1、2020 届高三年级第二学期期初联考试卷 数学试题 试题一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1已知集合 A1，2，3，B2，4，则 AB 2已知复数 z12i，z2a2i（i 为虚数单位，aR），若 z1z2 为纯虚数，则实数 a 的值为 3函数 f(x)ln(x1)的定义域为 4某人 5 次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为 12，x，10，11，9已知这组数据的平均数为 10，方差为 2，则 x 的值为 5已知抛物线 y24x 上一点的距离到焦点的距离为 5，则这点的坐标为 6已知命题 p：1xa0，若 p 是
2、 q 的充分不必要条件，则实数 a 的取值范围是 7等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 4a1，2a2，a3 成等差数列，a11，则 S7 8函数 f(x)是在 R 上的周期为 3 的奇函数，当 0 xc1 的解集为(m4，m)，则实数 c 的值为 12在锐角ABC 中，已知 sinC4cosAcosB，则 tanAtanB 的最大值为 13在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，ABC120，ABC 的平分线交 AC 于点 D，且 BD1，则 4ac 的最小值为 14设函数 f(x)axsinxcosx若函数 f(x)的图象上存在不同的两点 A，B，使得曲线 yf(x)
3、在点 A，B 处的切线互相垂直，则实数 a 的取值范围为 二、解答题（本大题共 6 小题，计 90 分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15（本小题满分 14 分）如图，在三棱锥 ABCD 中，E，F 分别为棱 BC，CD 上的点，且 BD平面 AEF（1）求证：EF平面 ABD；（2）若 BDCD，AE平面 BCD，求证：平面 AEF平面 ACD16（本小题满分 14 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，cosB45（1）若 c2a，求sinBsinC的值；（2）若 CB4，求 sinA 的值17（本小题满分 14 分）
4、如图，某城市有一块半径为 40 m 的半圆形绿化区域（以 O 为圆心，AB 为直径），现计划对其进行改建在 AB 的延长线上取点 D，OD80 m，在半圆上选定一点 C，改建后的绿化区域由扇形区域 AOC 和三角形区域 COD 组成，其面积为 S m2设AOCx rad（1）写出 S 关于 x 的函数关系式 S(x)，并指出 x 的取值范围；（2）试问AOC 多大时，改建后的绿化区域面积 S 取得最大值ABCFED（第 15 题）ABOCD（第 17 题）18（本小题满分 16 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)过点61 2，其离心率等于 22（1）求
5、椭圆 E 的标准方程；（2）若 A，B 分别是椭圆 E 的左，右顶点，动点 M 满足 MBAB，且 MA 交椭圆 E 于点 P求证：OP OM为定值；设 PB 与以 PM 为直径的圆的另一交点为 Q，求证：直线 MQ 经过定点19（本小题满分 16 分）已知函数 f(x)12ax2lnx，g(x)bx，设 h(x)f(x)g(x)（1）若 f(x)在 x 22 处取得极值，且 f(1)g(1)2，求函数 h(x)的单调区间；（2）若 a0 时，函数 h(x)有两个不同的零点 x1，x2求 b 的取值范围；求证：x1x2e220（本小题满分 16 分）已知数列an前 n 项和为 Sn，数列an的
6、奇数项是首项为 1 的等差数列，偶数项是首项为 2 的等比数列，且满足 S52a4a5，a9a3a4（1）求数列an的通项公式；（2）若 amam1am2，求正整数 m 的值；（3）是否存在正整数 m，使得122mmSS恰好为数列an中的一项？若存在，求出所有满足条件的 m 值，若不存在，说明理由2020 届高三年级第二学期期初联考试卷 数学试题 命题单位：丹阳高级中学审核单位：金陵中学无锡一中试题21【选做题】在 A、B、C 三小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，共计 20 分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修 42：矩阵与变换设 a，bR若直线 l：
