1、第11讲 空间几何体、空间中的位置关系基础过关1.已知m,n是两条不重合的直线,是两个不重合的平面,则下列说法中错误的是()A.若mn,m,则nB.若mn,m,n,则nC.若mn,m,n,则D.若m,则m或m2.为美化环境,某城市决定用鲜花装饰如图X11-1所示花柱,它的下部是一个底面直径为1米、高为3米的圆柱形物体,上部是一个半球形物体.如果每平方米大约需要鲜花150朵,那么装饰一个这样的花柱大约需要的鲜花朵数为(3.14)()图X11-1A.1235B.1435C.1649D.18353.某几何体的三视图如图X11-2所示,其中俯视图是圆心角为120的扇形,则该几何体的体积为()图X11-
2、2A.23B.3C.29D.1694.已知某正方体的体积是8,则这个正方体的外接球的体积是()A.23B.43C.433D.835.设m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列选项中能推出mn的是()A.,m,nB.,m,nC.,m,nD.,m,n6.某四棱锥的三视图如图X11-3所示,则该四棱锥的最长侧棱的长为()图X11-3A.2B.22C.23D.47.如图X11-4,已知AB是圆柱上底面的一条直径,C是圆柱上底面圆周上异于A,B的一点,D为圆柱下底面圆周上一点,且AD垂直于圆柱的底面,则必有()图X11-4A.平面ABC平面BCDB.平面BCD平面ACDC.平面ABD平面ACDD
3、.平面BCD平面ABD8.小明有一卷纸,纸非常的薄且紧紧缠绕着一个圆柱体轴心卷成一卷,它的整体外貌如图X11-5所示,卷纸的直径为12厘米,轴的直径为4厘米,当小明用掉34的纸后,剩下的这卷纸的直径最接近于()图X11-5A.6厘米B.7厘米C.8厘米D.9厘米9.底面边长与侧棱长均相等的正四棱锥(底面为正方形,顶点在底面上的射影为正方形的中心)的外接球半径与内切球半径的比值为()A.3+1B.3C.2+1D.210.球O是棱长为12的正四面体S-ABC的外接球,D,E,F分别是棱SA,SB,SC的中点,那么平面DEF截球O所得截面的面积是()A.36B.40C.48D.5411.我们打印用的
4、A4纸的长与宽的比约为2,之所以是这个比值,是因为把纸张对折,得到的新纸的长与宽之比仍约为2,纸张的形状不变.已知圆柱的母线长小于底面圆的直径(如图X11-6所示),它的轴截面ABCD为一张A4纸,若点E为上底面圆上弧AB的中点,则异面直线DE与AB所成的角约为()图X11-6A.6B.4C.3D.2312.在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=AC,侧棱AA1底面ABC,若该三棱柱的所有顶点都在同一个球O的表面上,且球O的表面积的最小值为4,则该三棱柱的侧面积为()A.63B.33C.32D.313.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是BC,CC1的中点,则平面
5、AEF截该正方体所得截面的面积为()A.98B.32C.94D.9214.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,在面对角线A1D上取一点M,在面对角线CD1上取一点N,使得MN平面A1ACC1,则MN的最小值为()A.1B.2C.22D.3315.如图X11-7,在边长为2的正方形AP1P2P3中,线段BC的端点B,C分别在边P1P2,P2P3(不包含端点)上滑动,且P2B=P2C=x,现将AP1B,AP3C分别沿AB,AC折起,使点P1,P3重合,重合后的点记为P,得到三棱锥P-ABC.现有以下结论:图X11-7AP平面PBC;当B,C分别为P1P2,P2P3的中点时,三棱锥P-A
