1、第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形第8课时解三角形应用举例(对应学生用书(文)、(理)5556页)考情分析考点新知正余弦定理在应用题中的应用能准确地建立数学模型，并能用正弦定理和余弦定理解决问题.1. (必修5P11习题4改编)若海上有A、B、C三个小岛，测得A，B两岛相距10海里，BAC60，ABC75，则B、C间的距离是_海里答案：5解析：由正弦定理，知，解得BC5(海里)2. (必修5P20练习第4题改编)江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45和60，而且两条船与炮台底部连线成30角，则两条船相距_m.答案：10解析：如图，OA
2、为炮台，M、N为两条船的位置，AMO45，ANO60，OMAOtan4530，ONAOtan303010，由余弦定理，得MN10(m)3. (必修5P18例1改编)如图，要测量河对岸A、B两点间的距离，今沿河岸选取相距40 m的C、D两点，测得ACB60，BCD45，ADB60，ADC30，则AB的距离是_ m.答案：20解析：由已知知BDC为等腰直角三角形，故DB40；由ACB60和ADB60知A、B、C、D四点共圆，所以BADBCD45；在BDA中，运用正弦定理可得AB20.4. (必修5P21习题2改编)某人在C点测得塔顶A在南偏西80，仰角为45，此人沿南偏东40方向前进10 m到D，
3、测得塔顶A的仰角为30，则塔高为_m.答案：10解析：如图，设塔高为h，在RtAOC中，ACO45，则OCOAh.在RtAOD中，ADO30，则ODh.在OCD中，OCD120，CD10.由余弦定理得OD2OC2CD22OCCDcosOCD，即(h)2h21022h10cos120， h25h500，解得h10或h5(舍)5. 如图，一船在海上自西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东角，前进mkm后在B处测得该岛的方位角为北偏东角，已知该岛周围nkm范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行当与满足条件_时，该船没有触礁危险答案：mcoscosnsin()解析：MAB90，MBC90MAB
4、AMB90AMB， AMB.由题可知，在ABM中，根据正弦定理得，解得BM.要使船没有触礁危险，需要BMsin(90)n，所以与满足mcoscosnsin()时船没有触礁危险1. 用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等2. 实际问题中的常用角(1) 仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的角叫仰角，目标视线在水平视线下方的角叫俯角(如图)(2) 方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30，北偏西45，西偏北60等(3) 方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方
5、位角为(如图)(4) 坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数备课札记题型1测量距离问题例1要测量河对岸A、B两点之间的距离，选取相距 km的C、D两点，并且测得ACB75，BCD45，ADC30，ADB45，求A、B之间的距离解：ACD中，ACD120，CADADC30， ACCD km.在BCD中，BCD45，BDC75，CBD60， BC.在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcosACB()22cos755， AB km.故A、B之间的距离为 km.设A、B两点在河的两岸，一测量者在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，ACB45，CAB105，求A、B两点的距离
6、解：由题意知ABC30，由正弦定理，得AB50 m.故A、B两点的距离为50 m.题型2测量高度问题例2某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m)如图所示，垂直放置的标杆BC的高度h4 m，仰角ABE，ADE.(1) 该小组已测得一组、的值，算出了tan1.24，tan1.20，请据此算出H的值；(2) 该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位：m)，使与之差较大，可以提高测量精度若电视塔的实际高度为125 m，试问d为多少时，最大？解：(1) 由AB，BD，AD及ABBDAD，得，解得H124.因此，算出的电视塔的高度H是124 m.(2) 由题设知dAB，得t
7、an.由ABADBD，得tan，所以tan()，当且仅当d，即d55时，上式取等号所以当d55时，tan()最大因为0，则0，所以当d55时，最大故所求的d是55m.如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得BCD，BDC，CDs，并在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高AB.解：在BCD中，CBD，由正弦定理得，所以BC.在RtABC中，ABBCtanACB.题型3测量角度问题例3在海岸A处，发现北偏西75的方向，距离A 2海里的B处有一艘走私船，在A处北偏东45方向，距离A (1)海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船此时，走私船正以1
