1、二圆锥曲线的参数方程第一课时椭圆的参数方程考纲定位重难突破1.知道椭圆的参数方程，参数的意义.2.会用椭圆的参数方程解决简单问题.重点：理解和掌握椭圆的参数方程. 难点：椭圆的参数方程在实际问题中的应用.授课提示：对应学生用书第25页自主梳理椭圆的参数方程1中心在原点，焦点在x轴上的椭圆1的参数方程是(是参数)，规定参数的取值范围是0,2)2中心在(h，k)的椭圆普通方程为1，则其参数方程为(是参数)双基自测1椭圆(为参数)的一个焦点坐标为()A.B.C. D.解析：由题知椭圆的普通方程为x24y21.可知椭圆的焦点坐标为，故选C.答案：C2过点(3,2)且与曲线(为参数)有相同焦点的椭圆的方
2、程是()A.1 B.1C.1 D.1解析：由题易知曲线化为普通方程为1.焦点坐标为(，0)，又所求椭圆过点(3,2)，代入求得选A.答案：A3椭圆(为参数)的中心坐标为_解析：椭圆的普通方程为1.椭圆的中心坐标为(3，2)答案：(3，2)4椭圆1的参数方程是_；椭圆1的参数方程是_答案：(为参数，0,2)(为参数，0,2)授课提示：对应学生用书第25页探究一用椭圆参数方程求最值例1在椭圆1上找一点，使这一点到直线x2y120的距离最小解析由题意，椭圆的参数方程为(为参数)，则d|cos sin 3|，当cos1时，dmin，此时取0，所求点坐标是(2，3)本题有多种解法，可以利用直线与椭圆相切
3、，转化为平行直线间距离求解，也可以利用距离公式结合二次函数配方解决，但相比之下，参数方程的方法最简单有效1(2016高考全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为sin2.(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标解析：(1)C1的普通方程为y21，C2的直角坐标方程为xy40.(2)由题意，可设点P的直角坐标为(cos ，sin )因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d()的最小值，d().当且仅当2k(k
4、Z)时，d()取得最小值，最小值为，此时P的直角坐标为(，)探究二利用椭圆的参数方程求轨迹方程例2已知A，B分别是椭圆1的右顶点和上顶点，动点C在该椭圆上运动，求ABC的重心的轨迹方程解析由于动点C在椭圆上运动，可设C的坐标为(6cos ，3sin )，由于点C不与A，B重合，故.设ABC的重心G的坐标为(x，y)依题意，知A(6,0)，B(0,3)，由三角形的重心坐标公式，得即其中，这就是重心G的参数方程，消去参数，得(y1)21，点(4,1)及(2,2)除外，所以ABC的重心的轨迹方程为(y1)21，点(4,1)及(2,2)除外利用圆锥曲线的参数方程直接设出圆锥曲线上的点的坐标，从而可以便
5、捷地表示出其他的相关点，为求动点的轨迹带来了方便 2.如图，已知圆的方程为x2y2，椭圆的方程为1，过原点的射线交圆于A点，交椭圆于B点，过A，B分别作x轴和y轴的平行线，求所作两直线的交点P的轨迹方程解析：设A，B(5cos ，4sin )，则所求轨迹的参数方程为由O，A，B三点共线，知kOAkOB，从而tan tan ，由得tan2，由得tan2.将两边平方得tan2tan2，把代入化简整理得8x29x2y2400y2200，所求轨迹方程为8x29x2y2400y2200.探究三利用椭圆的参数方程解决恒成立问题例3已知椭圆y21上任一点M(除短轴端点外)与短轴两端点B1，B2的连线分别交x
6、轴于P、Q两点，求证：|OP|OQ|为定值证明设M(2cos ，sin )，为参数，B1(0，1)，B2(0,1)则MB1的方程：y1x，令y0，则x，即|OP|.MB2的方程：y1x，令y0，则x.|OQ|.|OP|OQ|4.即|OP|OQ|4为定值利用参数方程证明定值(或恒成立)问题，首先是用参数把要证明的定值(或恒成立的式子)表示出来，然后利用条件消去参数，得到一个与参数无关的定值即可3曲线(ab0)上一点M与两焦点F1、F2所成角为F1MF2.求证：F1MF2的面积为b2tan.证明：M在椭圆上，由椭圆的定义，得：|MF1|MF2|2a，两边平方，得|MF1|2|MF2|22|MF1|
7、MF2|4a2.在F1MF2中，由余弦定理，得|MF1|2|MF2|22|MF1|MF2|cos |F1F2|24c2.由两式，得|MF1|MF2|.故SF1MF2|MF1|MF2|sin b2tan.椭圆参数方程的综合应用典例(本题满分10分)已知曲线C1的参数方程是(为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为(2，)(1)求点A，B，C，D的直角坐标；(2)设P为C1上任意一点，求|PA|2|PB|2|PC|2|PD|2的取值范围解析(1)由已知可得A，B，C，D，即
8、A(1，)，B(，1)，C(1，)，D(，1).5分(2)设P(2cos ，3sin )，令S|PA|2|PB|2|PC|2|PD|2，则S16cos236sin2163220sin2.9分因为0sin21，所以S的取值范围是32,52.10分规律探究由于椭圆上任一点的坐标可通过参数方程描述为参数的函数，所以可通过用参数方程设出椭圆上动点坐标的方法，解决求离心率、几何图形面积、目标函数最值及证明恒等式问题随堂训练对应学生用书第27页1曲线(为参数)的长轴长为()A2B4C6 D8解析：将曲线的参数方程化为普通方程，得x21，它表示焦点在y轴上的椭圆，其长轴长为4.答案：B2椭圆(为参数)的两个焦点坐标是()A(0，3)，(0,3) B(0，4)，(0,4)C(4,0)，(4,0) D(3,0)，(3,0)解析：由椭圆(为参数)可知a5，b3，c4，且焦点在y轴上，焦点坐标为(0，4)，(0,4)，所以选B.答案：B3椭圆(x1)21上离直线xy20最远和最近点到该直线的距离分别为()A.， B.，C.，0 D.，0解析：设椭圆上的点P的坐标为(1cos ，sin )，可求得dmax，dmin0.另外本题还可利用相切的充要条件来解答答案：D