6、BC的外接球的表面积为6;x的取值范围为(0,4-22);三棱锥P-ABC体积的最大值为13.则正确结论的个数为()A.1B.2C.3D.416.棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1封闭薄壁容器内有一个高为2、底面半径为1的圆柱水平移动,在移动过程中,该圆柱的一个底面恒在平面ABCD内,则该圆柱不能到达的区域的体积为.17.已知正三角形ABC的顶点都在球O的球面上,正三角形ABC的边长为23.若球心O到ABC所在平面的距离为5,则球O的表面积为.能力提升18.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为1,点M在棱BC上(点M异于B,C两点),点N为棱CC1的中点,若平面AMN截正方体A
7、BCD-A1B1C1D1所得的截面为五边形,则线段BM的取值范围是()A.0,12B.12,1C.13,1D.12,1319.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1内有一个和各面都相切的球O,P,Q分别为AB,A1D1的中点,过P,Q作直线,则该直线被球面截在球内的线段的长为()A.22B.2-1C.2D.120.如图X11-8,已知平面=l,B,Cl,A且Al,D且Dl,则下列叙述错误的是()图X11-8A.直线AD与BC是异面直线B.直线CD在上的射影可能与AB平行C.过AD有且只有一个平面与BC平行D.过AD有且只有一个平面与BC垂直21.在三棱柱ABC-A1B1C1中,E是棱AB
8、的中点,动点F是侧面ACC1A1(包括边界)上一点,若EF平面BCC1B1,则动点F的轨迹是()A.线段B.圆弧C.椭圆的一部分D.抛物线的一部分22.蜂巢是由工蜂分泌蜂蜡建成的,从正面看,如图X11-9,蜂巢是由许多上底面为正六边形的中空“柱状体”连接而成的,中空“柱状体”的底部是由三个全等的菱形构成的,菱形的一个内角是10928,这样的设计含有深刻的数学原理,我国著名数学家华罗庚曾专门研究蜂巢的结构并著有谈谈与蜂房结构有关的数学问题.用数学的眼光去看蜂巢的结构,如图,在正六棱柱ABCDEF-ABCDEF的三个顶点A,C,E处分别用平面BFM、平面BDO、平面DFN(M在AA上,O在CC上,
9、N在EE上,且AM=CO=EN)截掉三个相等的三棱锥M-ABF,O-BCD,N-DEF,平面BFM、平面BDO、平面DFN交于点P,就形成了蜂巢的结构,如图.设平面PBMF与平面ABCD所成的锐二面角的大小为,则()图X11-9A.tan=33tan5444B.sin=33tan5444C.cos=33tan5444D.以上都不对23.如图X11-10,在四棱锥P-ABCD中,AD=DC=AC,DADB=DBDC=3DBAB.设三棱锥P-ABD和三棱锥P-ACD的体积分别是V1,V2,三棱锥P-ABD和三棱锥P-ACD的外接球的表面积分别是S1,S2.给出以下结论:V1V2;S1S2.其中正确
10、结论的序号为.图X11-10限时集训(十一)1.A解析对于A,若mn,m,则n或n,故A中说法错误,故选A.2.C解析由题知圆柱的侧面积为2123=3(平方米),半球的表面积为124122=2(平方米),所以该花柱的表面积为3+2=7210.99(平方米),所以大约需要鲜花10.99150=1648.51649(朵).故选C.3.D解析由三视图可知,该几何体是底面半径为2、高为4的圆锥的13,所以该几何体的体积V=1313224=169,故选D.4.B解析因为该正方体的体积是8,所以该正方体的棱长为2,则这个正方体的外接球的半径为1223=3,所以这个正方体的外接球的体积是43(3)3=43.
