1、 知识点一频率与概率 1在相同条件下，大量重复进行同一试验，随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有稳定性我们把这个常数叫做随机事件A的概率记作P(A)2频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，但是频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常人们用概率来反映随机事件发生的可能性的大小有时也用频率来作为随机事件概率的估计值1思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)事件发生的频率与概率是相同的()(2)在大量的重复试验中，概率是频率的稳定值()(3)若随机事件A发生的概率为P(A)，则0P(A)1.()(4)6张奖券中只有一张有奖，甲、乙先后各抽取一张，则甲中奖的概率小于乙中奖
2、的概率()2李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学，下表是李老师这门课3年来的考试成绩分布：成绩人数90分以上428089分1727079分2406069分865059分5250分以下8经济学院一年级的学生王小明下学期将选修李老师的高等数学课，用已有的信息估计他得以下分数的概率：(1)90分以上的概率：0.07.(2)不及格(60分及以上为及格)的概率：0.1.解析：(1)0.07.(2)0.1.知识点二事件的关系与运算 3甲：A1、A2是互斥事件；乙：A1、A2是对立事件那么(B)A甲是乙的充分但不必要条件B甲是乙的必要但不充分条件C甲是乙的充要条件D甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必
3、要条件解析：对立事件一定互斥，互斥事件不一定对立4(人教A必修3P121第4题)一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是(D)A至多有一次中靶 B两次都中靶C只有一次中靶 D两次都不中靶解析：事件“至少有一次中靶”包括“中靶一次”和“中靶两次”两种情况，由互斥事件的定义，可知“两次都不中靶”与之互斥知识点三概率的基本性质 1概率的取值范围：0P(A)1.2必然事件的概率P(E)1.3不可能事件的概率P(F)0.4概率的加法公式如果事件A与事件B互斥，则P(AB)P(A)P(B)5对立事件的概率若事件A与事件B互为对立事件，则AB为必然事件P(AB)1，P(A)1P(B)5经
4、统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下表：排队人数012345概率0.10.160.30.30.10.04则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是0.74.解析：由表格知，至少有2人排队的概率P0.30.30.10.040.74.6袋中装有除颜色外完全相同的红、黄、蓝三种颜色的球各2个，无放回地从中任取3个球，则恰有2个球同色的概率为.解析：从装有红、黄、蓝三种颜色的球各2个的袋中无放回地任取3个球，共有C20(种)取法，其中恰有2个球同色的取法有CC12(种)，所以恰有2个球同色的概率为P.1频率与概率频率是随机的，不同的试验，得到频率也可能不同，概率是频
5、率的稳定值，反映了随机事件发生的可能性的大小2互斥与对立对立事件一定互斥，但互斥事件不一定对立3概率加法公式的注意点(1)要确定A，B互斥方可运用公式(2)A，B为对立事件时并不一定A与B发生的可能性相同，即P(A)P(B)可能不成立 考向一随机事件的关系判断 【例1】(1)把语文、数学、英语三本学习书随机地分给甲、乙、丙三位同学，每人一本，则事件A：“甲分得语文书”，事件B：“乙分得数学书”，事件C：“丙分得英语书”，则下列说法正确的是()AA与B是不可能事件BABC是必然事件CA与B不是互斥事件DB与C既是互斥事件也是对立事件(2)一袋中装有5个大小形状完全相同的小球，其中红球3个，白球2
6、个，从中任取2个小球，若事件“2个小球全是红球”的概率为，则概率是的事件是()A恰有一个红球 B两个小球都是白球C至多有一个红球 D至少有一个红球【解析】(1)“A，B，C”都是随机事件，可能发生，也可能不发生，故A，B选项都不正确；“A，B”可能同时发生，故“A”与“B”不互斥，C正确；“B”与“C”既不互斥，也不对立，D不正确(2)因为1，所以概率是的事件是“2个小球全是红球”的对立事件，应为：“一个红球一个白球”与“两个都是白球”的和事件，即为“至多有一个红球”【答案】(1)C(2)C1.互斥、对立事件的判别方法(1)在一次试验中，不可能同时发生的两个事件为互斥事件(2)两个互斥事件，若
7、有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件2解答本例(1)不要忽视了随机事件的所有可能情况，甲既可以分得语文书，也可以分得数学书、英语书(1)设A与B是互斥事件，A，B的对立事件分别记为，则下列说法正确的是(C)AA与互斥B.与互斥CP(AB)P(A)P(B)DP()1(2)从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数，其中：恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；至少有一个是奇数和两个都是奇数；至少有一个是奇数和两个都是偶数；至少有一个是奇数和至少有一个是偶数上述事件中，是对立事件的是(C)A BC D解析：(1)根据互斥事件的定义可知，A与，与都有可能同时发生，所以A与互斥，与互斥是不正确的；P(AB)