7、axy70 在矩阵 A=3 01b对应的变换作用下，得到的直线为 l：9xy910求实数 a，b 的值B选修 44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l：x135t，y45t(t 为参数)，与曲线 C：x4k2，y4k(k 为参数)交于 A，B 两点，求线段 AB 的长C选修 45：不等式选讲已知 x，yR，且|xy|16，|xy|14，求证：|x5y|1【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤22（本小题满分 10 分）某中学有 4 位学生申请 A，B，C 三所大学的自主招生若每位学生
8、只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的（1）求恰有 2 人申请 A 大学的概率；（2）求被申请大学的个数 X 的概率分布列与数学期望 E(X)23（本小题满分 10 分）已知2120121nxaa xa x 2121nnax，*nN记021nnn kkTka（1）求2T 的值；（2）化简nT 的表达式，并证明：对任意的*nN，nT 都能被42n 整除期初联考试卷 数学试题参考答案及评分标准试题一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）11，2，3，4 21 3(1，)48 5(4，4)65，7 7127 82
9、 93：2 1043113124139141，1二、解答题（本大题共 6 小题，计 90 分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15（本小题满分 14 分）解：（1）因为 BD平面 AEF，BD平面 BCD，平面 AEF平面 BCDEF，所以 BDEF3 分因为 BD平面 ABD，EF平面 ABD，所以 EF平面 ABD6 分（2）因为 AE平面 BCD，CD平面 BCD，所以 AECD8 分因为 BDCD，BDEF，所以 CDEF，10 分又 AEEFE，AE平面 AEF，EF平面 AEF，所以 CD平面 AEF12 分又 CD平面 ACD，所以平面
10、 AEF平面 ACD14 分16（本小题满分 14 分）解：（1）解法 1：在 ABC 中，因为 cosB45，所以a2c2b22ac452 分因为 c2a，所以(c2)2c2b22cc245，即b2c2 920，所以bc3 510 4 分又由正弦定理得sinBsinCbc，所以sinBsinC3 510 6 分解法 2：因为 cosB45，B(0，)，所以 sinB 1cos2B352 分因为 c2a，由正弦定理得 sinC2sinA，所以 sinC2sin(BC)65cosC85sinC，即sinC2cosC4 分又因为 sin2Ccos2C1，sinC0，解得 sinC2 55，所以si
11、nBsinC3 510 6 分（2）因为 cosB45，所以 cos2B2cos2B1 7258 分又 0B，所以 sinB 1cos2B35，所以 sin2B2sinBcosB23545242510 分因为 CB4，即 CB4，所以 A(BC)34 2B，所以 sinAsin(34 2B)sin34 cos2Bcos34 sin2B31 250 14 分17（本小题满分 14 分）解：（1）因为扇形 AOC 的半径为 40 m，AOCx rad，所以扇形 AOC 的面积 S 扇形 AOCxOA22800 x，0 x2 分在 COD 中，OD80，OC40，CODx，所以 S COD12OCO
12、DsinCOD1600sin(x)1600sinx4 分从而 SS CODS 扇形 AOC1600sinx800 x，0 x6 分（2）由（1）知，S(x)1600sinx800 x，0 xS(x)1600cosx8001600(cosx12)8 分由 S(x)0，解得 x23 从而当 0 x23 时，S(x)0；当23 x 时，S(x)0 因此 S(x)在区间(0，23)上单调递增；在区间(23，)上单调递减11 分所以 当 x23，S(x)取得最大值答：当AOC 为23 时，改建后的绿化区域面积 S 最大14 分18（本小题满分 16 分）解：（1）由题得223121 22abca，且22
