1、第二章函数与导数第6课时二 次 函 数(对应学生用书(文)、(理)1819页)考情分析考点新知 由于二次函数与二次方程、二次不等式之间有着紧密的联系，加上三次函数的导函数是二次函数，因此对二次函数的考查一直是高考的热点问题. 以二次函数为背景的应用题也是高考的常考题型，同时借助二次函数模型考查代数推理问题是一个难点 掌握二次函数的概念、图象特征. 掌握二次函数的对称性和单调性，会求二次函数在给定区间上的最值. 掌握二次函数、一元二次方程及一元二次不等式这“三个二次”之间的关系，提高解综合问题的能力., 1. (必修1P54测试7)函数f(x)x22x3，x0，2的值域为_答案：3，5解析：由f
2、(x)(x1)24，知f(x)在0，2上单调递增，所以f(x)的值域是3，52. 二次函数yx22mxm23的图象的对称轴为x20，则m_，顶点坐标为_，递增区间为_，递减区间为_答案：2(2，3)(，22，)3. (必修1P45习题8改编)函数f(x)(x1)(xa)是偶函数，则f(2)_答案：3解析：由f(x)f(x)，得a1， f(2)3.4. (必修1P44习题3)函数f(x)的单调增区间是_答案：R解析：画出函数f(x)的图象可知5. 设abc0，二次函数f(x)ax2bxc的图象可能是_(填序号)答案：解析：若a0，则b、c同号，两图中c0，则b0，正确；若a0，则b、c异号，中c
3、0，0，不符合，中c0，则b0，0，函数图象开口向上，函数在区间(，上是单调减函数，在，)上是单调增函数，当x时，y有最小值，ymin(2) 当a0时，图象与x轴有两个交点M1(x1，0)，M2(x2，0)，则M1M2题型1求二次函数解析式例1已知二次函数f(x)满足f(2)1, f(1)1，且f(x)的最大值为8，求二次函数f(x)的解析式解：(解法1：利用一般式)设f(x)ax2bxc(a0)，解得 所求二次函数为f(x)4x24x7.(解法2：利用顶点式)设f(x)a(xm)2n， f(2)f(1)， 抛物线对称轴为x，即m；又根据题意，函数最大值ymax8， n8， f(x)a28.
4、f(2)1， a81，解得a4. f(x)4284x24x7.(解法3：利用两根式)由题意知f(x)10的两根为x12，x21，故可设f(x)1a(x2)(x1)，即f(x)ax2ax2a1.又函数有最大值ymax8，即 8，解得a4或a0(舍)， 所求函数的解析式为f(x)4x2(4)x2(4)14x24x7.已知二次函数f(x)ax2bxc图象的顶点为(1，10)，且方程ax2bxc0的两根的平方和为12，求二次函数f(x)的表达式解：由题意可设f(x)a(x1)210，即f(x)ax22axa10； b2a，ca10，设方程ax2bxc0的两根为x1、x2，则xx12，即(x1x2)22
5、x1x212，212.又b2a，ca10，212，解得a2，f(x)2x24x8.题型2含参变量二次函数的最值例2函数f(x)2x22ax3在区间1，1上最小值记为g(a)(1) 求g(a)的函数表达式；(2) 求g(a)的最大值解：(1) 当a2时，函数f(x)的对称轴x2时，函数f(x)的对称轴x1，则g(a)f(1) 52a.综上所述，g(a)(2) 当a2时，g(a)2时，g(a)1.由可得g(a)max3.求二次函数f(x) x24x 1在区间t，t2上的最小值g(t)，其中tR.解：函数f(x) (x2)25的图象的对称轴方程为x2，开口向上当2t，t2，即t2t2，也就是0t2时
6、，g(t)f(2)5；当2t，t2时，当t2时，f(x)在t，t2上为增函数，故g(t)f(t)t24t1.当t22，即t0时，f(x)在t，t2上为减函数，故g(t)f(t2)(t2)24(t2)1t25.故g(t)的解析式为g(t)题型3二次函数的综合应用例3已知函数g(x)ax22ax1b(a0，b1)，在区间2，3上有最大值4，最小值1，设函数f(x).(1) 求a、b的值及函数f(x)的解析式；(2) 若不等式f(2x)k2x0在x1，1时有解，求实数k的取值范围解：(1) g(x)ax22ax1b，由题意得 得 得(舍) a1，b0，g(x)x22x1，f(x)x2.(2) 不等式
