1、 高三 一轮复习 第九章 计数原理与概率、随机变量及其分布9.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理【教学目标】1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理2.能正确区分“类”和“步”，并能利用两个原理解决一些简单的实际问题. 【重点难点】 1.教学重点：能利用两个原理解决一些简单的实际问题；2.教学难点：学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力；【教学策略与方法】自主学习、小组讨论法、师生互动法【教学过程】教学流程教师活动学生活动设计意图环节二：考纲传真: 1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理2.能正确区分“类”和“步”，并能利用两个原理解决一些简单的实际问题. 真题再现
2、;1.(2016全国，5)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A.24 B.18 C.12 D.9解析从E点到F点的最短路径有6种，从F点到G点的最短路径有3种，所以从E点到G点的最短路径为6318种，故选B.答案B2.(2016全国，12)定义“规范01数列”an如下：an共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k2m，a1，a2，ak中0的个数不少于1的个数.若m4，则不同的“规范01数列”共有()A.18个 B.16个 C.14个 D.12个解析第一位为0，最后一位为1，中间3个0，3个
3、1，三个1在一起时为000111，001110；只有2个1相邻时，共A种，其中110100；110010；110001，101100不符合题意，三个1都不在一起时有C种，共28414.答案C3.(2014大纲全国，5)有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有()A.60种 B.70种 C.75种 D.150种解析从中选出2名男医生的选法有C15种，从中选出1名女医生的选法有C5种，所以不同的选法共有15575种，故选C.答案C知识梳理：知识点1分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方
4、法，那么完成这件事共有Nmn种不同的方法知识点2分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有Nmn种不同的方法1必会方法；区分分类与分步的依据在于“一次性”完成若能“一次性”完成，则不需分步，只需分类；否则就分步处理2必知联系；(1)切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行(2)分类的关键在于要做到“不重不漏”，分步的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步(3)确定题目中是否有特殊条件限制考点分项突破考点一：分类加法计数原理1满足a，b1,0,1,2，且关于x的方程ax22xb0有实数解的有序数对
5、(a，b)的个数为()A14 B13 C12 D10【解析】当a0时，方程为2xb0，此时一定有解，此时b1,0,1,2，有4种可能；当a0时，则44ab0，ab1，若a1时，b1,0,1,2，有4种不同的选法；若a1时，b1,0,1，有3种可能；若a2时，b1,0，有2种可能有序数对(a，b)共有443213(个)故选B.【答案】B2某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友一本，则不同的赠送方法共有()A4种B10种C18种D20种【解析】赠送一本画册，3本集邮册需从4人中选取一人赠送画册，其余送邮册，有C种方法赠送2本画册，2本集邮册，只需从4人中选出
6、2人送画册，其余2人送邮册，有C种方法由分类加法计数原理，不同的赠送方法有CC10(种)【答案】B归纳：分类计数原理中分类标准的确定分类标准是运用分类计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键词、关键元素、关键位置1根据题目特点恰当选择一个分类标准，分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法2分类时，类与类之间是独立的，每类做法中的每种方法都能完成这件事考点二: 分步乘法计数原理(1)(用0,1，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为_(2)有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？(不一定六名同学都能参
7、加)每人恰好参加一项，每项人数不限；每项限报一人，且每人至多参加一项；每项限报一人，但每人参加的项目不限【解析】(1)(间接法)用0,1，9可组成91010900(个)三位数，其中无重复数字的三位数有998648(个)所以有重复数字的三位数有900648252(个)【答案】252(2)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同的报名方法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有36729种每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目只有4种选法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有654120种每人参加的项目不限
8、，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有63216种跟踪训练： 14张卡片的正、反面分别写有0与1,2与3,4与5,6与7，将其中3张卡片排放在一起，可组成不同的三位数有_个【解析】分三步，分别排出百位、十位、个位上的数字第一步：百位数字有3217种放法第二步：十位数字有236种放法第三步：个位数字共有4种放法由分步乘法计数原理，可组成764168个三位数【答案】1682五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，则报名方法的种数为_五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，获得冠军的可能性有_种【解析】五名学生参加四项体育比赛，每人限报一次，
9、可逐个学生落实，每个学生有4种报名方法，共有45种不同的报名方法五名学生争夺四项比赛的冠军，可对4个冠军逐一落实，每个冠军有5种获得的可能性，共有54种获得冠军的可能性【答案】4554归纳：元素可重复选取的计数问题一类元素允许重复选取的计数问题，可以采用分步乘法计数原理来解决，关键是明确要完成的一件事是什么也就是说，用分步乘法计数原理求解元素可重复选取的问题时，哪类元素必须“用完”就以哪类元素作为分步的依据考点三: 两个计数原理的综合应用(1)如图，矩形的对角线把矩形分成A，B，C，D四部分，现用5种不同颜色给四部分涂色，每部分涂1种颜色，要求共边的两部分颜色互异，则共有_种不同的涂色方法(2
10、)如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是_个【解析】(1)区域A有5种涂色方法；区域B有4种涂色方法；区域C的涂色方法可分2类：若C与A涂同色，区域D有4种涂色方法；若C与A涂不同色，此时区域C有3种涂色方法，区域D也有3种涂色方法所以共有5445433260种涂色方法(2)第1类，对于每一条棱，都可以与两个侧面均成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有21224个；第2类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个所以正方体中“正交线面
11、对”共有241236个【答案】(1)260(2)36 跟踪训练： 1.如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法总数为_个【解析】先染顶点S，有5种染法，再染顶点A，有4种染法，染顶点B，有3种染法，顶点C的染法有两类：若C与A同色，则顶点D有3种染法；若C与A不同色，则C有2种染法，D有2种染法，所以共有543354322420(种)染色方法【答案】4202如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1a2，且a2a3，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等)，那么所有凸数的个数为_个【解析】若a22，则“凸
12、数”为120与121，共2个，若a23，则“凸数”有236个，若a24，满足条件的“凸数”有3412个，若a29，满足条件的“凸数”有8972个所有凸数有26122030425672240(个)【答案】240归纳：利用两个计数原理解决应用问题的一般思路1弄清完成一件事是做什么2确定是先分类后分步，还是先分步后分类3弄清分步、分类的标准是什么4利用两个计数原理求解。学生通过对高考真题的解决，发现自己对知识的掌握情况。 学生通过对高考真题的解决，感受高考题的考察视角。 教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。引导学生通过对基础知识的逐点扫描，来澄清概念，加强理解。从而为后面的练习奠定基
13、础.在解题中注意引导学生自主分析和解决问题，教师及时点拨从而提高学生的解题能力和兴教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。 通过对考纲的解读和分析。让学生明确考试要求，做到有的放矢由常见问题的解决和总结，使学生形成解题模块，提高模式识别能力和教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构引导学生对所学的知识进行小结，由利于学生对已有的知识结构进行编码处理，加强理解记忆，提高解题技能。环节三：课堂小结：1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理2.能正确区分“类”和“步”，并能利用两个原理解决一些简单的实际问题. 学生回顾，总结.引导学生对学习过程进行反思，为在今后的学习中，进行有效调控打下良好的基础。环节四：课后作业：学生版练与测学生通过作业进行课外反思，通过思考发散巩固所学的知识。
