体积为DP点的轨迹长度为2【答案】BCD【详解】对于A，取的中点为，连接，由正方体的性质可知，而与相交，所以不平行，故A错误；对于B，连接，容易知道平面平面，由面面平行的性质可知平面EFG，故B正确；对于C，故C正确；对于D，由B可知平面平面，即点的轨迹为线段，长度为，故D正确；故选：BCD8如图，直角梯形，E为中点，以为折痕把折起，使点A到达点P的位置，且.
5、则 （ ）A平面平面 B二面角的大小为C. D与平面所成角的正切值为【答案】AB【详解】A中, ,在三角形中，所以,又，可得平面，平面，所以平面平面，A选项正确；B中，二面角的平面角为，根据折前着后不变知，故B选项正确；C中，若，又，可得平面,则,而,显然矛盾，故C选项错误；D中，由上面分析可知，为直线与平面所成角，在中，,故D选项错误.故选：AB.三、填空题：本题共4小题，每小题6分，共24分9唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺.它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示.已知球的半径为
6、，酒杯内壁表面积为.设酒杯上部分（圆柱）的体积为，下部分（半球）的体积为，则的值是_.【答案】2.解：设酒杯上部分高为，则酒杯内壁表面积，则，所以，故，故答案为：2.10（空课七）如图所示，正方体的棱长为2，是上的一个动点，则的最小值是_【答案】将沿直线折起，当点、在同一条直线上时，最小，此时，是边长为的等边三角形，所以所以的最小值是故答案为：11如图，三棱椎的底面是等腰直角三角形，且，则点到平面的距离等于_【答案】【详解】由题意，可将三棱锥补全为边长为1的正方体如图所示，设点到平面的距离为，则由得，所以故答案为：12二面角的大小为为垂足，为垂足，是棱上动点，则的最小值为_【答案】【详解】如图
7、，将二面角沿棱展成平角，连结，根据两点之间线段最短，可知就是的最小值，以为邻边，作矩形，由可知三点共线，则.故答案为：四、解答题：本题共2小题，共32分；第13题14分，第14题18分13如图，在三棱柱中，平面，分别是线段，的中点.（1）证明：平面；（2）当三棱柱的各棱长均为2时，求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【详解】（1）证明：连接与相交于点，连接，由侧面为平行四边形可得是线段的中点，又因为是线段的中点，平面，平面，平面.（2）平面，平面，是线段的中点，平面，平面，线段为三棱锥的高，平面，平面，三棱柱的各棱长均为2，四边形为正方形，14如图，等腰直角三角形ABC所在的平面
8、与半圆弧AB所在的平面垂直，ACAB，P是弧AB上一点，且PAB=30.（1）证明：平面BCP平面ACP；（2）若Q是弧AP上异于AP的一个动点，当三棱锥C-APQ体积最大时，求二面角A-PQ-C的余弦值.【答案】（1）详见解析；（2）.【详解】（1）因为等腰直角三角形ABC所在的平面与半圆弧AB所在的平面垂直，ACAB，所以平面APB，又PB平面APB，所以，又，所以平面ACP，又平面BCP，所以平面BCP平面ACP；（2）由（1）知平面APB，所以AC为三棱锥C-APQ的高，设 若三棱锥C-APQ体积最大，则三角形APQ面积最大当为的中点时，三角形APQ面积最大，如图所示：过点A作，连接，所以平面ACE，所以为二面角A-PQ-C的平面角，因为PAB=30.所以 ，所以，所以，所以.【点睛】本题主要考查面面垂直的判定，三棱锥的体积求法，还考查了转化化归的思想和逻辑推理，运算求解的能力，属于中档题.
