1、数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确选项填涂在答题卡上.）1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求出集合、，由此能求出.【详解】解：集合，.故选：C.【点睛】此题考查集合的并集运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题2. 命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是A. 任意一个有理数，它的平方是有理数B. 任意一个无理数，它的平方不是有理数C. 存在一个有理数，它的平方是有理数D. 存在一个无理数，它的平方不是有理数【答案】B【解析】试题分析：由命题的否定的定
2、义知，“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是任意一个无理数，它的平方不是有理数考点：命题的否定3. 复数在复平面内对应的点为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数所对应点的坐标得答案.【详解】，对应点为，故选：B.【点睛】本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数代数形式的乘除运算，属于基础题.4. 下列函数中，既是奇函数，又在区间(0，)上单调递增的是（ ）A. f(x)exexB. f(x)tanxC. f(x)xD. f(x)|x|【答案】A【解析】【分析】根据常见函数的单调性和奇偶性，即可容易判断选择.【详解】f(
3、x)|x|是偶函数，排除D；f(x)x在(0，)上先减后增，排除C；f(x)tanx在(0，)上不是单调函数，排除B；f(x)exex，定义域为又，故是奇函数；又，和在都是增函数，故在上是单调增函数.即满足题意.故选：.【点睛】本题考查函数单调性和奇偶性的判断，属基础题.5. 设，则“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先解不等式，再根据两个解集包含关系得结果.【详解】,又，所以“”是“”的充分不必要条件，选A.【点睛】充分、必要条件的三种判断方法1定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假并注意和图示相结合
4、，例如“”为真，则是的充分条件2等价法：利用与非非，与非非，与非非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法3集合法：若，则是的充分条件或是的必要条件；若，则是的充要条件6. 若f(x)x22(a1)x2在区间(，4)上是减函数，则实数a的取值范围是()A. a3D. a3【答案】B【解析】若f(x)x22(a1)x2在区间(，4)上是减函数，则在上恒成立，即：，由于，则，选B.7. 三个数，的大小顺序是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由指数函数和对数函数单调性得出范围，从而得出结果【详解】因为，；所以故选：A【点睛】本题考查指数函数和对数函数的单调性，熟
5、记函数性质是解题的关键，属于中档题.8. 函数的图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用函数的奇偶性排除选项，然后利用特殊值判断即可【详解】解：函数是奇函数，排除A，B，当时，排除C，故选D【点睛】本题考查函数的图象的判断，其中函数的奇偶性以及特殊点、变化趋势，往往是解答函数图象的有效方法9. 已知函数若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是A. 1，0）B. 0，+）C. 1，+）D. 1，+）【答案】C【解析】分析：首先根据g（x）存在2个零点，得到方程有两个解，将其转化为有两个解，即直线与曲线有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数的图像（将去掉），再
6、画出直线，并将其上下移动，从图中可以发现，当时，满足与曲线有两个交点，从而求得结果.详解：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C.点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.10. 若函数在上是
7、减函数，则a的取值范围为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】令t，则由题意可得函数t在区间-2，+）上为增函数且t（-2）0，由此解得实数a的取值范围【详解】令t，则函数g（t）t 在区间（0，+）上为减函数，可得函数t在区间2，+）上为增函数且t（-2）0，故有，解得4a5，故选B【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，要注意函数的定义域及复合函数单调性的结论：同增异减的应用，本题属于基础题.11. 已知是的奇函数，满足，若，则（ ）A. B. 2C. 0D. 50【答案】C【解析】【分析】由得到，结合奇函数，求出的周期，再将所求的进行转化，得到其中的关系，从而得到答案.【详解】
8、因为，用代替上式中的，得到而是的奇函数，所以有用代替上式中的，得，所以，可得的周期为.因为，所以时，由得时，由得故，所以故选.【点睛】本题考查函数奇偶性，对称性，周期性的综合运用，属于中档题.12. 已知函数f(x)的定义域为R，f(-1)=3，对任意xR，f(x)3，则f(x)3x+6的解集为（ ）A. (-1，+)B. (-1，1)C. (-，-1)D. (-，+)【答案】A【解析】【分析】首先设函数，再利用导数判断函数单调性，利用单调性和函数的零点解不等式.【详解】设函数，函数是单调递增函数，且，的解集是.故选：A【点睛】本题考查导数与函数的单调性，解抽象不等式，重点考查构造函数，推理能
9、力，属于基础题型.二填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13. 已知幂函数的图象过点，则_【答案】4【解析】【分析】先由幂函数的定义用待定系数法设出其解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求的值【详解】解：由题意令，由于图象过点，得，故答案为：4【点睛】本题考查幂函数的单调性、奇偶性及其应用，解题的关键是熟练掌握幂函数的性质，能根据幂函数的性质求其解析式，求函数值，属于基础题14. 已知函数f(x)若f(m)1，则m_.【答案】或【解析】【分析】根据分段函数，分和两种情况讨论，求的值.【详解】当时，解得：，当时，解得：，综上可知：或.故答案为：或【点睛】本题考查利用分段函数
10、，解方程，属于基础题型，本题的易错点是容易忽略函数的定义域.15. 曲线在点（4，2）处的切线的斜率为_.【答案】【解析】【分析】先求函数的导数，利用导数的几何意义直接求切线斜率.【详解】，当时，根据导数的几何意义可知曲线在点（4，2）处的切线的斜率为.故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义，重点考查计算能力，属于基础题型.16. 已知命题；命题是增函数.若“”为假命题且“”为真命题，则实数m的取值范围为_.【答案】1，2)【解析】【分析】分别求出p，q为真时的m的范围，通过讨论p，q的真假，从而求出m的范围即可【详解】命题p：xR，x2+1m，解得：m1；命题q：指数函数f（x）=（3-m
