1、思想方法训练 2 分类讨论思想 一、能力突破训练1.已知函数 f(x)=2-4,4,-log2(+1),4,若 f(a)=18,则实数 a 等于()A.1 或128-1B.128-1C.1D.32.在ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若 b2+c2-a2=3bc,且 b=3a,则下列关系一定不成立的是()A.a=cB.b=cC.2a=cD.a2+b2=c23.若 a0,且 a1,p=loga(a3+1),q=loga(a2+1),则 p,q 的大小关系是()A.p=qB.pqD.当 a1 时,pq;当 0a1 时,p0,且 a1)在区间1,2上的最大值比最小值大2,则
2、a 的值是 .10.已知an是等差数列,bn是等比数列,且 b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.(1)求an的通项公式;(2)设 cn=(-1)nan+bn,求数列cn的前 n 项和 Sn.11.设 a0,函数 f(x)=12x2-(a+1)x+a(1+ln x).(1)求曲线 y=f(x)在(2,f(2)处与直线 y=-x+1 垂直的切线方程;(2)求函数 f(x)的极值.二、思维提升训练12.若直线 l 过点 P(-3,-32)且被圆 x2+y2=25 截得的弦长是 8,则直线 l 的方程为()A.3x+4y+15=0B.x=-3 或 y=-32C.x=-3D.x=-3 或 3x
3、+4y+15=013.已知函数 f(x)=|,2-2+4,其中 m0.若存在实数 b,使得关于 x 的方程 f(x)=b 有三个不同的根,则 m 的取值范围是 .14.设函数 g(x)=-2sin2x-2acos x-2a+1 的最小值为 h(a),则满足 h(a)=12的 a 的值为 .15.已知函数 f(x)=ax2-2x(0 x1),求函数 f(x)的最小值.16.已知函数 f(x)=aln x+x2(a 为实数).(1)求函数 f(x)在区间1,e上的最小值及相应的 x 值;(2)若存在 x1,e,使得 f(x)(a+2)x 成立,求实数 a 的取值范围.思想方法训练 2 分类讨论思想
4、一、能力突破训练1.C 解析:当 a4 时,f(a)=2a-4=18=2-3,即 a-4=-3,即 a=1,符合要求.当 a4 时,f(a)=-log2(a+1)=18,即 a+1=2-18,即 a=2-18-10,不符合要求.故 a=1.2.B 解析:在ABC 中,由余弦定理得 cosA=2+2-22=32=32,则 A=6.又 b=3a,由正弦定理,得 sinB=3sinA=32,则 B=3或 B=23.当 B=3时,ABC 为直角三角形,选项 C,D 成立;当 B=23 时,ABC 为等腰三角形,选项 A 成立,故选 B.3.C 解析:当 0a1 时,y=ax和 y=logax 在其定义
5、域上均为减函数,a3+1loga(a2+1),即 pq.当 a1 时,y=ax和 y=logax 在其定义域上均为增函数,a3+1a2+1,loga(a3+1)loga(a2+1),即 pq.综上可得 pq.4.C 解析:当焦点在 x 轴上时,=34,此时离心率 e=54;当焦点在 y 轴上时,=34,此时离心率e=53,故选 C.5.C 解析:不妨设|AB|=2,以 AB 中点 O 为原点,AB 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系 xOy,则 A(-1,0),B(1,0),设 M(x,y),则 N(x,0),=(0,-y),=(x+1,0),=(1-x,0),代入 2=得 x2+y2=,当
6、=1 时,动点 M 的轨迹为圆;当=2 时,动点 M 的轨迹为椭圆;当 0 时,动点 M 的轨迹为双曲线,所以选 C.6.B 解析:由-1 0,-+2 0,+4-8 0作出可行域,如图.因为目标函数 z=ax+y 仅在点 A(4,1)处取最大值,所以当 a=0 时,z=y 在点(0,2)处取最大值,不成立;当 a0,目标函数在点(4,1)处取不到最大值.当 a0 时,直线 z=ax+y 的斜率 k=-a,且小于直线 x+4y-8=0 的斜率-14,故 a14.综上可知 a14.所以原点 O 到直线 ax-y+17=0 的距离 d=171+21 时,y=ax在区间1,2上单调递增,故 a2-a=
7、2,得 a=32;当 0a0,f(x)=x-(a+1)+.因为曲线 y=f(x)在(2,f(2)处切线的斜率为 1,所以 f(2)=1,即 2-(a+1)+2=1,所以 a=0,此时 f(2)=2-2=0,故曲线 f(x)在(2,f(2)处的切线方程为 x-y-2=0.(2)f(x)=x-(a+1)+=2-(+1)+=(-1)(-).当 0a0,函数 f(x)单调递增;若 x(a,1),则 f(x)0,函数 f(x)单调递增.此时 x=a 是 f(x)的极大值点,x=1 是 f(x)的极小值点,函数 f(x)的极大值是 f(a)=-12a2+alna,极小值是f(1)=-12.当 a=1 时,