8、P(A)P(B)正确；与既不一定互斥，也不一定对立，所以D错误(2)从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数有3种情况：一奇一偶，两个奇数，两个偶数其中“至少有一个是奇数”包含一奇一偶或两个奇数这两种情况，它与两个都是偶数是对立事件又中的事件可以同时发生，不是对立事件考向二随机事件的频率与概率 【例2】已知国家某5A级大型景区对拥挤等级与每日游客数量n(单位：百人)的关系有如下规定：当n0,100)时，拥挤等级为“优”；当n100,200)时，拥挤等级为“良”；当n200,300)时，拥挤等级为“拥挤”；当n300时，拥挤等级为“严重拥挤”该景区对6月份的游客数量作出如图的统计数据：(1)下面
9、是根据统计数据得到的频率分布表，求出a，b的值，并估计该景区6月份游客人数的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；游客数量(单位：百人)0,100)100,200)200,300)300,400天数a1041频率b(2)某人选择在6月1日至6月5日这5天中任选2天到该景区游玩，求他这2天遇到的游客拥挤等级均为“优”的概率【解】(1)游客人数在0,100)范围内的天数共有15天，故a15，b，游客人数的平均值为50150250350120(百人)(2)从5天中任选两天的选择方法有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)
10、，(4,5)，共10种，其中游客等级均为“优”的有(1,4)，(1,5)，(4,5)，共3种，故所求概率为.事件A发生的频率是利用频数nA除以试验总次数n所得到的值，且随着试验次数的增多，它在A的概率附近摆动幅度越来越小，即概率是频率的稳定值，因此在试验次数足够的情况下，给出不同事件发生的次数，可以利用频率来估计相应事件发生的概率.某鲜花店将一个月(30天)某品种鲜花的日销售量与销售天数统计如下表，将日销售量在各区间的销售天数占总天数的值视为概率.日销售量(枝)(0,50)50,100)100,150)150,200)200,250销售天数3天5天13天6天3天(1)求这30天中日销售量低于1
11、00枝的概率；(2)若此花店在日销售量低于100枝的时候选择两天做促销活动，求这两天恰好是在日销售量低于50枝时的概率解：(1)设鲜花店日销售量为x枝，则P(0x50)，P(50x100)，所以这30天中日销售量低于100枝的概率P.(2)日销售量低于100枝共有8天，从中任选两天做促销活动，共有28种情况；日销售量低于50枝共有3天，从中任选两天做促销活动，共有3种情况所以所求事件发生的概率P.考向三互斥事件与对立事件的概率 【例3】某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16
12、件17件及以上顾客数(人)x3025y10结算时间(分钟/人)11.522.53已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率(将频率视为概率)【解】(1)由已知得x3045,25y1055，所以x15，y20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为1.9(分钟)(2)方法1：记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”
13、，A1，A2，A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”，将频率视为概率得P(A1)，P(A2)，P(A3).因为AA1A2A3，且A1，A2，A3是互斥事件，所以P(A)P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3).故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.方法2：记A表示事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，则A的对立事件为“一位顾客一次购物的结算时间超过2分钟”，由题表，知P().所以P(A)1P()1.故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.求复杂的互斥事件的概率一般有
14、两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和；二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由P(A)1P()求解.当题目涉及“至多”“至少”型问题时，多考虑间接法.某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A、B、C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率解：(1)P(A)，P(B)，P(C).故事件A，B，C的概率分别为，.(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖设“1张奖券中奖”这个事件为M，则MABC.A、B、C两两互斥，P(M)P(ABC)P(A)P(B)P(C).故1张奖券的中奖概率为.(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，P(N)1P(AB)1.故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.
