1、6.2.1向量基本定理(教师独具内容)课程标准：1.理解两个平面向量共线的含义.2理解平面向量基本定理及其意义.教学重点：1.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题.2.理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义.3.会用基底来表示其他向量.4.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题.教学难点：1.向量共线定理的探究及其应用.2.平面向量基本定理的应用.知识点一 共线向量基本定理(1)定义如果a0且ba，则存在唯一的实数，使得ba.(2)几点说明ba时，通常称为b能用a表示其中的“唯一”指的是，如果还有ba，则有.如果A，B，C是
2、三个不同的点，则它们共线的充要条件是：存在实数，使得.知识点二 平面向量基本定理(1)定理如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对(x，y)，使得cxayb.(2)几点说明当a与b不共线时，“唯一的实数对”指的是c用a，b表示时，表达式唯一，即如果cxaybuavb，那么xu且yv.当x0或y0时，必有xayb0，也就是说，当a与b不共线时，xayb0的充要条件是x与y中至少有一个不为0.(3)基底与向量的分解平面内不共线的两个向量a与b组成的集合a，b，常称为该平面上向量的一组基底，此时如果cxayb，则称xayb为c在基底a，b下的分解式1对两向量共线的
3、条件的理解(1)判断两向量共线，其实就是找一个实数，使得它与一个向量的积等于另一个向量可以用来证明几何中的三点共线及两直线平行的问题(2)为何规定“非零向量a”这一条件？若a0，b0时，不存在实数使得ba；若a0，b0，则存在不唯一的实数满足等式(3)若a，b不共线，且存在实数，使ab(或ab0)，则必有0.因为a，b不共线，则a，b必为非零向量，若0，则ba，若0，则ab，无论哪种情况都有a，b共线与已知矛盾，故必有0.(4)两向量共线的一般形式：如果存在不全为0的一对实数，使ab0，则a与b共线2对平面向量基本定理的理解(1)平面向量基本定理包括两个方面的内容，一是存在性，二是唯一性(2)
4、平面向量基本定理是后面所学的平面向量正交分解的理论依据(3)若a，b两个向量不共线，则向量c与a，b共面，等价于：存在唯一的一对实数x，y，使cxayb.(4)由平面向量基本定理知，平面内的任一向量都可用基底表示出来因而可以简化向量的个数(5)基底不唯一，同一平面可以有不同的基底，且基底不能共线(零向量不可以作为基底中的向量)同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的(6)要学会由特殊到一般的思维方法，熟练应用基底的线性组合表示任一个向量是列式运算的关键(7)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便(8)要熟练使用线段中点的向量表达式1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)共线向
5、量定理中，条件a0可以去掉()(2)平面向量的基底是唯一的()(3)平面内任意两向量a，b组成的集合a，b都可作为基底()(4)若a，b不共线，则对该平面内的任一向量c，都有ca b(，R)()答案(1)(2)(3)(4)2做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)在ABC中，D为BC上靠近点B的三等分点，若a，b，则_(用a，b表示)(2)已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(2x3y)e1(3x4y)e26e13e2，则x_，y_.(3)已知ABCD的两条对角线相交于点M，设a，b，试用基底a，b表示_，_.答案(1)ab(2)1512(3)baab题型一 共线向量基本定理的应用例1如图
6、，已知在OCB中，点C是以A为中心的点B的对称点，D是将OB分成21的一个内分点，DC和OA交于点E，设a，b.(1)用a，b表示向量，；(2)若，求的值解(1)由题意，知A是BC的中点，则有()，又由D是将OB分成21的一个内分点，得，从而22ab.(2ab)b2ab.(2)如题图，知C，E，D三点共线，则，又(2ab)a(2)ab，2ab，从而(2)ab，即解得.所以.1.共线向量基本定理的“双向”应用(1)证明向量共线b是一个非零向量，若存在一个实数，使ab，则a与非零向量b共线(2)用一个非零向量表示另外一个向量若a与非零向量b共线，则存在一个实数，使ab.2用向量共线的条件证明两条直
7、线平行或重合的思路(1)若ab(b0)，且b与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行(2)若ab(b0)，且b与a所在的直线有公共点，则这两条直线重合例如，若向量，则，共线且有公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重要方法3共线向量基本定理的相关结论(1)若存在两个不全为0的实数，使得ab0，那么a与b为共线向量(2)与向量a同方向的a的单位向量为e.(3)与向量a共线的单位向量有2个如图，在ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若m，n，则mn的值为_答案2解析解法一：因为m，n，所以，则.因为点O为BC的中点，连接AO，所以，则，因为
