1、第6课时正弦定理、余弦定理的应用(2) 教学过程一、 数学运用在上一节课中,我们一起学习了正、余弦定理在实际中的应用,了解了一些把实际问题转化为解三角形问题的方法,掌握了一定的解题方法与技巧;在这一节课中,我们将给出几个例题,请大家尝试用上一节课所学的方法加以解决.【例1】如图,为了测量河对岸A,B两点间的距离,在所站这一岸定一基线CD,现已测出CD=a,ACD=,BCD=,BDC=,ADC=,试求AB的长.2(例1)(见学生用书课堂本P11)处理建议(1) 先帮助学生分析思路,然后让学生解决;(2) 如图,对于AB的求解,可以在ABC中或者ABD中求.若在ABC中求解,由ACB=-,故需先求
2、出AC,BC,再利用余弦定理求得,而AC可在ACD中利用正弦定理求得,BC可在BCD中利用正弦定理求得.规范板书解在ACD中,由正弦定理得AC=.在BCD中,由正弦定理得BC=.在ABC中,ACB=-,由余弦定理得AB=.题后反思(1) 熟练掌握正、余弦定理的应用;(2) 注意体会例1的求解过程在实际中的应用.变式直线AB外有一点C,ABC=60,AB=200km,汽车甲以80km/h的速度由A向B行驶,同时摩托车乙以50km/h的速度由B向C行驶,问:运动开始几小时后,两车的距离最小?规范板书解设经过th后,两车相距skm,则由余弦定理得s2=(200-80t)2+(50t)2-2(200-
3、80t)(50t)cos60=12900t2-42000t+40000.当t=1.6时,s最小.答:运动开始约1.6h后,两车的距离最小.【例2】据气象台预报,距S岛正东方向300km的A处有一台风中心形成,并正以30km/h的速度沿北偏西30的方向移动,在距台风中心270km以内的地区将受到台风的影响.问:S岛是否受到台风影响?若受到影响,从现在起经过多少小时S岛开始受到台风的影响?持续时间多久?3(见学生用书课堂本P12)处理建议(1) 先帮助学生分析思路,然后让学生解决;(2) 设B为台风中心,则B为AB边上的动点,SB也随之变化.S岛是否受台风影响可转化为SB270这一不等式是否有解的
4、判断,则需表示出SB,可设台风中心经过th到达B点,则在ABS中,由余弦定理可求出SB.规范板书解设台风中心经过th到达B点,由题意得SAB=90-30=60.(例2)在ABS中,由余弦定理得SB2=SA2+AB2-2SAABcosSAB=3002+(30t)2-230030tcos60=900t2-9000t+90000.若S岛受到台风影响,则应满足条件SB270,即SB22702,化简整理得t2-10t+190,解得5-t5+.所以从现在起,经过(5-)hS岛开始受到台风的影响,(5+)h后影响结束,持续时间为(5+)-(5-)=2(h).答:S岛将受到台风的影响,从现在起经过(5-)h,
5、台风开始影响S岛,且持续时间为2h.题后反思此题为探索性命题,可以假设命题成立去寻求解存在的条件,也可假设命题不成立去寻求解存在的条件.本题求解过程采用了第一种思路(SB270是否有解最终转化为关于t的一元二次不等式是否有解,与一元二次不等式解法相联系).变式海中有一小岛B,周围3.8n mile内有暗礁,军舰由西向东航行到A处,望见岛B在北偏东75的方向上;军舰又航行了8n mile到达C处,望见岛B在北偏东60的方向上.若此军舰不改变航向而继续前进,有无触礁危险?(变式)处理意见军舰继续向东航行,有无触礁的可能取决于B到直线AC的距离是否大于3.8n mile.于是我们只要先算出BC(或A
6、B)的大小,再算出B到直线AC的距离,将它与3.8n mile比较即可得到答案.规范板书解在ABC中,AC=8,A=15,ACB=150, B=15,从而BC=AC=8. B到直线AC的距离为BCsin30=8=43.8.因此,军舰不改变航向而继续航行,没有触礁的危险.*【例3】如图,已知扇形AOB的圆心角AOB等于60,半径为2,在弧AB上有一动点P,过P引平行于OB的直线和OA交于点C,设AOP=,求POC面积的最大值及此时的值.4(例3)处理建议(1) 先帮助学生分析思路,然后让学生解决;(2) POC的面积会随的变化而变化,所以要用表示POC的面积,因此首先要用表示OC.规范板书解 C
7、POB, OCP=120, CPO=60-.在POC中,由正弦定理得OC=sin(60-).因此,POC的面积为S()=OPOCsin=sin(60-)sin=sin(2+30)-. 060, 当=30时,S()取得最大值为.题后反思此题是通过解三角形来建立函数关系,然后利用三角函数的性质来求最值,这种通过建立函数模型来求最值是高考中常考的题型,提醒学生注意.变式如图,已知半圆的直径AB=2,点C在AB的延长线上,BC=1,P为半圆上的一个动点,以PC为边作等边PCD,且点D与圆心O分别在PC的两侧,求四边形OPDC面积的最大值.(变式)规范板书解设POB=,四边形OPDC的面积为y.在POC
8、中,由余弦定理得PC2=OP2+OC2-2OPOCcosPOC=5-4cos. y=SPOC+SPCD=21sin+(5-4cos)=2sin+. 0, -, 当-=,即=时,ymax=2+. 四边形OPDC面积的最大值为2+.二、 课堂练习 1. 在塔底所在水平面上的某点测得塔顶的仰角为,由此点向塔沿直线行走30m,测得塔顶的仰角为2,再向塔继续前进10m,又测得塔顶的仰角为4,则塔高是15m. 2. 某人沿正东方向走xkm后,向右转150,然后朝新的方向走3km,结果他离出发点恰好 km,则x=或2.提示由题意可得cos30=,化简得x2-3x+6=0,解得x=或x=2.3. 如图,为了测量隧道AB的长度,给定下列四组数据,则测量应当选用数据 .(填序号) ,a,b; ,a; a,b,; ,.(第3题)三、 课堂小结 1. 通过本节课的学习,我们知道正弦定理、余弦定理有着非常广泛的应用.如果我们抽去每个应用题中与生产生活实际所联系的外壳,就暴露出解三角形问题的本质,这就需要我们在解决实际问题的过程中,不断提高分析问题和解决问题的能力,以及将实际问题转化为抽象的数学问题的能力. 2. 理解各种应用问题中的有关名词、术语,如坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等. 3. 注意不等式、函数等代数知识的引入与应用.
