1、高考数学(江苏省专用)23.2 矩阵与变换1.(2017江苏,21B,10分)选修42:矩阵与变换已知矩阵A=,B=.(1)求AB;(2)若曲线C1:+=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2,求C2的方程.A组自主命题江苏卷题组五年高考解析 本小题主要考查矩阵的乘法、线性变换等基础知识,考查运算求解能力.(1)因为A=,B=,所以AB=.(2)设Q(x0,y0)为曲线C1上的任意一点,它在矩阵AB对应的变换作用下变为P(x,y),则=,即所 以因为点Q(x0,y0)在曲线C1上,则+=1,从而+=1,即x2+y2=8.因此曲线C1在矩阵AB对应的变换作用下得到曲线C2:x2+y2=8.
2、2.(2016江苏,21B,10分)已知矩阵A=,矩 阵B的逆矩阵B-1=,求矩阵AB.解析 设B=,则B-1B=,即=,故解得所以B=.因此,AB=.3.(2015江苏,21B,10分,0.957)已知x,yR,向量=是矩阵A=的属于特征值-2的一个特征向量,求矩阵A以及它的另一个特征值.证明 由已知,得A=-2,即=,则即所以矩阵A=.从而矩阵A的特征多项式f()=(+2)(-1),所以矩阵A的另一个特征值为1.4.(2014江苏,21B,10分,0.95)已知矩阵A=,B=,向量=,x,y为实数,若A=B,求x+y的值.解析 由已知,得A =,B=.因为A=B,所以=.故解得所以x+y=
3、.5.(2013江苏,21B,10分,0.949)已知矩阵A=,B=,求矩阵A-1B.解析 设矩阵A的逆矩阵为,则=,即=,故a=-1,b=0,c=0,d=,从而A的逆矩阵为A-1=,所以A-1B=.考点 矩阵与变换(2013福建,21(1),7分)选修42:矩阵与变换已知直线l:ax+y=1在矩阵A=对应的变换作用下变为直线l:x+by=1.(1)求实数a,b的值;(2)若点P(x0,y0)在直线l上,且 A=,求点P的坐标.B组 统一命题省(区、市)卷题组解析(1)设直线l:ax+y=1上任意点M(x,y)在矩阵A对应的变换作用下的像是M(x,y).由=,得又点M(x,y)在l上,所以x+
4、by=1,即x+(b+2)y=1,依题意得解得(2)由A=,得解得y0=0.又点P(x0,y0)在直线l上,所以x0=1.故点P的坐标为(1,0).评析 本题主要考查矩阵、矩阵与变换等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想.解答题(共40分)1.(2017苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)已知二阶矩阵M有特征值=8及对应的一个特征向量e1=,并且矩阵M对应的变换将点(-1,2)变换为(-2,4).(1)求矩阵M;(2)求矩阵M的另一个特征值.三年模拟A组20152017年高考模拟基础题组(时间：35分钟分值：40分)解析(1)设M=,则M=8=,M=,解得即M.(2)设特征多项式为f(
5、)=(-6)(-4)-8,令f()=0,解得1=8,2=2,故矩阵M的另一个特征值为2.2.(2016无锡市普通高中期末考试,22)已 知 变 换T将平面上的点,(0,1)分别变换为点,.设变换T对应的矩阵为M.(1)求矩阵M;(2)求矩阵M的特征值.解析 设M=,则=,=,得a=3,b=-,c=-4,d=4.M=.(2)设矩阵M的特征多项式为f(),f()=(-3)(-4)-6=2-7+6,令f()=0,解得=1或=6.所以矩阵M的特征值为1或6.3.(2016江苏苏北四市一模,21)已 知 矩 阵A=,求矩阵A的特征值和特征向量.解析 矩阵A的特征多项式f()=2-5+6,由f()=0,解
6、得1=2,2=3.当=2时,特征方程组为故属于特征值2的一个特征向量1=;当=3时,特征方程组为故属于特征值3的一个特征向量2=.4.(2015江苏南通、扬州、淮安、连云港二模)已知 是矩阵M=的一个特征向量,求实数a的值.解析 设是矩阵M属于特征值的一个特征向量,则=,故解得解答题(共50分)1.(2017江苏扬州、泰州、南通、淮安、宿迁、徐州六市联考)设矩阵A 满足:A=,求矩阵A的逆矩阵A-1.B组20152017年高考模拟综合题组(时间：20分钟分值：40分)解析 解法一:设矩阵A=,则=,所以解得所以A=.根据逆矩阵公式得,矩阵A-1=.解法二:在 A=两边同时乘逆矩阵A-1得,=A
7、-1.设A-1=,则=,所以解得从而A-1=.2.(2016江苏南通二模,21)在平面直角坐标系xOy中,设 点A(-1,2)在矩阵M=对应的变换作用下得到点A,将点B(3,4)绕点A逆时针旋转90得到点B,求点B的坐标.解析 设B(x,y),由=,得A(1,2).则=(2,2),=(x-1,y-2).记旋转矩阵N=,则=,即=,解得所以点B的坐标为(-1,4).3.(2016江苏南京、盐城一模,21)设 矩 阵 M=的一个特征值为2,若曲线C在矩阵M变换下的方程为x2+y2=1,求曲线C的方程.解析 由题意,知矩阵M的特征多项式为f()=(-a)(-1),因矩阵M有一个特征值为2,所以f(2
8、)=0,所以a=2.设曲线C上任一点的坐标为(x,y),其在矩阵M的变换下的对应点的坐标为(x,y).所以M=,即因为曲线C在矩阵M变换下的方程为x2+y2=1,所以(2x)2+(2x+y)2=1,即曲线C的方程为8x2+4xy+y2=1.4.(2015江苏常州一模)已知矩阵M=满足:Mi=lii(i=1,2),其中li(i=1,2)是互不相等的实常数,i(i=1,2)是非零的平面列向量,若l1=1,2=,求矩阵M.解析 由题意得,l1,l2是方程f(l)=l2-ab=0的两根.因为l1=1,所以ab=1.因为M2=l22,所以=l2,从而所以=ab=1.因为l1l2,所以l2=-1.从而a=b=-1.故矩阵M=.5.(2015江苏泰州二模)已知矩阵A=,矩阵B=,直线l1:x-y+4=0经矩阵A所对应的变换得到直线l2,直线l2又经矩阵B所对应的变换得到直线l3:x+y+4=0.(1)求a,b的值;(2)求直线l2的方程.解析(1)BA=,设P(x,y)是l1上的任意一点,其在BA对应的变换作用下对应的点为(x,y),得到l1变换到l3的变换公式为则l3的方程为-+4=0,又l3:x+y+4=0,所以a=,b=-1.(2)A=,根据(1)的过程可得l2的方程为2y-x+4=0,即x-2y-4=0.评析 本题主要考查图形在矩阵下的变换的基础知识,考查运算求解能力.
