1、第27讲平面向量的概念及线性运算夯实基础【p63】【学习目标】1理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念2理解向量的加法和减法及几何意义3掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件【基础检测】1已知两点A(4，1)，B(7，3)，则与向量同向的单位向量是()A B.C. D.【解析】因为A、B两点的坐标为A(4，1)，B(7，3)，所以(3，4)，所以|5，所以与向量同向的单位向量为.故选C.【答案】C2如图，在ABC中，BE是边AC的中线，O是BE边的中点，若a，b，则()A.abB.abC.abD.ab【解析】由题意，在ABC中，BE是边AC上的中线，所以，又因为O为BE
2、的中点，所以()ab，故选B.【答案】B3下列命题中：ab存在唯一的实数R，使得ba；若e为单位向量，且ae，则a|a|e；|aaa|a|3；若a与b共线，b与c共线，则a与c共线；若abbc且b0，则ac.其中正确命题的序号是()A B C D【解析】对于，根据共线向量的定理可知，当a0时此命题才正确，所以此命题错误；对于，根据共线向量和单位向量的定义可知，两向量共线方向相反或相同，所以此命题正确；对于，根据向量数量积的性质aaa2|a|2知道此命题正确；对于，向量的平行不具有传递性，当b0时才满足传递性，所以此命题错误；对于，由已知得(ac)b0且b0，则a与c相等或不相等，因为当(ac)
3、b也正确，所以此命题错误，所以选B.【答案】B4已知a与b是两个不共线向量，且向量ab与(b3a)共线，则_【解析】由已知得abk(b3a)，解得【答案】【知识要点】1向量的有关概念(1)向量：_既有大小又有方向的量_叫向量一般用a，b，c，来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母来表示，如：.向量的大小，即向量的长度(或称模)，记作|.(2)零向量：_长度为零_的向量，记作0，其方向是任意的我们规定：零向量和任何向量平行(3)单位向量：_长度等于1个_单位长度的向量与非零向量a同向的单位向量为，与a反向的单位向量为.(4)相等向量：长度相等且_方向相同_的向量相等向量经过平移后总可以重合，
4、记为ab.(5)平行向量：方向_相同或相反_的非零向量，叫作共线向量，因此任何平行向量经过平移后，总可以移到同一条直线上2向量的加、减运算(1)向量加、减法的定义求两个向量和的运算叫作向量的加法；若_bxa_，则向量x叫作a与b的差(2)向量加、减法的几何意义向量加法的几何意义向量的加法符合平行四边形法则和_三角形法则_如图所示的向量ab.向量减法的几何意义向量的减法符合_三角形法则_如图所示的向量ab(以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量)常用结论M为AOB边AB的中点，则()(3)线段中点的向量表示：若M是线段AB的中点，O是平面内任一点，则.向量加法的多边形法则：有限个向量a
5、1，a2，an相加，可以从点O出发，逐一作向量a1，a2，An1Anan，则向量是这些向量的和，即a1a2anAn1An(向量加法的多边形法则)当An和O重合时(即上述折线OA1A2An成封闭折线时)，和向量为零向量3向量的数乘运算(1)数乘向量的定义实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度与方向规定如下：|a|a|；当0时，a与a的_方向相同_；当0时，a与a的方向相反；当0时，a0；当a0时，_a0_(2)数乘向量的几何意义数乘向量的几何意义就是把向量a沿a的方向或a的反方向伸长或缩短(3)数乘向量的运算律设、为实数，则()aa a；( a)()a；(ab)ab.(4)共线向量(平行向
6、量基本定理)若ab，则ab；反之，若ab(b0)，则一定存在一个实数，使ab.4向量的有关概念名称定义备注向量既有_大小_又有方向的量；向量的大小叫作向量的_长度_(或称_模_)平面向量是自由向量零向量长度为_0_的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于_1个单位_的向量非零向量a的单位向量为平行向量方向_相同_或_相反_的非零向量共线向量_方向相同或相反_的非零向量又叫作共线向量0与任一向量平行或共线相等向量长度_相等_且方向_相同_的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度_相等_且方向_相反_的向量0的相反向量为05.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求
