1、第四章平面向量与复数第2课时平面向量的基本定理及坐标表示(对应学生用书(文)、(理)6364页)考情分析考点新知 了解平面向量的基本定理及其意义. 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算；理解用坐标表示的平面向量共线的条件能正确用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算，以及熟练掌握用坐标表示的平面向量共线的条件.1. (必修4P75习题2.3第3题改编)若向量a(2，3)，b(x，9)，且ab，则实数x_答案：6解析：ab，所以2(9)3x0，解得x6.2. (必修4P75习题2.3第2题改编)若向量(2，3)，(4，7)，则_答案：(2，4)解析：(2，4)3
2、. (必修4P74例5改编)已知向量a(1，2)，b(2，0)，若向量ab与向量c(1，2)共线，则实数_答案：1解析：ab(2，2)， 向量ab与向量c(1，2)共线， (2)(2)21，解得1.4. (必修4P75习题2.3第5题改编)已知四边形ABCD的三个顶点A(0，2)，B(1，2)，C(3，1)，且2，则顶点D的坐标为_答案：解析：设D(x，y)，则由2，得(4，3)2(x，y2)，得解得5. 已知e1与e2是两个不共线向量，3e12e2，2e15e2，e1e2.若三点A、B、D共线，则_答案：8解析： A、B、D共线， 与共线， 存在实数，使. (2)e14e2， 3e12e2(
3、2)e14e2， 1. 平面向量基本定理如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1、2，使得a1e12e2我们把不共线的向量e1、e2叫做表示这个平面内所有向量的一组基底如果作为基底的两个基向量互相垂直，则称其为正交基底，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解2. 平面向量的直角坐标运算(1) 已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，|.(2) 已知a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)abx1y2x2y10.备课札记题型1向量
4、的坐标运算例1已知A(2，4)、B(3，1)、C(3，4)且3，2，求点M、N及的坐标解： A(2，4)、B(3，1)、C(3，4)， (1，8)，(6，3)， 3(3，24)，2(12，6)设M(x，y)，则有(x3，y4)， M点的坐标为(0，20)同理可求得N点的坐标为(9，2)，因此(9，18)故所求点M、N的坐标分别为(0，20)、(9，2)，的坐标为(9，18)在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若(2，4)，(1，3)，则_答案：(3，5)解析：由题意，得()2(1，3)2(2，4)(3，5)题型2向量共线的条件例2已知向量a(2，1)，b(1，m)，c(1，2)，若(ab
5、)c，求m的值解：ab(1，m1)，c(1，2) (ab)c， ， m1.已知向量a(6，2)，b(3，k)，若ab，求实数k的值解：(解法1) ab， 存在实数，使ba， (3，k)(6，2)， k1.(解法2) ab， ， k1.题型3平面向量基本定理例3如图，已知ABC的面积为14，D、E分别为边AB、BC上的点，且ADDBBEEC21，AE与CD交于P.设存在和使，a，b.(1) 求及；(2) 用a、b表示；(3) 求PAC的面积解：(1) 由于a，b，则ab，ab.，即a(ab).解得，.(2) aab.(3) 设ABC、PAB、PBC的高分别为h、h1、h2，h1h|，SPABSA
6、BC8.h2h|1，SPBCSABC2， SPAC4.如图所示，在ABC中，H为BC上异于B、C的任一点，M为AH的中点，若，则_答案：解析：由B、H、C三点共线，可令x(1x)，又M是AH的中点，所以x(1x).又，所以x(1x).1. 在ABC中，已知a、b、c分别为内角A、B、C所对的边，S为ABC的面积若向量p(4，a2b2c2)，q(1，S)满足pq，则C_答案：解析：由p(4，a2b2c2)，q(1，S)且pq，得4Sa2b2c2，即2abcosC4S2absinC，所以tanC1.又0C，所以C.2. 在ABC中，a、b、c分别是A、B、C所对的边，且3a4b5c0，则abc_答
7、案：201512解析： 3a4b5c0， 3a()4b5c0， (3a5c)(3a4b)0. 在ABC中， 、不共线， 解得 abcaaa201512.3. (2013北京文)向量a、b、c在正方形网格中的位置如图所示若cab(、R)，则_答案：4解析：以向量a、b的交点为原点作直角坐标系，则a(1，1)，b(6，2)，c(1，3)，根据cab(1，1)(6，2)则4.4. 在ABC中，过中线AD中点E任作一条直线分别交边AB、AC于M、N两点，设x，y(xy0)，则4xy的最小值是_答案：解析：因为D是BC的中点，E是AD的中点，所以()又，所以.因为M、E、N三点共线，所以1，所以4xy(
8、4xy).1. 如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起若xy，则x_，y_答案：1解析：(解法1)以AB所在直线为x轴，以A为原点建立平面直角坐标系(如图)令AB2，则(2，0)，(0，2)，过D作DFAB交AB的延长线为F，由已知得DFBF，则(2，)xy，(2，)(2x，2y)即有(解法2)过D点作DFAB交AB的延长线为F.由已知可求得BFDFAB，所以x1，y.2. 已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若(R)，试问：(1) 为何值时，点P在第一、三象限角平分线上；(2) 为何值时，点P在第三象限解：设点P的坐标为(x，y)，则(x，y)(2，3)(x2，y3)，(5，
9、4)(2，3)(7，10)(2，3)(35，17)由，得 点P坐标为(55，47)(1) 若点P在第一、三象限角平分线上，则5547， .(2) 若点P在第三象限内，则550且470， 1.3. 如图，ABC中，在AC上取一点N，使得ANAC，在AB上取一点M，使得AMAB，在BN的延长线上取点P，使得NPBN，在CM的延长线上取点Q，使得时，试确定的值解：()()，又，即，.4. 如图，ABC中，D为BC的中点，G为AD的中点，过点G任作一直线MN分别交AB、AC于M、N两点若x，y，求的值解：设a，b，则xa，yb，()(ab)(ab)xaab，ybxaxayb.与共线，存在实数，使.ab
10、(xayb)xayb.a与b不共线，消去，得4.1. 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的2. 利用向量的坐标运算解题，主要就是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解；在将向量用坐标表示时，要看准向量的起点和终点坐标，也就是要注意向量的方向，不要写错坐标3. 向量共线问题中，一般是根据其中的一些关系求解参数值，如果向量是用坐标表示的，就可以使用两个向量共线的充要条件的坐标表示列出方程，根据方程求解其中的参数值请使用课时训练(B)第2课时(见活页)备课札记
