1、23.4平面向量共线的坐标表示内容标准学科素养1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.2.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线.3.掌握三点共线的判断方法.应用直观想象提升数学运算发展逻辑推理授课提示：对应学生用书第60页基础认识知识点平面向量共线的坐标表示阅读教材P9899，思考并完成以下问题根据向量的坐标运算，向量共线如何表示？已知下列几组向量：a(0，3)，b(0，6)；a(2，3)，b(4，6)；a(1，4)，b(3，12)；a，b.(1)将每组向量画在坐标系中，发现a与b有什么关系？提示：中a与b同向，中a与b反向(2)每组中的a与b共线吗？提示：共线知识梳理(1)设a(x1，y1
2、)，b(x2，y2)，其中b0，a，b共线，当且仅当存在实数，使ab.(2)如果用坐标表示，可写为(x1，y1)(x2，y2)，当且仅当x1y2x2y10时，向量a，b(b0)共线注意：对于(2)的形式极易写错，如写成x1y1x2y20或x1x2y1y20都是不对的，因此要理解并熟记这一公式，可简记为：纵横交错积相减思考若a(x1，y1)，b(x2，y2)，ab时，一定有吗？提示：不一定，当y10或y20时，不成立自我检测1已知向量a(2，1)，b(x1，2)，若ab，则实数x的值为()A2B2C3D3答案：D2与a(12，5)平行的单位向量为()A.B.C.或D.答案：C授课提示：对应学生用
3、书第60页探究一向量共线的判定与证明教材P101习题第6题已知A(2，3)，B(2，1)，C(1，4)，D(7，4)试问与是否共线？解析：(2，1)(2，3)(4，4)，(7，4)(1，4)(8，8)，.与共线例1(1)下列各组向量中，共线的是()Aa(2，3)，b(4，6)Ba(2，3)，b(3，2)Ca(1，2)，b(7，14)Da(3，2)，b(6，4)(2)在下列向量组中，可以把向量a(3，7)表示出来的是()Ae1(0，1)，e2(0，2)Be1(1，5)，e2(2，10)Ce1(5，3)，e2(2，1)De1(7，8)，e2(7，8)解析(1)利用x1y2x2y10判定(2)只有C
4、不共线，可作为基底答案(1)D(2)C方法技巧向量共线的判定方法跟踪探究1.判断下列各组中的向量是否平行：(1)a(1，3)，b(2，4)；(2)a(1，2)，b.解析：(1)143220，a与b不平行(2)1120，ab.探究二利用向量共线求参数教材P98例6方法步骤：由向量平行，建立坐标方程求解例2(1)已知向量a(1，2)，b(，1)，若(a2b)(2a2b)，则的值等于()A.B.C1 D2解析a2b(1，2)2(，1)(12，4)，2a2b2(1，2)2(，1)(22，2)，由(a2b)(2a2b)，可得2(12)4(22)0，解得.故选A.答案A(2)已知a(x，1)，b(4，x)
5、，a与b共线且方向相同，求x.解析a(x，1)，b(4，x)，ab，x240，解得x12，x22.当x2时，a(2，1)，b(4，2)，a与b共线且方向相同；当x2时，a(2，1)，b(4，2)，a与b共线且方向相反x2.方法技巧利用向量平行的条件求参数值的思路(1)利用共线向量定理ab(b0)列方程组求解(2)利用向量平行的坐标表达式直接求解探究三三点共线问题教材P98例7方法步骤：(1)三点中，任取两点构造向量，并用坐标表示(2)判定两向量是否共线(3)判定三点是否共线角度1判定三点共线或求参数例3(1)向量(k，12)，(4，5)，(10，k)，当k为何值时，A，B，C三点共线？解析法一
6、：(待定系数法)(4，5)(k，12)(4k，7)，(10，k)(4，5)(6，k5)又A，B，C三点共线，即(4k，7)(6，k5)(6，(k5)解得k11或k2.法二：(坐标法)向量、的坐标表示同法一A，B，C三点共线，(4k)(k5)6(7)，解得k11或k2.(2)已知A(1，1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，向量与平行吗？直线AB平行于直线CD吗？解析因为(2，4)，(1，2)，又因为22410，所以，因为(2，6)，(2，4)，所以24260，所以A，B，C三点不共线，所以直线AB与直线CD不重合，所以ABCD.角度2利用向量共线求点的坐标例4已知P1(2，1)，P2
