1、章末分层突破自我校对(xa)2(yb)2r2x2y2DxEyF0(D2E24F0)|O1O2|r1r2|O1O2|r1r2|r1r2|O1O2|r1r2(教师用书独具)求圆的方程求圆的方程主要是联系圆系方程、圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法解题一般地，当已知圆的圆心或半径的几何特征时，设圆的标准方程，并结合圆的几何性质求解；当已知圆上三个点时，设圆的一般方程；当所求圆经过直线与圆、圆与圆的交点时，常利用圆系方程来解答过两个已知圆x2y2D1xE1yF10和x2y2D2xE2yF20的交点的圆系方程为x2y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)0(1)求圆心在直线3x4y10上，且
2、经过两圆x2y2xy20与x2y25的交点的圆的方程. 【精彩点拨】解答本题可利用过两圆交点的圆系方程求解，也可求出两交点坐标，再利用待定系数法求解【规范解答】法一：设所求圆为x2y2xy2(x2y25)0，化为一般式，得x2y2xy0.故圆心坐标为，代入直线3x4y10，得.再把代入所设方程，得x2y22x2y110，故所求圆的方程为x2y22x2y110.法二：解方程组得两圆的交点为A(1，2)和B(2，1)设所求圆的方程为x2y2DxEyF0.A，B在圆上，且圆心在直线3x4y10上，解得所求圆的方程是x2y22x2y110.再练一题1圆心在直线5x3y8上，且圆与两坐标轴均相切，求此圆
3、的标准方程【解】设所求圆的标准方程为(xx0)2(yy0)2r2(r0)因为圆与两坐标轴均相切，故圆心坐标满足x0y00或x0y00.又圆心在直线5x3y8上，所以5x03y08.由得由得所以圆心坐标为(4,4)或(1，1)，相应的半径为r4或r1，故所求圆的标准方程为(x4)2(y4)216或(x1)2(y1)21.直线与圆、圆与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系是高考考查的重点，切线问题更是重中之重，判断直线与圆的位置关系以几何法为主，解题时应充分利用圆的几何性质以简化解题过程2解决圆与圆的位置关系的关键是抓住它的几何特征，利用两圆圆心距与两圆半径的和、差的绝对值的大小来确定两圆的位置关系
4、，以及充分利用它的几何图形的形象直观性来分析问题已知圆M：(x1)2(y1)24，直线l过点P(2,3)且与圆M交于A，B两点，且|AB|2，求直线l的方程【精彩点拨】分斜率存在与不存在两种情况：(1)(2)【规范解答】(1)当直线l存在斜率时，设直线l的方程为y3k(x2)，即kxy32k0.示意图如图，作MCAB于C.在RtMBC中，|BC|AB|，|MB|2，故|MC|1，由点到直线的距离公式得1，解得k.故直线l的方程为3x4y60.(2)当直线l的斜率不存在时，其方程为x2，且|AB|2，所以符合题意综上所述，直线l的方程为3x4y60或x2.再练一题2已知圆C与圆x2y22x0相外
5、切，并且与直线xy0相切于点Q(3，)，求圆C的方程【解】设所求圆C的方程为(xa)2(yb)2r2，圆心C(a，b)与Q(3，)的连线垂直于直线xy0，且斜率为.由题意得解得或所求圆的方程为(x4)2y24或x2(y4)236.轨迹问题1.求动点的轨迹方程是解析几何中的重要题型，解答这类问题常用的方法有：直接法、定义法、消元法、代数法等2求轨迹方程的步骤：(1)建系设点；(2)列出动点满足的轨迹条件；(3)把轨迹条件坐标化；(4)化简整理；(5)检验在检验中要排除不符合要求的点，或者补充上漏掉的部分如图41，圆O1与圆O2的半径都是1，|O1O2|4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM，
6、PN，(M，N分别为切点)，使得|PM|PN|，试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程图41【精彩点拨】由PMO1与PNO2均为直角三角形表示出切线长|PM|与|PN|，建立坐标系后，设出P点坐标即可由等式|PM|PN|求出P点的轨迹方程【规范解答】如图，以O1，O2所在直线为x轴，线段|O1O2|的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，则O1(2,0)，O2(2,0)，设动点P的坐标为(x，y)在RtPMO1中，|PM|2|PO1|21，在RtPNO2中，|PN|2|PO2|21.又因为|PM|PN|，所以|PM|22|PN|2，即|PO1|212(|PO2|21)，即|PO1|212|PO2
