1、1等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q0)2等比数列的通项公式设等比数列an的首项为a1，公比为q，则它的通项ana1qn1.3等比中项如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项4等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：anamqnm(n，mN*)(2)若an为等比数列，且klmn(k，l，m，nN*)，则akalaman.(3)若an，bn(项数相同)是等比数列，则an(0)，a，anbn，仍是等比数列5等比数列的前n项和公式等比数列a
2、n的公比为q(q0)，其前n项和为Sn，当q1时，Snna1；当q1时，Sn.6等比数列前n项和的性质公比不为1的等比数列an的前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为qn.【知识拓展】等比数列an的单调性(1)满足或时，an是递增数列(2)满足或时，an是递减数列(3)当时，an为常数列(4)当q0时，an为摆动数列【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)满足an1qan(nN*，q为常数)的数列an为等比数列()(2)G为a，b的等比中项G2ab.()(3)如果数列an为等比数列，bna2n1a2n，则数列bn也是等比数列()(4)如果
3、数列an为等比数列，则数列ln an是等差数列()1(教材改编)已知an是等比数列，a22，a5，则公比q等于()A B2C2 D.答案D解析由题意知q3，q.2(2015课标全国)已知等比数列an满足a13，a1a3a521，则a3a5a7等于()A21 B42 C63 D84答案B解析设等比数列an的公比为q，则由a13，a1a3a521，得3(1q2q4)21，解得q23(舍去)或q22，于是a3a5a7q2(a1a3a5)22142，故选B.3设等比数列an的前n项和为Sn，若S23，S415，则S6等于()A31 B32 C63 D64答案C解析根据题意知，等比数列an的公比不是1.
4、由等比数列的性质，得(S4S2)2S2(S6S4)，即1223(S615)，解得S663.故选C.4(教材改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为_答案27,81解析设该数列的公比为q，由题意知，2439q3，q327，q3.插入的两个数分别为9327,27381.5设Sn为等比数列an的前n项和，8a2a50，则_.答案11解析设等比数列an的公比为q，8a2a50，8a1qa1q40.q380，q2，11.题型一等比数列基本量的运算例1(1)(2015课标全国)已知等比数列an满足a1，a3a54(a41)，则a2等于()A2 B1 C. D.(2)已知等
5、比数列an的前n项和为Sn，且a1a3，a2a4，则_.答案(1)C(2)2n1解析(1)由an为等比数列，得a3a5a，又a3a54(a41)，所以a4(a41)，解得a42.设等比数列an的公比为q，则由a4a1q3，得2q3，解得q2，所以a2a1q.故选C.(2)由除以可得2，解得q，代入得a12，an2()n1，Sn4(1)，2n1.思维升华等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解(1)设an是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和已知a2a41，S37，则S5等于()A. B. C. D
6、.(2)(2015湖南)设Sn为等比数列an的前n项和，若a11，且3S1,2S2，S3成等差数列，则an_.答案(1)B(2)3n1解析(1)显然公比q1，由题意得解得或(舍去)，S5.(2)由3S1,2S2，S3成等差数列知，4S23S1S3，可得a33a2，所以公比q3，故等比数列通项ana1qn13n1.题型二等比数列的判定与证明例2设数列an的前n项和为Sn，已知a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*)(1)求a2，a3的值；(2)求证：数列Sn2是等比数列(1)解a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*)，当n1时，a1212；当n2时，a12a2(a1a2)4，a2
7、4；当n3时，a12a23a32(a1a2a3)6，a38.综上，a24，a38.(2)证明a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*)，当n2时，a12a23a3(n1)an1(n2)Sn12(n1)，得nan(n1)Sn(n2)Sn12n(SnSn1)Sn2Sn12nanSn2Sn12.Sn2Sn120，即Sn2Sn12，Sn22(Sn12)S1240，Sn120，2，故Sn2是以4为首项，2为公比的等比数列思维升华(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可(2)利用递推关系
8、时要注意对n1时的情况进行验证已知数列an满足a11，an13an1.(1)证明：an是等比数列，并求an的通项公式；(2)证明：.证明(1)由an13an1，得an13(an)又a1，所以an是首项为，公比为3的等比数列所以an，因此an的通项公式为an.(2)由(1)知.因为当n1时，3n123n1，所以.于是1(1)，所以.题型三等比数列性质的应用例3(1)若等比数列an的各项均为正数，且a10a11a9a122e5，则ln a1ln a2ln a20_.(2)设等比数列an的前n项和为Sn，若，则_.答案(1)50(2)解析(1)因为a10a11a9a122a10a112e5，所以a1
