1、 南昌二中2021届上学期高三第四次考试数学（理）试卷命题人: 审题人:一、选择题(每小题5分,共60分)1设集合，则（ ）AB CD2已知是虚数单位，设，则复数对应的点位于复平面（ ）A第一象限B第二象限 C第三象限D第四象限3已知数列的前项和为， 则()AB CD4已知锐角满足则（ ）AB CD5.A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件6已知向量，若，则实数（ ）A B CD7已知正实数、满足，则最小值为（ ）A B4 CD38我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”，它在世界数学史上具有光辉的一页，堪称数学史上名垂百世的成就，而且一直启发和
2、指引着历代数学家们定理涉及的是数的整除问题，其数学思想在近代数学、当代密码学研究及日常生活都有着广泛应用，为世界数学的发展做出了巨大贡献，现有这样一个整除问题：将1到2020这2020个整数中能被3除余2且被5除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，那么此数列的项数为（ ）A133B134 C135D1369如图，已知圆中，弦的长为，圆上的点满足，那么在方向上的投影为（ ）A. BCD10定义在上的偶函数满足，且当时，函数是定义在上的奇函数，当时，则函数的零点的的个数是（ ）A9B10C11D1211设定义在上的函数的导函数为，若，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（ ）A B C
3、 D12已知函数（，），对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）ABCD二、填空题(每小题5分, 共20分)13若，则=_.15已知函数的最大值为3，的图象与y轴的交点坐标为，其相邻两条对称轴间的距离为，则_16若数列满足，则使得成立的最小正整数的值是_.三、解答题(共6小题,17题10分,18-22每小题12分,共70分)17已知，为正数，.（1）若，求函数的最小值；（2）若且，不全相等，求证：.19在中，设内角，的对边分别为，且.（1）若，成等比数列，求证：；（2）若（为锐角），.求中边上的高.20. 21. . 22已知函数（a为常数）.（）求函数的单调区间；（）若，求不等式的解集
4、；（）若存在两个不相等的整数，满足，求证：.高三第四次考试数学(理)参考答案1【答案】D【解析】集合A=1,2,5,B=2,4，C=xR|1x5，则AB=1,2,4,5，(AB)C=1,2,4.故选D.2【答案】A【详解】由已知，对应点为，在第一象限故选：A3【答案】B【详解】由已知得，即，而，所以.故选B.4【答案】C【详解】由已知，因为锐角，所以，即.故选：C.5.【答案】B必要性：当 a=3 b=1时 充分性不成立。 6【答案】C【详解】因为，所以，又，所以，即，解得.故选：.7【答案】D【详解】，则，于是整合得，当且仅当时取等号，于是的最小值为3故选:D8【答案】C【详解】由数能被3除
5、余2且被5除余2的数就是能被15除余2的数，故，由，得，故此数列的项数为：135故选:C9【答案】D【分析】由得O为的重心，A，B，C三点均匀分布在圆周上，为正三角形，根据向量的投影的定义可得选项.【详解】连接BC，由得O为的重心，A，B，C三点均匀分布在圆周上，为正三角形，所以，弦AB的长为，所以在方向上的投影为，故选：D. 10【答案】C【详解】由于，所以，函数的周期为，且函数为偶函数，由，得出，问题转化为函数与函数图象的交点个数，作出函数与函数的图象如下图所示，由图象可知，当时，则函数与函数在上没有交点，结合图像可知，函数与函数图象共有11个交点，故选C.11【答案】A【详解】解：设，则
6、，是上的增函数，又，的解集为，即不等式的解集为.故选A.12【答案】A【详解】解：结合题意，显然，由，得，故，在，递增，故（1），对任意，不等式恒成立，即，即，解得：，故选：A13【答案】2020【详解】因为，解得，所以，故答案为：202014.【答案】 415【答案】【详解】，因为函数的最大值为，所以，所以，由函数相邻两条对称轴间的距离为，可得周期，所以，所以,所以，又的图象与y轴的交点坐标为，所以，所以，又，所以，所以，所以.故答案为：16【答案】【详解】，数列是以为首项，为公比的等比数列，由得：，即，且，满足题意的最小正整数.故答案为：.17【答案】（1）最小值2（2）见解析【详解】解：
7、（1）因为，所以法1：由上可得：所以，当时，函数的最小值为2法2：当且仅当，即时取得最小值2（2）证明：因为，为正数，所以要证即证明就行了因为（当且仅当时取等号）又因为即且，不全相等，所以即19【答案】（1）见解析（2）解：（1）证明：因为，成等比数列，所以而（当且仅当时取等号）又因为为三角形的内角，所以（2）在中，因为，所以.又因为，所以由正弦定理，解得法1：由，得.由余弦定理，得.解得或（舍）所以边上的高.21.详解：22【答案】（）答案见解析；（）；（）证明见解析.【详解】（）的定义域为，（1）当时，恒有，故在上单调递增；（2）当时，由，得，故在上单调递增，在上单调递减，综上（1）（2）可知：当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；（）的定义域为，所以，且，而，；设，且当且仅当时取等号，所以在上单调递增，又因为时，所以当时，当时，故的解集为；（）由（）知时，在上单调递增，若，则不合题意；故，而在上单调递增，在上单调递减，若存在两个不相等的正数，满足，则，必有一个在上，另一个在，不妨设，则，又由（）知时，即，所以，因为，所以，又因为在上单调递减，所以，即.