7、|2，所以(x2)2y212(x2)2y2，整理得x2y212x30，即为所求点P的轨迹方程再练一题3等腰三角形的顶点是A(4,2)，底边一个端点是B(3,5)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么. 【解】设另一端点C的坐标为(x，y) .依题意，得|AC|AB|.由两点间距离公式，得，整理得(x4)2(y2)210.这是以点A(4,2)为圆心，以为半径的圆，如图所示，又因为A、B、C为三角形的三个顶点，所以A、B、C三点不共线即点B、C不能重合且B、C不能为圆A的一直径的两个端点因为点B、C不能重合，所以点C不能为(3,5)又因为点B、C不能为一直径的两个端点，所以4.且2，即点
8、C不能为(5，1)故端点C的轨迹方程是(x4)2(y2)210(除去点(3,5)和(5，1)综上，它的轨迹是以点A(4,2)为圆心，为半径的圆，但除去(3,5)和(5，1)两点.数形结合思想1.数形结合思想在解析几何中的应用极其广泛，利用数形结合的思想解题，能把抽象的数量关系与直观的几何图形建立起关系，从而使问题在解答过程中更加形象化、直观化，而本章的相关知识整体体现了这种思想，即把几何问题代数化，同时利用代数(方程)的思想反映几何问题2(1)形如u的最值问题，可借助于图形分析转化为直线斜率的最值问题；(2)形如taxby的最值问题，可借助于图形分析转化为直线斜率的最值问题；(3)形如(xa)
9、2(yb)2的最值问题，可借助于图形分析转化为动点到定点距离的最值问题已知圆C：(x2)2y21，P(x，y)为圆C上任一点(1)求的最大值与最小值；(2)求x2y的最大值与最小值【精彩点拨】利用式子与x2y的几何意义求解【规范解答】(1)显然可以看作是点P(x，y)与点Q(1,2)连线的斜率令k，如图所示，则其最大、最小值分别是过点Q(1,2)的圆C的两条切线的斜率对上式整理得kxyk20，1，k.故的最大值是，最小值是.(2)令ux2y，则u可视为一组平行线，当直线和圆C有公共点时，u的范围即可确定，且最值在直线与圆相切时取得依题意，得1，解得u2，故x2y的最大值是2，最小值是2.再练一
10、题4若实数x，y满足x2y28x6y160，求xy的最小值【解】原方程化为(x4)2(y3)29，设xyb，则yxb，可见xy的最小值就是过圆(x4)2(y3)29上的点作斜率为1的平行线中，纵截距b的最小值，此时，直线与圆相切，由点到直线的距离公式得3.解得b31或b31，所以xy的最小值为31.1圆(x1)2y22的圆心到直线yx3的距离为()A1B2C.D2【解析】圆(x1)2y22的圆心坐标为(1,0)，由yx3得xy30，则圆心到直线的距离d.【答案】C2圆x2y22x8y130的圆心到直线axy10的距离为1，则a()ABC.D2【解析】由圆的方程x2y22x8y130得圆心坐标为
11、(1,4)，由点到直线的距离公式得d1，解之得a.【答案】A3已知圆M：x2y22ay0(a0)截直线xy0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x1)2(y1)21的位置关系是()A内切B相交C外切D相离【解析】法一：由得两交点为(0,0)，(a，a)圆M截直线所得线段长度为2，2.又a0，a2.圆M的方程为x2y24y0，即x2(y2)24，圆心M(0,2)，半径r12.又圆N：(x1)2(y1)21，圆心N(1,1)，半径r21，|MN|.r1r21，r1r23,1|MN|0)x2(ya)2a2(a0)，M(0，a)，r1a.依题意，有，解得a2.以下同法一【答案】B4已知aR方程a2x2
12、(a2)y24x8y5a0表示圆，则圆心坐标是_，半径是_【解析】由二元二次方程表示圆的条件可得a2a2，解得a2或1.当a2时，方程为4x24y24x8y100，即x2y2x2y0，配方得2(y1)20，不表示圆；当a1时，方程为x2y24x8y50，配方得(x2)2(y4)225，则圆心坐标为(2，4)，半径是5.【答案】(2，4)55设直线yx2a与圆C：x2y22ay20相交于A，B两点，若|AB|2，则圆C的面积为_. 【解析】圆C：x2y22ay20化为标准方程是C：x2(ya)2a22，所以圆心C(0，a)，半径r.|AB|2，点C到直线yx2a即xy2a0的距离d，由勾股定理得22a22，解得a22，所以r2，所以圆C的面积为224.【答案】4