11、故选B.5.A解析对于A,由,m,得m,又n,所以mn,正确;对于B,由,m,得m,又n,所以mn,不正确;对于C,由,m,n,可得m与n平行、相交或异面,不正确;对于D,由,m,n,可得m与n平行、相交或异面,不正确.故选A.6.C解析根据三视图可得四棱锥P-ABCD的直观图,如图.底面ABCD是一个直角梯形,ADAB,ADBC,AD=4,AB=BC=2,取AD的中点O,连接PO,由题知PO底面ABCD,且PO=2,连接OB,OC,则PA=PD=PC=22+22=22,PB=PO2+OB2=PO2+OA2+AB2=22+22+22=23,该四棱锥最长侧棱的长为23.故选C.7.B解析因为AB
12、是圆柱上底面的一条直径,所以ACBC.又AD垂直于圆柱的底面,所以ADBC.因为ACAD=A,所以BC平面ACD,因为BC平面BCD,所以平面BCD平面ACD.故选B.8.B解析设小明用掉34的纸后,剩下的这卷纸的直径为x厘米,卷纸高为h,由题意可知(62-22)h14=x22-22h,解得x2=48,则x接近于7厘米,故选B.9.A解析不妨设正四棱锥P-ABCD的棱长均为2,如图所示,连接AC,BD,设ACBD=O,连接PO,则PO底面ABCD,PO=22-(2)2=2,又OA=OB=OC=OD=2,所以O为正四棱锥P-ABCD的外接球球心,且正四棱锥P-ABCD的外接球半径R=2,设正四棱
13、锥P-ABCD的内切球半径为r,则13r22+12234=13222,解得r=23+1,于是Rr=23+12=3+1,故选A.10.C解析过S作SN平面ABC,垂足为N,设SN与平面DEF的交点为M,由题可知N,M分别为ABC,DEF的中心,且O在线段SN上,连接CN,OC,则CN=2363=43,SN=122-(43)2=46,因为OS=OC,所以在RtONC中,由(46-OC)2+(43)2=OC2,得OS=OC=36,又MS=12SN=26,所以MO=OS-MS=6,则截面圆半径R=(36)2-(6)2=43,故所求截面面积为R2=48.11.C解析ABCD,EDC即为异面直线DE与AB
14、所成的角.设CD的中点为O,过E作EF垂直于圆柱的底面,垂足为F,连接OE,OF,E是AB的中点,F是CD的中点,CDOF.又EFCD,EFOF=F,CD平面OEF,ODOE.设AD=1,则CD=2,故OF=22,EF=1,于是OE=12+(22)2=62,tanEDO=OEOD=6222=3,EDO=3.故选C.12.B解析设A1B1C1,ABC的中心分别为O1,O2,连接O1O2,则O1O2的中点为O,连接OA,O2A.设球O的半径为R,则OA=R,设AB=BC=AC=a,AA1=h,则OO2=12h,O2A=2332AB=33a,则在RtOO2A中,R2=OA2=OO22+O2A2=14
15、h2+13a2212h33a=33ah,当且仅当h=233a时,等号成立,所以S球=4R2433ah,得433ah=4,所以ah=3,所以该三棱柱的侧面积为3ah=33.故选B.13.D解析连接AD1,D1F,BC1,因为E,F分别是BC,CC1的中点,所以EFBC1,又AD1BC1,所以EFAD1,所以A,D1,E,F在同一平面内,所以平面AEF截该正方体所得的截面为梯形AD1FE.因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,所以EF=2,AD1=22,AE=D1F=5,等腰梯形AD1FE的高为32,所以S梯形AD1FE=(2+22)322=92.故选D.14.D解析过M作MM1AD,垂
16、足为M1,过N作NN1CD,垂足为N1,可得MM1平面ABCD,NN1平面ABCD,MM1NN1.连接M1N1,因为MM1AA1,MM1平面ACC1A1,所以MM1平面ACC1A1,又MN平面ACC1A1,MM1MN=M,所以平面M1N1NM平面ACC1A1,由面面平行的性质定理可知M1N1AC.设DM1=DN1=x,在直角梯形MM1N1N中,MN2=2x2+(1-2x)2=6x-132+13,当x=13时,MN取得最小值33,故选D.15.C解析由题意得PAPB,PAPC,PBPC=P,所以AP平面PBC,故正确;当B,C分别为P1P2,P2P3的中点时,三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直,