13、2cab，解得224 2 ab，所以椭圆 E 的方程为22142xy+=4 分（2）设0(2 )My，11()P x y，直线 MA的方程为0042yyyx，代入椭圆得2222000140822yyyxx，由201204828yxy得20120288yxy，012088yyy，8 分所以20002200288(2 )88yyOP OMyyy，22002200488488yyyy10 分直线 MQ 过定点(0 0)O，理由如下：由题得020200208822828PByykyyy，12 分由 MQPB得02MQyk，则 MQ 的方程为00(2)2yyyx，即02yyx，14 分所以直线 MQ 过
14、定点(0 0)O，16 分19（本小题满分 16 分）解：（1）因为1()fxaxx，所以(1)1fa，由(1)(1)2fg可得3 ba又因为()f x 在22x 处取得极值，所以22()2022fa，所以1,2ba2 分所以2()lnh xxxx，其定义域为),0(2121(21)(1)()21=xxxxh xxxxx，令()0h x得121,12xx ，当)1,0(x时，()0h x，当),1(x时，()0h x，所以函数 h(x)在区间)1,0(上单调增，在区间),1(上单调减4 分（2）当0a 时，()lnh xxbx，其定义域为),0(由()0h x 得ln-xbx，记ln()xxx
15、，则2ln1()xxx，所以ln()xxx 在(0,)e 单调减，在(,)e 单调增，所以当 xe时，ln()xxx 取得最小值1e6 分又(1)0，所以(0,1)x时，()0 x，而(1,)x 时，()0 x，所以 b 的取值范围是)0,1(e10 分注：此处需用零点存在定理证明，如考生未证明，此问最多不超过 3 分由题意得1122ln0,ln0 xbxxbx，所以12122121ln()0,lnln()0 x xb xxxxb xx，所以12122121lnlnlnx xxxxxxx，12 分不妨设 x1x2，要证212x xe，只需要证12122121ln(lnln)2xxx xxxxx
16、，即证2121212()lnlnxxxxxx14 分设21(1)xttx，则2(1)4()lnln211tF ttttt，所以22214(1)()0(1)(1)tF tttt t，函数()F t 在),1(上单调增，而(1)0F，所以()0F t，即2(1)ln1ttt，所以212x xe16 分20（本小题满分 16 分）解：（1）设12531,kaaaa的公差为d，kaaaa2642,的公比为q，则daddaaqqaa41,1,291324由322421134439545qdqdadaSaaaaaaS，2 分所以为偶数为奇数nnnann,32,124 分（2）若)(12Nkkm，则1221
17、321232)12(11kkkkk，因为132k为正整数，所以122k为正整数，即1112kk，此时3320，不成立，舍去6 分若)(2Nkkm，则1312kk，2m，成立，综上，2m8 分（3）若122mmSS为 na中的一项，则122mmSS为正整数，因为)()(2242123112mmmaaaaaaS1313)13(22)121(211mmmmm，10 分所以313)1(2321212212122mmSaSSSmmmmmm，故若122mmSS为 na中的某一项，只能为321,aaa12 分若mmmm113)1(23212，2013213)1(2321212mmmmmm，11313)1(2
18、32212mmmmm，15 分综上，1m或2m16 分试题 21【选做题】在 A、B、C 三小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，共计 20 分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修 42：矩阵与变换解：在直线 l：axy70 取点 A(0，7)，B(1，7a)因为3 01 b 07 07b，3 01 b 17a 3b(7a)1，4 分所以 A，B 在矩阵 A 对应的变换作用下分别得到点 A(0，7b)，B(3，b(7a)1)由题意，知 A，B在直线 l：9xy910 上，所以7b910，27b(7a)19108 分解得 a2，b1310 分B选修 44：坐标
19、系与参数方程解：直线 l 的参数方程化为普通方程得 4x3y4，2 分将曲线 C 的参数方程化为普通方程得 y24x4 分联立方程组4x3y4，y24x，解得 x4，y4或x14，y1所以 A(4，4)，B(14，1)8 分所以 AB254 10 分C选修 45：不等式选讲证：因为|x5y|3(xy)2(xy)|5 分由绝对值不等式性质，得|x5y|3(xy)2(xy)|3(xy)|2(xy)|3|xy|2|xy|3162141即|x5y|110 分【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤22（本小题满分