7、(1，3)，P在直线P1P2上，且|.求点P的坐标解析当点P在线段P1P2上时，如图a：图a则有，设点P的坐标为(x，y)，(x2，y1)(1x，3y)，解得故点P的坐标为.当点P在线段P2P1的延长线上时，如图b：图b则有，设点P的坐标为(x，y)，(x2，y1)(1x，3y)，解得故点P的坐标为(8，9)综上可得点P的坐标为或(8，9)方法技巧(1)三点共线问题的实质是向量共线问题，两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的，利用向量平行证明三点共线需分两步完成：证明向量平行；证明两个向量有公共点(2)若A，B，C三点共线，即由这三个点组成的任意两个向量共线跟踪
8、探究2.在ABC中，已知点O(0，0)，A(0，5)，B(4，3)，AD与BC交于点M，求点M的坐标解析：设点C坐标为(xC，yC)，因为点O(0，0)，A(0，5)，B(4，3)，所以(0，5)，(4，3)因为(xC，yC)，所以点C.同理点D.设点M的坐标为(x，y)，则(x，y5)，而，因为A，M，D三点共线，所以与共线所以x2(y5)0，即7x4y20.而，而.因为C，M，B三点共线，所以与共线所以x40，即7x16y20.由得所以点M的坐标为.授课提示：对应学生用书第61页课后小结1两个向量共线条件的表示方法已知a(x1，y1)，b(x2，y2)，(1)当b0时，ab.(2)x1y2
9、x2y10.(3)当x2y20时，即两向量的相应坐标成比例2两向量共线的坐标表示的应用，可分为两个方面(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行；(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据3向量坐标表示可使向量运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来素养培优1方程思想解决共线问题典例已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，则AC与OB的交点P的坐标为_解析法一(待定系数法)：由O，P，B三
10、点共线，可设(4，4)，则(44，4)又(2，6)，由与共线，得(44)64(2)0，解得，所以(3，3)，所以点P的坐标为(3，3)法二(坐标法)：设点P(x，y)，则(x，y)因为(4，4)，且与共线，所以，即xy.又(x4，y)，(2，6)，且与共线，所以(x4)6y(2)0，解得xy3，所以点P的坐标为(3，3)答案(3，3)点评已知两个向量共线，求参数的问题，参数一般设置在两个位置：一是向量坐标中，二是相关向量用已知两个向量的含参关系式表示这类题目需根据题目特点恰当地选择向量共线的坐标表示形式，建立方程(组)求解2数形结合思想解决几何问题典例在直角梯形ABCD中，ADAB，AB2AD
11、2CD.过点C作CEAB于点E，点M为CE的中点求证：(1)DEBC；(2)D，M，B三点共线解析以点E为坐标原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图，设|AD|1，则|DC|1，|AB|2.CEAB，ADDC，四边形AECD为正方形在平面直角坐标系中各点的坐标分别为E(0，0)，B(1，0)，C(0，1)，D(1，1)，A(1，0)(1)(1，1)(0，0)(1，1)，(0，1)(1，0)(1，1)，即DEBC.(2)点M为EC的中点，M，(1，1)，(1，0)，又MD，MB有公共点M，D，M，B三点共线点评(1)利用向量坐标运算求解或证明几何问题，首先要建立适当的平面直角坐标系，一般以图形中的直角顶点为原点，直角边所在的直线分别为x轴、y轴，尽可能使更多的点落在坐标轴上，尽可能使更多的直线与x轴、y轴平行(2)注意证明线线平行与点共线的联系与区别