9、0a11e5.所以ln a1ln a2ln a20ln(a1a2a20)ln(a1a20)(a2a19)(a10a11)ln(a10a11)1010ln(a10a11)10ln e550ln e50.(2)方法一S6S312，an的公比q1.由，得q3，.方法二an是等比数列，且，公比q1，S3，S6S3，S9S6也成等比数列，即(S6S3)2S3(S9S6)，将S6S3代入得.思维升华等比数列常见性质的应用等比数列性质的应用可以分为三类：(1)通项公式的变形；(2)等比中项的变形；(3)前n项和公式的变形根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口(1)已知在等比数列a
10、n中，a1a410，则数列lg an的前4项和等于()A4 B3C2 D1(2)设等比数列an中，前n项和为Sn，已知S38，S67，则a7a8a9等于()A. BC. D.答案(1)C(2)A解析(1)前4项和S4lg a1lg a2lg a3lg a4lg(a1a2a3a4)，又等比数列an中，a2a3a1a410，S4lg 1002.(2)因为a7a8a9S9S6，且公比不等于1，在等比数列中，S3，S6S3，S9S6也成等比数列，即8，1，S9S6成等比数列，所以有8(S9S6)(1)2，S9S6，即a7a8a9.13分类讨论思想在等比数列中的应用典例(12分)已知首项为的等比数列an
11、的前n项和为Sn(nN*)，且2S2，S3,4S4成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)证明：Sn(nN*)思想方法指导(1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式；(2)求出前n项和，根据函数的单调性证明规范解答(1)解设等比数列an的公比为q，因为2S2，S3,4S4成等差数列，所以S32S24S4S3，即S4S3S2S4，可得2a4a3，于是q.2分又a1，所以等比数列an的通项公式为ann1(1)n1.3分(2)证明由(1)知，Sn1n，Sn1n6分当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，所以SnS1.8分当n为偶数时，Sn随n的增大而减小，所以SnS2.10分故对于nN
12、*，有Sn.12分1等比数列x,3x3,6x6，的第四项等于()A24 B0 C12 D24答案A解析由x,3x3,6x6成等比数列，得(3x3)2x(6x6)解得x13或x21(不合题意，舍去)故数列的第四项为24.2(2016珠海模拟)在等比数列an中，若a10，a218，a48，则公比q等于()A. B.C D.或答案C解析由解得或又a10，因此q.3在正项等比数列an中，已知a1a2a34，a4a5a612，an1anan1324，则n等于()A12 B13 C14 D15答案C解析设数列an的公比为q，由a1a2a34aq3与a4a5a612aq12，可得q93，an1anan1aq
13、3n3324，因此q3n68134q36，所以n14，故选C.4(2016昆明模拟)在等比数列an中，若a3，a7是方程x24x20的两根，则a5的值是()A2 B C D.答案B解析根据根与系数之间的关系得a3a74，a3a72，由a3a740，所以a30，a70，即a50，因此S2030，S20S1020，S30S2040，故S40S3080，S40150.9已知数列an的前n项和为Sn，且满足anSn1(nN*)，则通项an_.答案解析anSn1，a1，an1Sn11(n2)，由，得anan1an0，即(n2)，数列an是首项为，公比为的等比数列，则an()n1.10已知数列an的首项为
14、1，数列bn为等比数列且bn，若b10b112，则a21_.答案1 024解析b1a2，b2，a3b2a2b1b2，b3，a4b1b2b3，anb1b2b3bn1，a21b1b2b3b20(b10b11)102101 024.11已知an是等差数列，满足a13，a412，数列bn满足b14，b420，且bnan是等比数列(1)求数列an和bn的通项公式；(2)求数列bn的前n项和解(1)设等差数列的公差为d，由题意得d3，所以ana1(n1)d3n(nN*)设等比数列bnan的公比为q，由题意得q38，解得q2.所以bnan(b1a1)qn12n1.从而bn3n2n1(nN*)(2)由(1)知
15、bn3n2n1(nN*)，数列3n的前n项和为n(n1)，数列2n1的前n项和为12n1.所以数列bn的前n项和为n(n1)2n1.12(2016全国丙卷)已知各项都为正数的数列an满足a11，a(2an11)an2an10.(1)求a2，a3；(2)求an的通项公式解(1)由题意，得a2，a3.(2)由a(2an11)an2an10，得2an1(an1)an(an1)因为an的各项都为正数，所以.故an是首项为1，公比为的等比数列，因此an.13(2016昆明一检)已知等比数列an的前n项和是Sn，S18S978.(1)求证：S3，S9，S6依次成等差数列；(2)a7与a10的等差中项是不是数列an中的项？如果是，是an中的第几项？如果不是，请说明理由(1)证明设等比数列an的公比为q，若q1，则S1818a1，S99a1，S18S92178，q1.S18，S9，S18S91q9.1q9，解得q2.S3，S6，S9.S9S3，S6S9，S9S3S6S9.S3，S9，S6依次成等差数列(2)解a7与a10的等差中项为，设a7与a10的等差中项是数列an中的第n项，则a1(2)n1，化简得(2)(2)4，即4，解得n13.a7与a10的等差中项是数列an中的第13项