20、 10 分）解：（1）记“恰有 2 人申请 A 大学”为事件 A，P(A)C4222342481 827答：恰有 2 人申请 A 大学的概率为 8274 分（2）X 的所有可能值为 1，2，3P(X1)334 127，P(X2)C43A323A323442811427，P(X3)C42A3334368149所以 X 的概率分布列为：X123P127142749所以 X 的数学期望 E(X)1 12721427349652710 分23（本小题满分 10 分）解：（1）210221055535C3C5C30Taaa3 分（2）121221!212!1C121 C1!nkn knnnnnnknkn
21、nknknknk 121210002121 C21 Cnnnn knknn knnkkkTkakk 1112121210002121C21C21Cnnnnknknknnnkkknknnkn 12212212200112 21C21C2 212C21221 C22nnn knknnnnnnnnkknnnnn 12212212200112 21C21C2 212C21221 C22nnn knknnnnnnnnkknnnnn 7 分1221212121 C21 CC2 21 CnnnnnnnnnTnnn*21CnnN，nT 能被42n 整除10 分金陵中学、丹阳高级中学、无锡一中 2020 届高三
22、年级第二学期期初联考试卷 数学试题点评与参考答案试题一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1已知集合 A1，2，3，B2，4，则 AB 【点评】集合并集的运算，简单题。【答案】11，2，3，42已知复数 z12i，z2a2i（i 为虚数单位，aR），若 z1z2 为纯虚数，则实数 a 的值为 【点评】复数的概念，简单题。此题源自于南京二模改编。【答案】213函数 f(x)ln(x1)的定义域为 【点评】函数的定义域，简单题。【答案】3(1，)4某人 5 次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为 12，x，10，11，9已
23、知这组数据的平均数为 10，方差为 2，则 x 的值为 【点评】平均数与方差的计算，简单题。此题为改编题。【答案】485已知抛物线 y24x 上一点的距离到焦点的距离为 5，则这点的坐标为 【点评】抛物线的性质，简单题。注意上下两个点，学生容易出错。【答案】5(4，4)6已知命题 p：1xa0，若 p 是 q 的充分不必要条件，则实数 a 的取值范围是 【点评】逻辑用语，中等题。此题为改编题。【答案】65，77等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 4a1，2a2，a3 成等差数列，a11，则 S7 【点评】等比数列公式的考查，中等题。【答案】71278函数 f(x)是在 R 上的周期为 3
24、的奇函数，当 0 xc1 的解集为(m4，m)，则实数 c 的值为 【点评】函数值域与不等式的简单综合，中等题。此题为改编题。【答案】11312在锐角ABC 中，已知 sinC4cosAcosB，则 tanAtanB 的最大值为 【点评】以正切为切入点的最值问题，中等题。此题有较多变式，后续教学应重点关注。【答案】12413在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，ABC120，ABC 的平分线交 AC 于点 D，且 BD1，则 4ac 的最小值为 【点评】三角形中的最值问题，中等题。【答案】13914设函数 f(x)axsinxcosx若函数 f(x)的图象上存在不同的两点
25、A，B，使得曲线 yf(x)在点 A，B 处的切线互相垂直，则实数 a 的取值范围为 【点评】函数与导数综合，以切线为切入点，难题。此题源自南京二模。【答案】141，1【填空题总评】本次考试填空题难度不大，关注基本点的考查，考生在本部分如低于 60 分，需要加强相关基本题的训练。此外，本次填空有多题为各市前几年的二模真题或改编题，难度略低，但考点覆盖较全面，针对近两年难度的下降，填空题难度的下降也会成为趋势。二、解答题（本大题共 6 小题，计 90 分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15（本小题满分 14 分）如图，在三棱锥 ABCD 中，E，F