8、若 x(0,1),则 f(x)0,若 x=1,则 f(x)=0,若 x(1,+),则 f(x)0,所以函数 f(x)在定义域内单调递增,此时 f(x)没有极值点,也无极值.当 a1 时,若 x(0,1),则 f(x)0,函数 f(x)单调递增;若 x(1,a),则 f(x)0,函数 f(x)单调递增,此时 x=1 是 f(x)的极大值点,x=a 是 f(x)的极小值点,函数 f(x)的极大值是 f(1)=-12,极小值是 f(a)=-12a2+alna.综上,当 0a1 时,f(x)的极大值是-12,极小值是-12a2+alna.二、思维提升训练12.D 解析:若直线 l 的斜率不存在,则该直
9、线的方程为 x=-3,代入圆的方程解得 y=4,故直线 l 被圆截得的弦长为 8,满足条件;若直线 l 的斜率存在,不妨设直线 l 的方程为 y+32=k(x+3),即 kx-y+3k-32=0,因为直线 l 被圆截得的弦长为 8,故半弦长为 4,又圆的半径为 5,则圆心(0,0)到直线 l 的距离为52-42=|3-32|2+1,解得 k=-34,此时直线 l 的方程为 3x+4y+15=0.13.(3,+)解析:当 xm 时,f(x)=x2-2mx+4m=(x-m)2+4m-m2.其所在抛物线的顶点为 P(m,4m-m2).函数 y=f(x)的图象与直线 x=m 的交点为 Q(m,m).(
10、1)点 P 在点 Q 的上方或与 Q 点重合时,即 4m-m2m,也就是 m(m-3)0 时,解得 0m3,又因为m0,所以 0m3.此时函数 f(x)的图象如图所示(实线部分),显然此时直线 y=b 与函数 f(x)的图象最多只有两个交点,不合题意;(2)点 P 在点 Q 的下方时,即 4m-m20 时,解得 m3,又因为 m0,所以 m3.此时函数 f(x)的图象如图所示(实线部分),显然此时直线 y=b 与函数图象最多可有三个交点,符合题意.所以 m3.14.-1 解析:g(x)=-2sin2x-2acosx-2a+1=2cos2x-2acosx-(2a+1).令 cosx=t,可得 t
11、-1,1,令 f(t)=2t2-2at-(2a+1),t-1,1,其图象为开口向上的抛物线,对称轴为 t=2,当2-1,即 a1,即 a2 时,函数 f(t)在区间-1,1上单调递减,故 f(t)min=2-2a-2a-1=1-4a,即 h(a)=-4a+1=12,得 a=18,与 a2 矛盾;当-121,即-2a2 时,故 f(t)min=2(2)2-2a2-(2a+1)=-22-2a-1,即 h(a)=-22-2a-1=12,变形可得 a2+4a+3=0,解得 a=-1(a=-3 舍去)综上可得,满足 h(a)=12的 a 的值为-1.15.解(1)当 a=0 时,函数 f(x)=-2x
12、在区间0,1上单调递减,f(x)min=f(1)=-2.(2)当 a0 时,函数 f(x)=ax2-2x 的图象的开口方向向上,且对称轴为直线 x=1.当11,即 a1 时,f(x)=ax2-2x 的图象对称轴在区间0,1内,f(x)在区间0,1上单调递减,在区间1,1上单调递增,f(x)min=f(1)=1 2=-1.当11,即 0a1 时,函数 f(x)=ax2-2x 的图象对称轴在区间0,1的右侧,f(x)在区间0,1上单调递减,f(x)min=f(1)=a-2.(3)当 a0 时,函数 f(x)=ax2-2x 的图象的开口方向向下,且对称轴 x=10,在 y 轴的左侧,函数 f(x)=
13、ax2-2x 在区间0,1上单调递减,f(x)min=f(1)=a-2.综上所述,f(x)min=-2,1,-1,1.16.解(1)f(x)=alnx+x2的定义域为(0,+),f(x)=+2x=22+.当 x1,e时,2x22,2e2.若 a-2,则 f(x)在区间1,e上非负(仅当 a=-2,x=1 时,f(x)=0),故 f(x)在区间1,e上单调递增,此时f(x)min=f(1)=1;若-2e2a-2,令 f(x)0,解得 1x0,解得-2xe,此时 f(x)单调递增,f(x)min=f(-2)=2ln(-2)2;若 a-2e2,f(x)在区间1,e上非正(仅当 a=-2e2,x=e
14、时,f(x)=0),故 f(x)在区间1,e上单调递减,此时 f(x)min=f(e)=a+e2.综上所述,当 a-2 时,f(x)min=1,相应的 x=1;当-2e2a-2 时,f(x)min=2ln(-2)2,相应的 x=-2;当 a-2e2时,f(x)min=a+e2,相应的 x=e.(2)不等式 f(x)(a+2)x 可化为 a(x-lnx)x2-2x.x1,e,lnx1x 且等号不能同时成立,lnx0,因而 a2-2-ln,x1,e,令 g(x)=2-2-ln(x1,e),则 g(x)=(-1)(+2-2ln)(-ln)2,当 x1,e时,x-10,lnx1,x+2-2lnx0,从而 g(x)0(仅当 x=1 时取等号),g(x)在区间1,e上是增函数,故 g(x)min=g(1)=-1,实数 a 的取值范围是-1,+).
