1、第七章推理与证明第1课时合情推理与演绎推理(对应学生用书(文)、(理)9394页)考情分析考点新知能用归纳和类比等方法进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用；掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理；了解合情推理和演绎推理的联系和区别 了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用. 了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理. 了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.1. (选修12P35练习题4改编)“因为指数函数yax是增函数(大前提)，而yx是指数函数(小前提)，所以yx是增函数(结论)”，上面
2、推理错误的原因是_. 答案：大前提错误解析：yax是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错2. (选修12P35练习题3改编)用三段论的形式写出“矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角线相等” 的演绎推理过程_. 答案：每一个矩形的对角线相等(大前提)正方形是矩形(小前提)正方形的对角线相等(结论)3. (选修12P29练习题3(2) 改编)观察下列各式：112，23432，3456752，4567891072，可以得出的一般结论是_. 答案：n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2解析：等式右边的底数为左边的项数4. (选修12P29练习题3(2)改编)观察下列等式：24；24；
3、3；3；4；4；，根据这些等式反映的结果，可以得出一个关于自然数n的等式，这个等式可以表示为_答案：(n1)(n1)(nN*)解析：由归纳推理得(n1)， (n1)，所以得出结论(n1)(n1)(nN*)5. 已知扇形的弧长为l，所在圆的半径为r，类比三角形的面积公式：S底高，可得扇形的面积公式为_答案：rl1. 归纳推理(1) 归纳推理的定义从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理(2) 归纳推理的思维过程大致如图(3) 归纳推理的特点 归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围 由归纳推理得到的结论具有猜测的性质
4、，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，它不能作为数学证明的工具 归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题2. 类比推理(1) 根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理(2) 类比推理的思维过程3. 演绎推理(1) 演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程(2) 主要形式是三段论式推理(3) 三段论的常用格式为M P(M是P)SM(S是M)S P(S是P)其中，是大前提，它提供了一个一般性的
5、原理；是小前提，它指出了一个特殊对象；是结论，它是根据一般原理，对特殊情况作出的判断备课札记题型1归纳推理例1在各项为正的数列an中，数列的前n项和Sn满足Sn.(1) 求a1，a2，a3；(2) 由(1)猜想数列an的通项公式；(3) 求Sn.解：(1) 当n1时，S1，即a2110，解得a11. a10， a11；当n2时，S2，即a2a210. a20, a21.同理可得，a3.(2) 由(1)猜想an.(3) Sn1(1)()().已知数列an满足a12，an1(nN*)，则a3_，a1a2a3a2007_答案：3解析：(解法1)分别求出a23、a3、a4、a52，可以发现a5a1，且
6、a1a2a3a41，故a1a2a3a2 007a2 005a2 006a2 007a1a2a33.(解法2)由an1，联想到两角和的正切公式，设a12tan，则有a2tan，a3tan，a4tan，a5tan()a1，.则a1a2a3a41，故a1a2a3a2 007a2 005a2 006a2 007a1a2a33.题型2类比推理例2现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为.类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为_答案：解析：在已
7、知的平面图形中，中心O到两边的距离相等(如图1)，即OMON.四边形OPAR是圆内接四边形，RtOPNRtORM，因此S四边形OPARS正方形OMANa2.同样地，类比到空间，如图2.两个棱长均为a的正方体重叠部分的体积为a3.已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P为椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值试对双曲线1写出具有类似特性的性质，并加以证明解：类似的性质为：若M、N是双曲线：1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，那么kPM