26、分别为棱 BC，CD 上的点，且 BD平面 AEF（1）求证：EF平面 ABD；（2）若 BDCD，AE平面 BCD，求证：平面 AEF平面 ACD【点评】本题考查线面平行的判定定理，面面平行的判定定理，简单题。在阅卷时，应严格按照评分标准进行阅卷。对于考生在此部分答题的不规范，应严格判分。【答案】解：（1）因为 BD平面 AEF，BD平面 BCD，平面 AEF平面 BCDEF，所以 BDEF3 分因为 BD平面 ABD，EF平面 ABD，所以 EF平面 ABD6 分（2）因为 AE平面 BCD，CD平面 BCD，所以 AECD8 分因为 BDCD，BDEF，所以 CDEF，10 分又 AEE
27、FE，AE平面 AEF，EF平面 AEF，所以 CD平面 AEF12 分又 CD平面 ACD，所以平面 AEF平面 ACD14 分16（本小题满分 14 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，cosB45（1）若 c2a，求sinBsinC的值；（2）若 CB4，求 sinA 的值【点评】本题考查正弦定理与余弦定理，三角函数的相关运算，中等题。注意考生的答题规范。ABCFED（第 15 题）【答案】解：（1）解法 1：在 ABC 中，因为 cosB45，所以a2c2b22ac452 分因为 c2a，所以(c2)2c2b22cc245，即b2c2 920，所以bc3 5
28、10 4 分又由正弦定理得sinBsinCbc，所以sinBsinC3 510 6 分解法 2：因为 cosB45，B(0，)，所以 sinB 1cos2B352 分因为 c2a，由正弦定理得 sinC2sinA，所以 sinC2sin(BC)65cosC85sinC，即sinC2cosC4 分又因为 sin2Ccos2C1，sinC0，解得 sinC2 55，所以sinBsinC3 510 6 分（2）因为 cosB45，所以 cos2B2cos2B1 7258 分又 0B，所以 sinB 1cos2B35，所以 sin2B2sinBcosB23545242510 分因为 CB4，即 CB4
29、，所以 A(BC)34 2B，所以 sinAsin(34 2B)sin34 cos2Bcos34 sin2B31 250 14 分17（本小题满分 14 分）如图，某城市有一块半径为 40 m 的半圆形绿化区域（以 O 为圆心，AB 为直径），现计划对其进行改建在 AB 的延长线上取点 D，OD80 m，在半圆上选定一点 C，改建后的绿化区域由扇形区域 AOC 和三角形区域 COD 组成，其面积为 S m2设AOCx rad（1）写出 S 关于 x 的函数关系式 S(x)，并指出 x 的取值范围；（2）试问AOC 多大时，改建后的绿化区域面积 S 取得最大值【点评】应用题，以三角函数为基底进行
30、考查，中等题。此题源自南京市零模，难度不大。在高考中，预测应用题也会以三角函数为基底进行考查，关注导数或不等式。【答案】解：（1）因为扇形 AOC 的半径为 40 m，AOCx rad，所以扇形 AOC 的面积 S 扇形 AOCxOA22800 x，0 x2 分在 COD 中，OD80，OC40，CODx，所以 S COD12OCODsinCOD1600sin(x)1600sinx4 分从而 SS CODS 扇形 AOC1600sinx800 x，0 x6 分（2）由（1）知，S(x)1600sinx800 x，0 xS(x)1600cosx8001600(cosx12)8 分由 S(x)0，
31、解得 x23 从而当 0 x23 时，S(x)0；当23 x 时，S(x)0 因此 S(x)在区间(0，23)上单调递增；在区间(23，)上单调递减11 分所以 当 x23，S(x)取得最大值答：当AOC 为23 时，改建后的绿化区域面积 S 最大14 分18（本小题满分 16 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)过点61 2，其离心率等于 22（1）求椭圆 E 的标准方程；（2）若 A，B 分别是椭圆 E 的左，右顶点，动点 M 满足 MBAB，且 MA 交椭圆 E 于点 P求证：OP OM为定值；设 PB 与以 PM 为直径的圆的另一交点为 Q，求证