7、f(2x)k2x0，即2x2k2x， k21.设t，则kt22t1， x1，1，故t.记h(t)t22t1， t， h(t)max1，故所求k的取值范围是(，1已知函数f(x)x2mxn的图象过点(1，3)，且f(1x)f(1x)对任意实数都成立，函数yg(x)与yf(x)的图象关于原点对称(1) 求f(x)与g(x)的解析式；(2) 若F(x)g(x)f(x)在(1，1上是增函数，求实数的取值范围解：(1) 因为函数f(x)满足f(1x)f(1x)对任意实数都成立，所以图象关于x1对称，即1，即m2.又f(1)1mn3，所以n0，所以f(x)x22x.又yg(x)与yf(x)的图象关于原点对
8、称，所以g(x)(x)22(x)，所以g(x)x22x.(2) 由(1)知，F(x)(x22x)(x22x)(1)x2(22)x.当10时，F(x)的对称轴为x，因为F(x)在(1，1上是增函数，所以或所以1或10.当10，即1时，F(x)4x显然成立综上所述，实数的取值范围是(，01. 若函数f(x)ax23x4在区间(，6)上单调递减，则实数a的取值范围是_答案：0a解析：当a0时，f(x)3x4，符合；当a0时，则解得01，由f(a)g(b)，得g(b)b24b31，解得2b2.2. 已知函数f(x)x2axb(a、bR)的值域为0，)，若关于x的不等式f(x)c的解集为(m，m6)，则
9、实数c的值为_答案：9 解析：根据函数f(x)x2axb的值域为0，)，得到a24b0.又关于x的不等式f(x)c，可化为x2axbc0，它的解集为(m，m6)，设函数f(x)x2axbc的图象与x轴的交点的横坐标分别为x1、x2，则|x2x1|m6m6，从而(x2x1)236，即(x1x2)24x1x236.又x1x2bc，x1x2a，代入得到 c9.3. 设函数f(x)x21，对任意x，f4m2f(x)f(x1)4f(m)恒成立，则实数m的取值范围是_答案：解析：由题意知14m2(x21)(x1)214(m21)在x上恒成立，4m21在x上恒成立，当x时，函数y1取得最小值，所以4m2，即
10、(3m21)(4m23)0，解得m或m.4. 已知函数f(x)mx3，g(x)x22xm.(1) 求证：函数f(x)g(x)必有零点；(2) 设函数G(x)f(x)g(x)1，若|G(x)|在1，0上是减函数，求实数m的取值范围(1) 证明：f(x)g(x)(mx3)(x22xm)x2(m2)x(3m)由1(m2)24(3m)m28m16(m4)20，知函数f(x)g(x)必有零点(2) 解：|G(x)|x2(m2)x(2m)|x2(m2)x(m2)|，2(m2)24(m2)(m2)(m6)， 当20，即2m6时，|G(x)|x2(m2)x(m2)，若|G(x)|在1，0上是减函数，则0，即m
11、2，所以2m6时，符合条件 当20，即m2或m6时，若m2，则0，要使|G(x)|在1，0上是减函数，则1且G(0)0，所以m0；若m6，则2，要使|G(x)|在1，0上是减函数，则G(0)0，所以m6.综上，m0或m2.1. 二次函数有三种形式的解析式，要根据具体情况选用：如和对称轴、最值有关，可选用顶点式；和二次函数的零点有关，可选用零点式；一般式可作为二次函数的最终结果2. 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，需要按照“三点一轴”来分类讨论(三点即区间的端点和中点，一轴即对称轴)，此类问题是考查的重点3. 二次函数、一元二次方程与一元二次不等式统称为“三个二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体备课札记