1、第3课时余弦定理(1) 教学过程一、 问题情境 1. 在前面我们通过研究发现了正弦定理,并运用正弦定理解决了三角形中的两类问题.当两边夹一角或三条边确定了,这个三角形就确定了,其余的边和角也就确定了,但我们无法用正弦定理求出其余的边和角,这说明了什么呢?这只能说明我们对三角形的探究还不够深入,三角形中的边角关系我们还没有完全掌握,接下来我们该怎么办呢? 2. 在上节课中,我们通过等式=+的两边与(AD为ABC中BC边上的高)作数量积,将向量等式转化为数量关系,进而推出了正弦定理.具体是如何操作的,你还有印象吗?二、 数学建构问题1还有其他途径将向量等式=+数量化吗?(,这三个向量的模与三角形的
2、边长有关,它们的夹角与三角形的角有关,引导学生分析出:两边平方)=(+)(+)=+2+=|2+2|cos(-A)+|2=c2-2cbcosA+b2,即a2=b2+c2-2bccosA.同理可得b2=c2+a2-2cacosB,c2=a2+b2-2abcosC.上述等式表明,三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.这样我们就得到余弦定理:余弦定理(形式一):a2=b2+c2-2bccosA,b2=c2+a2-2cacosB,c2=a2+b2-2abcosC.问题2回顾正弦定理不同的证明方法,你还能尝试用其他方法证明余弦定理吗?(引导学生回顾通过建立平面直角坐
3、标系,利用三角函数的定义证明正弦定理的方法,对照余弦定理的特点,产生如下证法)证明:建立如图1所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(ccosA,csinA),C(b,0).(图1)所以a2=(ccosA-b)2+(csinA)2=c2cos2A+c2sin2A-2bccosA+b2=b2+c2-2bccosA.同理可得b2=c2+a2-2cacosB,c2=a2+b2-2abcosC.(此证明方法的优点在于不必对角A进行锐角、直角、钝角等分类讨论)余弦定理也可以写成如下形式:余弦定理(形式二):cosA=,cosB=,cosC=.问题3余弦定理a2=b2+c2-2bccosA这种形式能帮助
4、我们解决正弦定理不能解决的什么问题?(引导学生分析等式左右两边的特点:右边涉及两边及其夹角,而左边涉到夹角的对边.即已知两边和它们的夹角,利用这种形式的余弦定理可求出第三边,进而求出其他两个角)问题4余弦定理cosA=这种形式能帮助我们解决正弦定理不能解决的什么问题?(引导学生分析等式左右两边的特点:右边涉及三边,而左边涉及一角.即已知三边,利用这种形式的余弦定理可求出三个角.这样,问题3、问题4对于正弦定理不能解决的两类遗留问题应用余弦定理就能彻底解决了)三、 数学运用在证明了余弦定理之后,我们来进一步学习余弦定理的应用.利用余弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题:(1) 已知三边,求三
5、个角;(这类问题由于三边确定,故三角也确定,解唯一)(2) 已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角.(这类问题第三边是确定的,因而其他两个角唯一,故解唯一;不会产生类似利用正弦定理解三角形时所产生的判断取舍等问题)接下来,我们通过例题进一步体会与总结.【例1】(根据教材P14例1改编)在ABC中,(1) 已知b=8,c=3,A=60,求a;(2) 已知a=2,b=,c=+1,求A.2(见学生用书课堂本P5)处理建议(1) 第一小题属于已知两边及夹角求边的类型,可通过余弦定理形式一求出第三边;第二小题属于已知三角形三边求角的类型,可以利用余弦定理形式二求出角;(2) 这两小题是余弦定理直接简
6、单的应用,可以让学生板演,培养学生的计算能力.规范板书解(1) 由a2=b2+c2-2bccosA,得a2=82+32-283cos60=49, a=7.(2) 由cosA=,得cosA=, A=45.题后反思(1) 若将例1的要求改为解三角形,那么后继问题又该怎样解决呢?(2) 对于已知两边及夹角解三角形的类型,可通过余弦定理形式一先求出第三边,在第三边求出后,其余两角求解有两种思路:一是利用余弦定理形式二根据三边求第二个角,第三个角用三角形内角和定理求出;二是利用正弦定理根据两边及一边对角求解(但若用正弦定理求解,需对两种结果进行判断取舍,而在0180内,余弦有唯一解,故用余弦定理较好).
7、(3) 在解三角形时,如果正弦定理与余弦定理均可选用,那么求边用两个定理均可,求角用余弦定理则可免去判断取舍的麻烦.【例2】(教材P14例3)证明:在ABC中,当C为锐角时,a2+b2c2;当C为钝角时,a2+b20,由余弦定理得cosC=0,即a2+b2-c20,所以a2+b2c2.同理可证,当C为钝角时,a2+b2c2.题后反思当C为直角时,则cosC=0,所以a2+b2=c2.因此,余弦定理可以看做是勾股定理的推广.变式钝角ABC的三边的长为连续的自然数,求三边的长.规范板书解不妨设a=n,b=n+1,c=n+2(nN*),则角C为最大角且为钝角. cosC=0, a2+b2-c20,
8、a2+b2c2, n2+(n+1)2(n+2)2, -1nb, AB=60, A有两解, A181.8,A298.2. C1=38.2,C2=21.8.由=,得c1=5,c2=3. SABC=ac1sinB=10或SABC=ac2sinB=6.解法二由余弦定理得72=c2+82-28ccos60,整理得c2-8c+15=0,解得c1=5,c2=3. SABC=ac1sinB=10或SABC=ac2sinB=6.题后反思(1) 在解法一中,注意利用正弦定理应有两种结果,避免遗漏;而解法二更有耐人寻味之处,体现出余弦定理作为公式而直接应用的另外用处,即可以用之建立方程,从而运用方程的观点去解决问题
9、,故解法二应引起学生的注意.(2) 通过上述例题,可要求学生总结余弦定理在求解三角形时的适用范围(已知三边求任意角或已知两边及夹角解三角形),同时注意余弦定理在求角时的优势以及利用余弦定理建立方程的解法.变式在ABC中,已知a=7,c=5,A=120,求的值.规范板书解由余弦定理得72=b2+52-25bcos120,整理得b2+5b-24=0,解得b1=3,b2=-8(舍去).所以=.四、 课堂练习 1. 在ABC中,(1) 若a=20,b=29,c=21,则B=90;(2) 若a=3,c=2,B=150,则b=7.5提示(1) cosB=0, B=90.(2) b2=c2+a2-2caco
10、sB=22+(3)2-223=49, b=7. 2. 若三条线段的长分别为5,6,7,则用这三条线段构成的三角形中最大角的正弦值为.提示不妨设在构成的ABC中,a=5,b=6,c=7,对应的角分别为A,B,C,则最大的角为C. cosC=, sinC=. 3. 在ABC中,若a2=b2+c2+bc,则A=120.提示 cosA=-, A=120.五、 课堂小结通过本节课的学习,我们一起研究了余弦定理的证明方法,同时又进一步了解了向量的工具性作用,并且明确了利用余弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题:(1) 已知三边,求三个角;(这类问题由于三边确定,所以三角也确定,故解唯一)(2) 已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角.(这类问题第三边是确定的,因而其他两个角唯一,故解唯一;不会产生类似利用正弦定理解三角形时所产生的判断取舍等问题)