17、三棱锥P-ABC的外接球直径等于以PA,PB,PC为长、宽、高的长方体的体对角线长,由AP=2,BP=CP=x=1,得外接球的半径R=1+1+42=62,所以外接球的表面积S=4R2=4622=6,故正确;因为正方形AP1P2P3的边长为2,所以x(0,2),BC=2x,P3C=P1B=PB=PC=2-x,在CPB中,由2-x+2-x2x,解得x4-22,所以x(0,4-22),故正确;V三棱锥P-ABC=V三棱锥A-PBC=1312CPBPsinCPBAP16(2-x)22=(2-x)23,函数y=(2-x)23在(0,4-22)上单调递减,所以V三棱锥P-ABC无最大值,故错误.故选C.1
18、6.17-2解析该圆柱能到达的区域为一个柱体,柱体的底面积S=32-41-4=5+,高为2,则该柱体的体积为2(5+)=10+2,所以该圆柱不能到达的区域的体积为33-(10+2)=17-2.17.36解析正三角形ABC的外接圆半径r=233223=2,球心O到ABC所在平面的距离d=5,球O的半径R=r2+d2=22+(5)2=3,球O的表面积S=4R2=432=36.18.B解析因为正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为1,所以正方体的棱长为1.连接AD1,D1N,当点M为BC的中点时,BM=12,MNAD1,所以A,M,N,D1共面,截面为四边形AMND1,不符合题意,排除选项A,C,
19、D,故选B.19.C解析设直线PQ与球O的表面交于M,N(PMPN)两点,则线段MN为该直线被球面截在球内的线段,连接PO并延长,交C1D1于R,则R为C1D1的中点,连接RQ,易知PR=22,RQ=2,PQ=6,则RQ2+PQ2=PR2,故RQPQ.取MN的中点H,连接OH,则OHMN,OHRQ,且OH=12RQ=22,连接OM,由题意知球O的半径为1,即OM=1,则MH=OM2-OH2=1-12=22,MN=2MH=2.故选C.20.D解析对于选项A,因为D,A,A直线BC,所以直线AD与BC是异面直线,A中叙述正确;对于选项B,当ABl,CDl,且二面角-l-为锐角时,直线CD在上的射影
20、与AB平行,B中叙述正确;对于选项C,在AD上任取一点,过该点作BC的平行线l,则由AD与l确定一个平面,该平面与BC平行,假设过AD还有一个平面与BC平行,由直线与平面平行的性质,可得过直线BC外的一点A有两条直线与BC平行,与过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾,假设不成立,C中叙述正确;对于选项D,只有当AD与BC异面垂直时,过AD才有且只有一个平面与BC垂直,否则,不存在过AD与BC垂直的平面,D中叙述错误.故选D.21.A解析如图所示,分别取AC,A1C1,A1B1的中点N,H,M,连接ME,MH,NE,NH,因为E为AB的中点,所以NEBC且NE=12BC,HMB1C1,
21、HM=12B1C1,又BCB1C1,BC=B1C1,所以四边形NEMH是平行四边形.因为MEBB1,NEBC,NEME=E,BCBB1=B,所以平面NEMH平面BCC1B1,当EF平面NEMH时,EF平面BCC1B1,所以动点F的轨迹为线段NH.故选A.22.C解析平面ABCD平面ABCD,平面PBMF与平面ABCD所成的锐二面角的大小也为.取BF的中点H,连接HA,HM,由题知MF=MB,MHBF,AF=AB,AHBF,MHA即为平面PBMF与平面ABCD所成的锐二面角的平面角,即MHA=.不妨取AB=2,在等腰三角形ABF中,BAF=120,则HB=ABsin60=232=3,HA=ABs
22、in30=212=1.在RtMHB中,由题知BMF=10928,则BMH=5444,故tan5444=HBHM,解得HM=HBtan5444=3tan5444,RtMAH中,cos=HAHM=33tan5444.故选C.23.解析不妨设AD=2,由DADB=DBDC得DADB-DBDC=DB(DA-DC)=DBCA=0,所以DBAC,则ADB=CDB=30.由DBDC=3DBAB,得DBDC=3DB(DB-DA)=3DB2-3DBDA,故3DB2=4DBDA=4|DB|DA|cos30,得DB=433,故SABD=122433sin30=233,SACD=3422=3,SABDSACD,故V1V2.故正确.在ABD中,由余弦定理可得AB2=22+4332-22433cos30=43,则AD2+AB2=BD2,故DAB=90,同理可得DCB=90,A,B,C,D四点共圆,即ABD与ACD的外接圆相同,三棱锥P-ABD和三棱锥P-ACD的外接球相同,得S1=S2.故正确.
