1、高考资源网（），您身边的高考专家江西省南昌市正大学校高三周练 数学（理科）命题：章敏文 审题：高三数学组 （2007.12.25） 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分 在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的）1下面四个命题中正确的是：（ ）A如果“直线为异面直线”，那么“直线不相交”；B如果“直线垂直于平面内两条直线”，那么“平面”；C如果“直线”，那么“垂直于在平面内的射影”；D如果“直线平面”，那么“直线平行于平面内的任意一条直线”2.在正三棱锥中，相邻两侧面所成二面角的取值范围是（ ）A、 B、 C、（0，） D、ABCDPE3如图，垂直正方形所在的平面，动点
2、在线段上，则二面角的取值范围是( )A、 B、 C、 D、4当太阳斜照或直照时，放在水平地面上的长方体箱子，在地面上影子的形状是( )A四边形或五边形 B四边形或六边形C五边形或六边形 D四边形或五边形或六边形5正三棱锥PABC的三条侧棱两两互相垂直，则该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为( )A BC1:3D6已知ABC中，AB2，BC1，ABC120，平面ABC外一点P满足PAPBPC2，则三棱锥PABC的体积是（ ）OBCAFEA B C D7如图，O是半径为l的球的球心，点A，B，C在球面上，OA，OB，OC两两垂直，E，F分别是大圆弧AB与AC的中点，则点E，F在该球面上的球面距离
3、是（ ）A B C DABCEDFqab8如图，四边形BCEF，AFED都是矩形，且平面AFED平面BCEF，若ACF=a，ABF=b，BAC=q ，则下列式子中正确的是 （ ）Acosacosbcosq Bsinasinbcosq Ccosbcosacosq Dsinbsinacosq9已知三棱锥SABC的底面是正三角形，点A在侧面SBC上的射影H是SBC的垂心，SA=a，则此三棱锥体积最大值是( ) A B. C. D. 10如图所示，b、c在平面内，ac=B，bc=A， 且ab，ac，bc，若Ca，Db，E在线段 AB上（C，D，E均异于A，B），则CDE是( )A锐角三角形B直角三角形
4、C钝角三角形 D等腰三角形11如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是( ) ACBSA48 B 18 C 24 D3612如图，正三棱锥中，侧面与底面所成的二面角等于，动点在侧面内，底面，垂足为，则动点的轨迹为 ( ) . 线段 . 圆.一段圆弧 .一段抛物线二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，给出下列四个结论：ACBD；AB，CD所成角为60；ADC为等边三角形；AB与平面BCD所成角为60其中真命题是_.（填命题序号
5、）14设异面直线m，n所成的角为a，若过空间任意一点P作与m，n都成35的直线有且仅有2条，则角a的取值范围是_15若RtABC中两直角边为a、b,斜边c上的高为h，则，如图，在正方体的一角上截取三棱锥P-ABC，PO为棱锥的高，记M=,N=,那么M、N的大小关系是_16有一个正四棱锥，它的底面边长和侧棱长均为，现在要用一张正方形的包装纸将它完全包住（不能裁剪纸，但可以折叠）那么包装纸的最小边长应为_.三、解答题（本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17已知：四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，PD底面ABCD，GPDABCEF () 求证：BC平面PAD；(
6、) 若E、F分别为PB、AD的中点，求证：EFBC；18. 在正方体中，E为AB的中点。设正方体的棱长为2a。 （1）求AD和B1C所成的角； （2）证明：平面EB1D平面B1CD；（3）求二面角EB1CD的余弦值。 19.棱长全相等的直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD的面积为2，ABC为正三角形，E、F均为BB1上的点。 （1）若平面AEC1平面ACC1A1，试求E点的位置。 （2）设BF的长为0.5，试求平面AEC1与平面ABCD所成锐二面角的平面角的大小。20.斜三棱柱ABCA1B1C1中，已知侧面A1C底面ABC，底面ABC是边长为2的正三角形，A1A = A1C，A1A
7、A1C.（）求直线A1A与底面ABC所成的角；（）求截面A1BC与底面ABC所成二面角的大小；（文科只需求一个三角函数值）（）求点C1到平面A1BC的距离.21如图，已知四棱锥PABCD的底面ABCD为等腰梯形，ABDC，ACBD，AC与BD相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点，又BO=2，PO，PBPD（）求异面直线PD与BC所成角的余弦值；PABCDO（）求二面角PABC的大小；（）设点M在棱PC上，且l，问l为何值时，PC平面BMD22如图，在平行四边形ABCD中，AB1，BD，ABD90，将它们沿对角线BD折起，折后的C变为C1，且A、C1间的距离为2（1）求证：平面A C1D平
8、面ABD；（2）求二面角BAC1D的大小 图乙 乙BC1DAEBCDA图 甲（3）E为线段A C1上的一个动点，当线段EC1的长为多少时？DE与平面BC1D所成的角为30南昌市正大学校数学周练参考答案题号123456789101112答案AAABDDCBDCDD二、填空题13、14、0a7015、M=N 16、三、计算题GPDABCEF17、 ()解：因为ABCD是正方形，所以BCAD.因为AD平面PAD，BC平面PAD，所以BC平面PAD. 4分()证明：因为PD底面ABCD，且ABCD是正方形，所以PCBC.设BC的中点为G，连结EG，FG，则EGPC，FGDC.所以BCEG，BCFG.