32、：直线 MQ 经过定点【点评】本题考查解析几何，关注向量的运算，在二模中属于热度题，中等题。定点定值题，一定要算到底，注意方法优化，本题应注意一题多解。【答案】ABOCD（第 17 题）解：（1）由题得223121 22abca，且222cab，解得224 2 ab，所以椭圆 E 的方程为22142xy+=4 分（2）设0(2 )My，11()P x y，直线 MA的方程为0042yyyx，代入椭圆得2222000140822yyyxx，由201204828yxy得20120288yxy，012088yyy，8 分所以20002200288(2 )88yyOP OMyyy，2200220048
33、8488yyyy10 分直线 MQ 过定点(0 0)O，理由如下：由题得020200208822828PByykyyy，12 分由 MQPB得02MQyk，则 MQ 的方程为00(2)2yyyx，即02yyx，14 分所以直线 MQ 过定点(0 0)O，16 分19（本小题满分 16 分）已知函数 f(x)12ax2lnx，g(x)bx，设 h(x)f(x)g(x)（1）若 f(x)在 x 22 处取得极值，且 f(1)g(1)2，求函数 h(x)的单调区间；（2）若 a0 时，函数 h(x)有两个不同的零点 x1，x2求 b 的取值范围；求证：x1x2e2【点评】本题考查函数与导数，中等题。
34、零点问题注意零点存在定理的使用，如不使用得分会较低。第三问考查点较为基础，在教学过程中教师应注意这类题的证法。在高考中，不会再出现这样的陈题、旧题，但这样的方法与思想应该牢牢把握。【答案】解：（1）因为1()fxaxx，所以(1)1fa，由(1)(1)2fg可得3 ba又因为()f x 在22x 处取得极值，所以22()2022fa，所以1,2ba2 分所以2()lnhxxxx，其定义域为),0(2121(21)(1)()21=xxxxh xxxxx，令()0h x得121,12xx ，当)1,0(x时，()0h x，当),1(x时，()0h x，所以函数 h(x)在区间)1,0(上单调增，在
35、区间),1(上单调减4 分（2）当0a 时，()lnh xxbx，其定义域为),0(由()0h x 得ln-xbx，记ln()xxx，则2ln1()xxx，所以ln()xxx 在(0,)e 单调减，在(,)e 单调增，所以当 xe时，ln()xxx 取得最小值1e6 分又(1)0，所以(0,1)x时，()0 x，而(1,)x 时，()0 x，所以 b 的取值范围是)0,1(e10 分注：此处需用零点存在定理证明，如考生未证明，此问最多不超过 3 分由题意得1122ln0,ln0 xbxxbx，所以12122121ln()0,lnln()0 xxbxxxxbxx，所以12122121lnlnln
36、x xxxxxxx，12 分不妨设 x1x2，要证212x xe，只需要证12122121ln(lnln)2xxx xxxxx，即证2121212()lnlnxxxxxx14 分设21(1)xttx，则2(1)4()lnln211tF ttttt，所以22214(1)()0(1)(1)tF tttt t，函数()F t 在),1(上单调增，而(1)0F，所以()0F t，即2(1)ln1ttt，所以212x xe16 分20（本小题满分 16 分）已知数列an前 n 项和为 Sn，数列an的奇数项是首项为 1 的等差数列，偶数项是首项为 2 的等比数列，且满足 S52a4a5，a9a3a4（1
37、）求数列an的通项公式；（2）若 amam1am2，求正整数 m 的值；（3）是否存在正整数 m，使得122mmSS恰好为数列an中的一项？若存在，求出所有满足条件的 m 值，若不存在，说明理由【点评】等差数列、等比数列的综合，难题。前两问较基础，注重公式的考查，第三问对于考生的解题思维有较大挑战，不求满分，只求多得分。【答案】解：（1）设12531,kaaaa的公差为d，kaaaa2642,的公比为q，则daddaaqqaa41,1,291324由322421134439545qdqdadaSaaaaaaS，2 分所以为偶数为奇数nnnann,32,124 分（2）若)(12Nkkm，则12
38、21321232)12(11kkkkk，因为132k为正整数，所以122k为正整数，即1112kk，此时3320，不成立，舍去6 分若)(2Nkkm，则1312kk，2m，成立，综上，2m8 分（3）若122mmSS为 na中的一项，则122mmSS为正整数，因为)()(2242123112mmmaaaaaaS1313)13(22)121(211mmmmm，10 分所以313)1(2321212212122mmSaSSSmmmmmm，故若122mmSS为 na中的某一项，只能为321,aaa12 分若mmmm113)1(23212，2013213)1(2321212mmmmmm，11313)1