8、M，O，N三点共线，所以可设，即，则0，由于，不共线，所以消去得0，变形整理可得mn2.解法二：在ABC中，连接AO，由于O是BC的中点，因此().由于m，n，则mn.由于M，O，N三点共线，则mn1，从而mn2.题型二 基底的概念例2如果e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列说法正确的是()A若实数1，2使1e12e20，则120B对实数1，2，1e12e2不一定在平面内C对平面内的另一组基底e1，e2，若平面内有一向量a，则a1e12e21e12e2，而11且22De1e2，e1e2不能作为一组基底解析从平面向量基本定理出发进行分析与推导A正确，因为00e10e21e12e2，则12
9、0.B不正确，因为e1与e2的线性运算都在同一平面内C不正确，反例：a0时，12120.D不正确，假设e1e2和e1e2共线，则存在实数使e1e2(e1e2)，即(1)e1(1)e2，所以e1与e2共线，与题意矛盾从而e1e2和e1e2不共线，所以e1e2，e1e2可以作为平面内所有向量的一组基底答案A基底的特征(1)基底是不共线的两个向量(2)基底的选择不是唯一的(3)零向量不能当基底(4)设e1，e2是平面内一组基底，当1e12e20时，则恒有120.已知e1，e2是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组中不能作为一组基底的是()Ae1，e1e2 Be12e2，e22e1Ce12e2,
10、4e22e1 De1，e1e2答案C解析只要两向量不共线，则这两个向量组成的集合均可作为平面内所有向量的一组基底，而4e22e12(e12e2)，所以e12e2与4e22e1共线故选C题型三 利用平面向量基本定理表示未知向量例3已知M，N，P是ABC三边上的点，且，若a，b，试用a，b将 ， 表示出来解如右图()ba.同理可得ab，()ab.1.用基底表示其他向量的基本方法(1)运用向量的线性运算法则将待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止(2)另一种是列向量方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解又名待定系数法2平面向量基本定理的三种应用(1)已知e1，e2，求作1e12e2.其方法如下
11、：利用三角形法则；利用平行四边形法则(2)已知基底a，b，用a，b表示其他向量c.其一般方法为：线性运算法：利用三角形法则或平行四边形法则向量方程组法：设cxayb，x，yR，用待定系数法求出x，y.(3)设a，b是同一平面内的两个不共线向量，若x1ay1bx2ay2b，则这个方法应用广泛，常用于待定系数法确定向量的过程中如图所示，已知在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，DC边上的中点若a，b，试以a，b为基底表示，.解四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是BC，DC边上的中点，2，2，b，a，babab，ba.题型四 利用平面向量基本定理解决共线问题例4设e1，e2是平面内的一组基底
12、，如果3e12e2，4e1e2，8e19e2，求证：A，B，D三点共线证明3e12e2，15e110e25(3e12e2)5，即5，与共线，又与有公共点A，A，B，D三点共线(1)三点共线问题的解法一是利用平面向量基本定理、结合向量的线性运算表示有公共点的两向量之间的共线关系二是找直线外一点(任意一点也可)O，若存在唯一实数对，R使(1)则P，A，B三点共线(2)注意将向量共线定理与平面向量基本定理放在一起思考解决向量共线问题若向量a2e13e2，b2e13e2，其中e1，e2不共线，向量c2e19e2，则是否存在这样的实数，使dab与c共线？解dab(2e13e2)(2e13e2)(22)e
13、1(33)e2，要使d与c共线，则应有实数k，使dkc，即(22)e1(33)e2k(2e19e2)，由得2.故存在这样的实数，只要2，就能使d与c共线1设向量a，b不平行，向量ab与a2b平行，则实数()A1 B C2 D答案B解析由于ab与a2b平行，所以存在R，使得ab(a2b)，即()a(12)b0，因为向量a，b不平行，所以0,120，解得.故选B2设O是平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD的交点，有下列向量集合：，；，；，；，其中可作为这个平行四边形所在平面表示其他所有向量的基底的是()A B C D答案C解析如右图所示，与为不共线向量，故，可以作为基底.与为不共线向量，故，可以作为基底.与，与均为共线向量，故，均不能作为基底故选C3如图所示，已知a，b，3，用a，b表示，则 等于()AabBabCabDab答案B解析()a(ba)ab.4已知向量a，b不共线，且a2b，5a6b，7a2b，则一定共线的三点是()AA，B，D BA，B，C CB，C，D DA，C，D答案A解析a2b，2a4b，2，.又与有公共点B，A，B，D三点共线故选A5已知3e1，3e2，C，D是AB的三等分点，E是AB的中点，试用e1，e2分别表示，.解如图所示，3e23e1，e2e1，2e22e1，e2e1，2e1e2，e12e2，e1e2.