8、与kPN之积是与点P位置无关的定值证明如下：设点M的坐标为(m，n)，则点N的坐标为(m，n)，其中1.又设点P的坐标为(x，y)，由kPM，kPN，得kPMkPN，将y2x2b2，n2m2b2代入得kPMkPN.题型3演绎推理例3设同时满足条件：bn1(nN*)；bnM(nN*，M是与n无关的常数)的无穷数列bn叫“特界” 数列(1) 若数列an为等差数列，Sn是其前n项和，a34，S318，求Sn；(2) 判断(1)中的数列Sn是否为“特界” 数列，并说明理由解：(1) 设等差数列an的公差为d，则a12d4，3a13d18，解得a18，d2，Snna1dn29n.(2) 由Sn110，得
9、Sn1，故数列Sn适合条件，而Snn29n2(nN*)，则当n4或5时，Sn有最大值20.即Sn20，故数列Sn适合条件.综上，数列Sn是“特界”数列设数列满足a10且 1.(1) 求的通项公式；(2) 设bn，记Snbk，证明：Sn1.(1)解： 由题设1，即是公差为1的等差数列又1，故n.所以an1.(2) 证明： 由(1)得bn，Sn1. 观察下列不等式：1；1；1；照此规律，第五个不等式是_答案：12. 观察下列各式：ab1；a2b23；a3b34；a4b47；a5b511；则a10b10_答案：123解析：(解法1)由ab1；a2b23得ab1代入后三个等式中符合，则a10b10(a
10、5b5)22a5b5123.(解法2)令ananbn，易得an2anan1，从而a618，a729，a847，a976，a10123.3. 在平面上，若两个正三角形的边长的比为12，则它们的面积比为14，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为12，则它们的体积比为_答案：18解析：考查类比的方法，所以体积比为18.4. (选修12P31练习题2改编)在平面几何里可以得出正确结论：“正三角形的内切圆半径等于这正三角形的高的”拓展到空间，类比平面几何的上述结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的_ .答案：解析：运用分割法思想，设正四面体的高为h，底面面积为S，正四面体SABC的内
11、切球的半径为R，球心为O，连结OS、OA、OB、OC，将四面体分成四个三棱锥，则VS ABCVO SACVO SABVO SBCVO ABCSRSRSRSRSRSh，所以Rh.5. (2013镇江期末)观察下列等式：1，1，1，由以上等式推测到一个一般的结论：对于nN*，_答案：11. (2012江西文)观察下列事实|x|y|1的不同整数解(x，y)的个数为4 , |x|y|2的不同整数解(x，y)的个数为8, |x|y|3的不同整数解(x，y)的个数为12 .则|x|y|20的不同整数解(x，y)的个数为_答案：80解析：由已知条件，得|x|y|n(nN*)的整数解(x，y)个数为4n，故|
12、x|y|20的整数解(x，y)的个数为80.2. 若等差数列an的公差为d，前n项的和为Sn，则数列为等差数列，公差为.类似地，若各项均为正数的等比数列bn的公比为q，前n项的积为Tn，则数列为等比数列，公比为_答案：解析：Tnbq，b1()n1.3. 若一个n面体有m个面是直角三角形，则称这个n面体的直度为，如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，四面体A1ABC的直度为_答案：1解析：n4，m4，1.4. 若P0(x0，y0)在椭圆1(ab0)外，过P0作椭圆的两条切线的切点分别为P1、P2，则切点弦P1P2所在的直线方程是1.那么对于双曲线则有如下命题：若P0(x0，y0)在双曲线1(
13、a0，b0)外，过P0作双曲线的两条切线的切点分别为P1、P2，则切点弦P1P2所在的直线方程是_答案：1解析：设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P0(x0，y0)，则过P1、P2的切线方程分别是1，1.因为P0(x0，y0)在这两条切线上，故有1，1.这说明P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线1上，故切点弦P1P2所在的直线方程是1.1. 合情推理主要包括归纳推理和类比推理数学研究中，在得到一个新的结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路和方法2. 合情推理的过程概括为：从具体问题出发观察、分析、比较、联想归纳、类比提出猜想3. 演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论，数学问题的证明主要通过演绎推理来进行4. 合情推理仅是符合情理的推理，他得到的结论不一定真，而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)备课札记