39、(232212mmmmm，15 分综上，1m或2m16 分【解答题总评】本次解答题难度中等，涉及考点较全面。在本次作答过程中，考生应注意对答题思维的培养与答题规范的重视，不应拘泥于分数的高低。试题21【选做题】在 A、B、C 三小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，共计 20 分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修 42：矩阵与变换设 a，bR若直线 l：axy70 在矩阵 A=3 01b对应的变换作用下，得到的直线为 l：9xy910求实数 a，b 的值【点评】考查矩阵与变换，简单题。【答案】解：在直线 l：axy70 取点 A(0，7)，B(1，7a)因
40、为3 01 b 07 07b，3 01 b 17a 3b(7a)1，4 分所以 A，B 在矩阵 A 对应的变换作用下分别得到点 A(0，7b)，B(3，b(7a)1)由题意，知 A，B在直线 l：9xy910 上，所以7b910，27b(7a)19108 分解得 a2，b1310 分B选修 44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l：x135t，y45t(t 为参数)，与曲线 C：x4k2，y4k(k 为参数)交于 A，B 两点，求线段 AB 的长【点评】坐标系与参数方程，简单题。注意计算的准确性和速度。【答案】解：直线 l 的参数方程化为普通方程得 4x3y4，2 分将曲线
41、 C 的参数方程化为普通方程得 y24x4 分联立方程组4x3y4，y24x，解得 x4，y4或x14，y1所以 A(4，4)，B(14，1)8 分所以 AB254 10 分C选修 45：不等式选讲已知 x，yR，且|xy|16，|xy|14，求证：|x5y|1【点评】本题考查绝对值不等式的性质，简单题。绝对值不等式在一卷教学中应该也要有所涉及，对于作答会有较大的帮助。【答案】证：因为|x5y|3(xy)2(xy)|5 分由绝对值不等式性质，得|x5y|3(xy)2(xy)|3(xy)|2(xy)|3|xy|2|xy|3162141即|x5y|110 分【必做题】第 22 题、第 23 题，每
42、题 10 分，共计 20 分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤22（本小题满分 10 分）某中学有 4 位学生申请 A，B，C 三所大学的自主招生若每位学生只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的（1）求恰有 2 人申请 A 大学的概率；（2）求被申请大学的个数 X 的概率分布列与数学期望 E(X)【点评】概率分布，中等题。第一问考生应重点检查，不能出现错误。【答案】解：（1）记“恰有 2 人申请 A 大学”为事件 A，P(A)C4222342481 827答：恰有 2 人申请 A 大学的概率为 8274 分（2）X 的所有可能值为 1，2，3P(X1
43、)334 127，P(X2)C43A323A323442811427，P(X3)C42A3334368149所以 X 的概率分布列为：X123P127142749所以 X 的数学期望 E(X)1 12721427349652710 分23（本小题满分 10 分）已知2120121nxaa xa x 2121nnax，*nN记021nnn kkTka（1）求2T 的值；（2）化简nT 的表达式，并证明：对任意的*nN，nT 都能被42n 整除【点评】本题考查二项式定理，难题。【答案】解：（1）210221055535C3C5C30Taaa3 分（2）121221!212!1C121 C1!nkn knnnnnnknknnknknknk 121210002121 C21 Cnnnn knknn knnkkkTkakk 1112121210002121C21C21Cnnnnknknknnnkkknknnkn 12212212200112 21C21C2 212C21221 C22nnn knknnnnnnnnkknnnnn 12212212200112 21C21C2 212C21221 C22nnn knknnnnnnnnkknnnnn 7 分1221212121 C21 CC2 21 CnnnnnnnnnTnnn*21CnnN，nT 能被42n 整除10 分