11、）x是增函数，则3-m1，解得：m2，若“pq”为假命题且“pq”为真命题，则p，q一真一假，p真q假时： 无解，p假q真时： ，解得：1m2，故答案为1，2）【点睛】本题考查了函数恒成立问题，考查指数函数的性质，考查复合命题的判断，是一道基础题三解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 已知函数f(x)是奇函数.（1）求实数m的值；（2）若函数f(x)在区间1，a2上单调递增，求实数a的取值范围.【答案】（1）2；（2）(1，3.【解析】【分析】（1）根据函数是奇函数求得的解析式，比照系数，即可求得参数的值；（2）根据分段函数的单调性，即可列出不等式，
12、即可求得参数的范围.【详解】（1）设x0，则x0，所以f(x)(x)22(x)x22x.又f(x)为奇函数，所以f(x)f(x).于是当x0时，f(x)x22xx2mx，所以m2.（2）要使f(x)在1，a2上单调递增，结合f(x)的图象知所以1a3，故实数a的取值范围是(1，3.点睛】本题考查利用奇偶性求参数值，以及利用函数单调性求参数范围，属综合基础题.18. 设，且.（1）求的值及的定义域；（2）求在区间上的最大值【答案】（1），定义域为；（2）2.【解析】【分析】（1）由可解得；令两个对数的真数大于零，解不等式组可得的定义域；（2）函数在上单调递增，函数在上单调递增，在上单调递减，根据
13、复合函数单调性的“同增异减”原理，可得的单调性，从而可求其最大值.【详解】解:（1），解得.故,则,解得,故的定义域为.（2）函数,定义域为，由函数在上单调递增,函数在上单调递增,在上单调递减,可得函数在上单调递增,在上单调递减.故在区间上的最大值为【点睛】考查对数函数的运算以及复合函数的定义域、最大值的求法，中档题.19. 若二次函数满足且（1）求的解析式；（2）若在区间，上不等式恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）f（x）x2x1；（2）【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解由二次函数可设，由得值，由可得，的值，从而问题解决；（2）欲使在区间，上不等式恒成立，只须，也就是要的最小值大于
14、0即可，最后求出的最小值后大于0解之即得【详解】（1）设，由，；（2）由题意：在，上恒成立，即在，上恒成立其对称轴为，在区间，上是减函数，（1），【点睛】本小题主要考查函数单调性的应用、二次函数的性质等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想属于基础题20. 在2021年元旦班级联欢晚会上，某班设计了一个摸球表演节目的游戏：在一个纸盒中装有1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球，这些球除颜色外完全相同，a同学不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球，则停止摸球，否则就要将纸盒中的球全部摸出才停止.规定摸到红球表演两个节目，摸到白球或黄球表演1个节目，摸到黑球不用表演节目.（1）求a同学摸球三次后停
15、止摸球的概率；（2）记X为a同学摸球后表演节目的个数，求随机变量X的分布列和数学期望.【答案】（1）；（2）2.【解析】【分析】（1）设“a名同学摸球三次后停止摸球”为事件A，由排列组合知识结合古典概型概率公式可得；（2）随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4，结合排列组合知识，利用古典概型概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得的数学期望.【详解】设“a名同学摸球三次后停止摸球”为事件A，则，故a名同学摸球3次停止摸球的概率为 （2）随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4； ； ； 所以随机变量X的分布列：X01234【点睛】本题主要考查排列组合的应用、古典
16、概型概率公式以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解数学期望问题，首先要正确理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.21. 已知函数.（1）若是函数的一个极值点，求实数的值；（2）讨论函数的单调性.（3）若对于任意的，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）详见解析；（3）.【解析】【分析】（1）根据是函数的一个极值点， 可得，即可求出（2）根据的导数，讨论当时，时，时，由导数大于0得增区间，导数小于0得
17、减区间（3）根据的增减性，可知任意的的最大值为，不等式恒成立可转化为，构造函数，求其最大值即可求出m的取值范围.【详解】（1）因为是函数的一个极值点，所以，解得.（2）因为的定义域是，当时，列表+-+增减增在，单调递增；在单调递减.当时，在单调递增.当时，列表+-+增减增在，单调递增；在单调递减.（3）由（2）可知当时，在单调递增，所以在单调递增.所以对于任意的的最大值为，要使不等式在上恒成立，须，记，因为，所以在上递增，最大值为，所以.故的取值范围为.【点睛】本题主要考查了函数的极值点，利用导数求函数的单调区间，最值，构造函数，恒成立问题，属于难题.请考生在第22-23题中任选一题作答，如果
18、多做，则按所做的第一题计分22. 在平面直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（其中t为参数）以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，并取相同的单位长度，曲线的极坐标方程为（）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（）过点作直线的垂线交曲线于M，N两点，求.【答案】（）；（）16.【解析】【分析】（）直线消去后就是直线的普通方程，利用转化后就是曲线的直角坐标方程；（）首先写出垂线的参数方程，与曲线的直角坐标方程联立，利用的几何意义求.【详解】（）直线参数方程为（其中t为参数）消去可得：；由可得 且 得 ；（）过点垂直于直线的直线的参数方程为： （为参数），代入可得，设对应参数为，则，所
19、以.【点睛】本题考查极坐标方程，参数方程与直角坐标方程的转化，以及利用的几何意义求长度问题，属于中档题型.23. 设函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若恒成立，求的取值范围.【答案】(1)；(2) .【解析】【详解】分析：（1）先根据绝对值几何意义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先化简不等式为，再根据绝对值三角不等式得最小值，最后解不等式得的取值范围详解：（1）当时，可得的解集为（2）等价于而，且当时等号成立故等价于由可得或，所以的取值范围是点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向