7、两个向量和的运算_三角形_法则_平行四边形_法则(1)交换律ab_ba_(2)结合律：(ab)c_a(bc)_减法求a与b的相反向量b的和的运算叫作a与b的差_三角形_法则aba(b)典 例 剖 析【p65】考点1向量概念及其几何意义给出下列命题：已知，R，则()a与a共线；若向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；若向量与是共线向量，则A，B，C，D必在同一直线上；四边形ABCD是平行四边形的充要条件是；已知O是平面内一定点，A，B，C是平面内不共线的三个点，动点P满足，0，)，则点P的轨迹一定通过ABC的内心其中正确的命题是_(填命题的序号)【解析】由实数与向量的积，可知其正确若其中
8、一个是零向量，则其方向不确定，故不正确，AB和CD可以共线，也可以平行，故不正确若四边形ABCD是平行四边形，则AB綊DC，所以；若四边形ABCD中，则AB綊CD，所以四边形ABCD是平行四边形，故正确与分别表示与方向的单位向量，设它们分别为与，设以它们为两条邻边的平行四边形是一个菱形ABPC，平分BAC，()与的方向相同，也平分BAC.由知P的轨迹为BAC的平分线，一定通过ABC的内心，故正确【答案】【小结】向量的基本概念、几何意义常在客观题中出现，要求学生概念清晰，并能灵活运用考点2平面向量的线性运算(1)如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则()A. B. C. D.【解
9、析】设a，以OP、OQ为邻边作平行四边形，则夹在OP、OQ之间的对角线对应的向量即为向量a，由a和长度相等，方向相同，a，故选C.【答案】C(2)在ABC中，已知D是AB边上的一点，若2，则等于()A. B. C D【解析】2，即2()，.【答案】A(3)在ABC中，D，E分别为BC，AC边上的中点，G为BE上一点，且GB2GE，设a，b，试用a，b表示，.【解析】()ab.()()ab.【小结】平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略：(1)向量加法或减法的几何意义向量加法和减法均适合三角形法则(2)求已知向量的和一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三
10、角形法则(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较求参数的值考点3向量共线的判定与应用设a、b是不共线的两个非零向量(1)若2ab，3ab，a3b，求证：A、B、C三点共线；(2)若8akb与ka2b共线，求实数k的值【解析】(1)(3ab)(2ab)a2b，(a3b)(3ab)2a4b2，与共线，且有公共端点B.A、B、C三点共线(2)8akb与ka2b共线，存在实数，使得(8akb)(ka2b)(8k)a(k2)b0.a与b不共线，8222.k24.【小结】(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系当两向量共线且有
11、公共点时，才能得出三点共线(2)向量a、b共线是指存在不全为零的实数1，2，使1a2b0成立，若1a2b0，当且仅当120时成立，则向量a、b不共线【能力提升】设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若(R)，(R)，且2，则称A3，A4调和分割A1，A2.已知平面上的点C，D调和分割点A，B，则下面的说法中正确的是()AC可能是线段AB的中点BD可能是线段AB的中点CC，D可能同时在线段AB上DC，D不可能同时在线段AB的延长线上【解析】依题意，若C，D调和分割点A，B，则有，且2.若C是线段AB的中点，则有，此时.又2，所以0，不可能成立因此A不对，同理B不对当C，D同时
12、在线段AB上时，由，知01，02，与已知条件2矛盾，因此C不对若C，D同时在线段AB的延长线上，则时，1，时，1，此时2，与已知条件2矛盾，故C，D不可能同时在线段AB的延长线上【答案】D【小结】本小题考查了对向量共线的理解及应用、利用所学知识分析解决问题的能力以及推理论证能力，求解时应明确，若点C在线段AB上，则当时，01，求解本题时还要注意不等式性质及反证法思想的应用，本题难度适中方 法 总 结【p66】1向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”2证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线3对于三点共线有以下结论：对于平面上的任一点O，不共线，满足xy(x，yR)，则P，A，B共线xy1.走 进 高 考【p66】1(2018全国卷)在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则()A. B.C. D.【解析】由题意可得().【答案】A