8、0海里/小时的速度从B向北偏西30方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？解：由已知条件得，AB2，AC1，BAC120， BC.在ABC中，解得sinACB， ACB45， BC为水平线，设经过时间t小时后，缉私船追上走私船，则在BCD中，BD10t，CD10t，DBC120，sinBCD， BCD30， 缉私船沿北偏西60的方向能最快追上走私船如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用2 h追上，此时到达C处(1) 求渔船甲的速度；(2) 求sin
9、的值解：(1) 依题意知，BAC120，AB12海里，AC10220海里，BCA.在ABC中，由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcosBAC12220221220cos120784，解得BC28海里所以渔船甲的速度为14海里/小时(2) 在ABC中，因为AB12海里，BAC120，BC28海里，BCA，由正弦定理，得.即sin.1. 在ABC中，若sin2Asin2Bsin2C，则ABC的形状是_答案：钝角三角形解析：由正弦定理可把不等式转化为a2b2c2，cosC0，所以三角形为钝角三角形2. 已知ABC的三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为_答案：解析：设最小边为a，则其
10、他两边分别为a，2a.由余弦定理，得最大角的余弦值为cos.3. (2013上海一模)一人在海面某处测得某山顶C的仰角为(045)，在海面上向山顶的方向行进m m后，测得山顶C的仰角为90，则该山的高度为_m(结果化简)答案：mtan2解析：由题意知CAB，CDB90，CDA90，且ADm，则ACD902.由正弦定理得，即，即AC，所以山高BCACsinmtan2.4. 已知ABC中，AB边上的高与AB边的长相等，则的最大值为_答案：2解析：.又AC2BC2AB22ACBCcosC， 原式2cosC2cosC2cosC2cosC2sinC2sin， 当C时，最大值为2. 1. 某人在汽车站M的
11、北偏西20的方向上的A处(如图所示)，观察到C处有一辆汽车沿公路向M站行驶，公路的走向是M站的北偏东40.开始时，汽车到A处的距离为31 km，汽车前进20 km后，到A处的距离缩短了10 km.问汽车还需行驶多远，才能到达汽车站M?解：设汽车前进20 km后到达B处，在ABC中，AC31，BC20，AB21，由余弦定理，得cosC，则sinC.所以sinMACsinsin120cosCcos120sinC.在MAC中，由正弦定理，得MC35，从而有MBMCBC15 km.答：汽车还需行驶15 km，才能到达汽车站M.2. 某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上在小艇出发时，轮
12、船位于港口O北偏西30且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇(1) 若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2) 假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由解：(1) 设相遇时小艇航行的距离为S海里，则S .故当t时，Smin10 海里，此时v30 海里/时即小艇以30海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小(2) 设小艇与轮船在B处相遇，则v2t2400900t2
13、22030tcos(9030)，故v2900. 0v30， 900900，即0，解得t.又t时，v30海里/时故v30海里/时时，t取得最小值，且最小值等于.此时，在OAB中，有OAOBAB20海里，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30，航行速度为30海里/时，小艇能以最短时间与轮船相遇3. 如图，A、B是海面上位于东西方向相距5(3)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45、B点北偏西60的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船达到D点需要多长时间？解：由题意知AB5(3)海里，DBA906030
14、，DAB904545，所以ADB180(4530)105.在ADB中，由正弦定理得，所以DB10海里又DBCDBAABC30(9060)60，BC20海里，在DBC中，由余弦定理得CD2BD2BC22BDBCcosDBC3001 20021020900，所以CD30海里，则需要的时间t1 h所以救援船到达D点需要1 h.4. 如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC.问：点B在什么位置时，四边形OACB面积最大？解：设AOB，在AOB中，由余弦定理得AB2OA2OB22OAOBcosAOB1222212cos54cos，于是，四边形OACB的面积为SSAOB SABCOAOBsinAB221sin(54cos)sincos2sin.因为0，所以当，即AOB时，四边形OACB面积最大1. (1) 利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的模型(2) 利用正、余弦定理解出所需要的边和角，求得该数学模型的解(3) 应用题要注意作答2. (1) 测量高度时，要准确理解仰、俯角的概念(2) 分清已知和待求，分析(画出)示意图，明确在哪个三角形中应用正、余弦定理(3) 注意竖直线垂直于地面构成的直角三角形请使用课时训练(A)第8课时(见活页)备课札记