9、6分因为 EGFG=G，所以BC面EFG.因为EF面EFG，所以EFBC. 18. 解：（1）正方体中，AD/BC AD与B1C所成的角为B1CB B1CB=45，AD和B1C所成的角为453分 （2）取B1C的中点F，B1D的中点G，连结BF，EG，GF CD平面BCC1B1，且 DCBF又BFB1C， 四边形BFGE是平行四边形BF/GE EG平面B1CD 又EG平面EB1D 平面EB1D平面B1CD（3）连结EF CDB1C，GF/CD GFB1C 又EG平面B1CD，EFB1CEFG为二面角EB1CD的平面角 正方体的棱长为2a 在EFG中，GF=a， 即二面角的余弦值为 ABCDA1
10、B1C1D1Exyz19解答：（1）建如图所示的空间直角坐标系Axyz，若棱长为a，由a2=2得a = 2 ，则B（，1，0），C（，1，0） B1（，1，2），C1（，1，2），A1（0，0，2） 设E（，1，Z） 根据两平面垂直的性质定理：平面AEC1平面ACC1A1，A1CAC1 A1C平面AEC1 A1CAE（，1，2）（，1，Z）=0 Z = 1即E为BB1的中点（2）设所求锐二面角的平面角的大小为则cos= |AC1|AF|sinC1AF cosC1AF= = sinC1AF= = cos= 即所求二面角的平面角的大小为arc cos。20解：（）取AC中点O，连A1O，A1A=
11、A1C A1OAC 侧面A1C底面ABC，A1O底面ABC，A1AO是直线A1A与底面ABC所成的角. A1A = A1C，A1AA1C A1AO = 45为所求. （）过O点作OEBC，垂足为E，连A1EA1O底面ABC，A1EBC，A1EO为所求二面角的平面角. 6分A1O =AC = 1，OE = OC sin60= tanA1EO=，A1EO = arc tan为所求. 8分（）连AC1交A1C于点F，由于F为AC1中点，O为AC中点，所以点C1与A到平面A1BC的距离相等，并且等于O点平面A1BC的距离的两倍. 10分过O点作OHA1E于H，由（）知平面A1OE平面A1BC，所以OH
12、平面A1BC.RtA1OE中，OH=故点C1到平面A1BC的距离为. 12分21.解：PO平面ABCD，POBD又PBPD，BO2，PO，由平面几何知识得：OD1，PD，PB，（）过D作DEBC交AB于E，连结PE，则PDE或其补角为异面直线PD与BC所成的角，四边形ABCD是等腰梯形，OCOD1，OBOA2，OAOB，BC，AB2，CD，PABCDOEM又ABDC，四边形EBCD是平行四边形EDBC，BECD，E是AB的中点，且AE，又PAPB，PEA为直角三角形，PE2，在PED中，由余弦定理得cosPDE故异面直线PD与BC所成的角的余弦值为（）连结OE，由（）及三垂线定理的逆定理可知O
13、EAB，PEO为二面角PABC的平面角sinPEO，PEO45，即二面角PABC的大小为45（）连结MD，MB，MO，PO平面ABCD，且ACBD，PCBD若要PC平面BMD，只需PCOM即可在RtPOC中，PCPD，OC1，PO，PCOM，PM，MC，则2故当l2时，PC平面BMD22.解：法一：（1）ABCD是平行四边形，故知BDC1ABD90，即ABBD，C1DBD，ADBC1， DBC1AEyxz由C1D1，AC12可得，AC12C1D2AD2，C1DADC1D平面ABD， 2分又C1D 平面AC1D，故平面AC1D平面ABD 3分（2）由ABBD，ABC1D可知，AB平面BC1D，故
14、可以B为原点，平行于C1D的直线为x轴建立如图所示的空间直角坐标系 4分则A(0,0,1)，D(0, ,0)，C1(1, ,0)(0,0,1)，(1, ,0)，(0, ,1) ，(1,0,0)设平面ABC1的法向量为(x1,y1,z1)，则 0，0，即，解得，故得平面ABC1的一个法向量(,1,0)6分设平面ADC1的法向量为(x2,y2,z2)，则 0，0，即，解得，故得平面ABC1的一个法向量(0, 1, )显然，二面角BAC1D所成的平面角为锐角，故大小为（3）设，则(1,0,0)(1,1)(1, )，由ABC平面BCD可知，(0,0,1)是平面BCD的一个法向量， 若DE与平面BC1D
15、所成的角为30，则不难看出60， 又故，整理，得421242，解得故知E为AB的中点，即|C1E|1时DE与平面BC1D所成的角为30法二：（1）同上BC1DAEFGH（2）作DFBC1于F，则DF平面ABC1，又作DGAC1，连FG，由三垂线定理可知，则FGAC1，故FGD就是二面角BAC1D的平面角B C1DFBDD C1，故DF，同理，DG sinFGD，故二面角BAC1D的大小为（3）过E作EHBC1于H，则EHAB，故EH平面BC1D，连DH，则EDH就是DE与平面BC1D所成的角设|C1E|x，AB1，AC12，故知AC1B30，则EHx，同理可知，DC1E60，在DC1E中，由余弦定理得DE212x221xcos60x2x1若EDH30，则DE2EHx，故有x2x2x1，解得x1，即|C1E|1时，DE与平面BC1D所成的角为308欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。
