1、第5课时等差数列的前n项和(1) 教学过程一、 问题情境数学家高斯10岁时,有一次老师出了一道题目:“计算:1+2+3+100.”正当大家在一个一个相加时,高斯给出了答案:“5050.”老师问高斯:“你是如何算出答案的?”高斯回答:“因为1+100=101,2+99=101,50+51=101,所以10150=5050.”二、 数学建构(一) 生成概念问题1高斯的老师提出计算这一串数的和本质上是什么数列求和?(结合已学知识,引导学生说出:本质上是等差数列求和)问题2高斯使用的方法,其实是发现了这个数列哪些项的和具有特殊性?(引导学生看到:a1+a100=a2+a99=a3+a98=)问题3在一
2、般的等差数列中,当满足什么条件时,这种两项和相等的关系仍然存在?(引导学生说出等差数列的性质:若m+n=p+q,则有am+an=ap+aq)问题4设等差数列的前n项和为Sn,你能用高斯的方法求出等差数列的前n项和吗?(从特殊到一般,让学生经历数学发现的完整过程)通过讨论,结合前面具体问题,给出等差数列前n项和公式的推导过程以及前n项和公式.因为Sn=a1+a2+a3+an,把各项的次序反过来,Sn又可以写成Sn=an+an-1+an-2+a1,两式相加,得2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+(an+a1).因为1+n=2+(n-1)=3+(n-2)=n+1,所以a1
3、+an=a2+an-1=a3+an-2=an+a1,所以2Sn=n(a1+an),即有Sn=.(二) 理解概念 1. 强化推导方法“倒序相加法”的使用,同时,指出这一推导思想也是两项和性质的应用. 2. 根据等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d,又可以得到Sn=na1+.(围绕基本量a1和d) 3. 整理Sn=na1+,又可以得到Sn=n2+n,所以等差数列的前n项和公式是一个无常数项的一元二次函数形式.(三) 巩固概念问题5请说出高斯的老师需要计算的这个数列的前n项和.这个数列的前n项和Sn=或Sn=n1+=问题6(根据教材P44练习第2题改编)(1) 已知等差数列中,a1=7,a10
4、=-43,则S10=-180;(2) 已知等差数列中,a1=100,d=-2,则S50=2550.三、 数学运用【例1】(教材P43例2)在等差数列中,已知d=,an=,Sn=-,求a1及n.3(见学生用书课堂本P25)处理建议利用等差数列的通项公式及前n项和公式建立等量关系,让学生应用公式进行计算,其中体现了方程的思想.规范板书解由题意得由得a1=-n+2,代入后化简得n2-7n-30=0,所以n=10或n=-3(舍去),从而a1=-3.题后反思 利用等差数列的首项和公差(一般称为基本量),通过解方程或方程组进行计算是等差数列的基本运算方式; 在等差数列的通项公式与前n项和公式中,含有a1,
5、d,n,an,Sn五个量,只要已知其中的三个量,就可以求出余下的两个量.变式在等差数列中,已知a2+a5=19,S5=40,求a10,S10.处理建议让学生先讨论,运用公式进行计算,教师在学生中交流,了解学生的思考过程,投影学生的计算过程,纠正可能出现的错误.规范板书解设这个等差数列的首项为a1,公差为d,由已知得解得a1=2,d=3.所以a10=a1+9d=29,S10=10a1+d=155.【例2】若等差数列的前10项和为100,前100项和为10,求该等差数列的前110项和.4(见学生用书课堂本P26)处理建议处理等差数列的问题,找到基本量就能解决,两个条件刚好可以提供求解基本量的二元方
6、程;讲解时,可以先由学生讨论,尝试进行计算;教师在学生中交流,了解学生的思考过程,投影学生的不同的计算方法及过程,纠正可能出现的错误.规范板书解法一设等差数列的首项为a1,公差为d,由已知得10-,整理得d=-,代入解得a1=.所以S110=110a1+d=110+=-110.题后反思在与等差数列相关的计算问题中,a1,d,n,an,Sn这五个量可知三求二,其中a1,d是基本量,利用它们列方程或方程组是处理问题的最基础的手段.解法二设等差数列的前n项和为Sn=an2+bn,则由已知得解得a=-,b=.所以Sn=-n2+n,所以S110=-1102+110=-110.题后反思等差数列前n项和公式
7、Sn是关于n的无常数项的一元二次函数式,利用这个公式特征进行代定系数法求解,比解法一中用基本量公式计算简洁,简化了计算.解法三设等差数列的前n项和为Sn,则显然数列S10,S20-S10,S30-S20,S100-S90,S110-S100成等差数列,设其公差为D.这个新数列的前10项和为S10+(S20-S10)+(S30-S20)+(S100-S90)=10S10+D,即S100=10S10+45D,解得D=-22.S110-S100是这个新等差数列中的第11项,所以S110-S100=S10+(11-1)D=-120.所以S110=-120+S100=-110.题后反思 利用等差数列前n
8、项和公式Sn的性质,整体考虑数列,回避了数列内部基本量的求解,直接就Sn本身解决问题; 思考:在等差数列中,其前n项和为Sn,那么Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,成等差数列吗?(成等差数列,且公差为n2d,证明略)解法四设等差数列的首项为a1,公差为d,前n项和为Sn,令-得(p-q)a1+d=-(p-q).又pq,则a1+d=-1,所以Sp+q=(p+q)a1+d=(p+q)(-1).所以S110=-110.题后反思在等差数列的前n项和Sn中,若Sp=q,Sq=p(pq),则有Sp+q=-(p+q).记住数列中一些特殊的结论,有利于我们突破题中条件的限制,使思考更深入.四、 课堂练习 1
9、. 提示 2. 已知等差数列中,S10=120,那么a1+a10=24.提示S10=120,所以a1+a10=24. 3. 在等差数列0,中,S20=;若Sn=11,则n=12.提示由题意可得a1=0,d=,则S20=200+=. Sn=11, =11,解得n=12或n=-11(舍去). 4. 在等差数列中,若S4=1,S8=4,则a17+a18+a19+a20=9.提示S4=1,S8-S4=3,而S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12,S20-S16成等差数列,即1,3,5,7,9,所以a17+a18+a19+a20=S20-S16=9.五、 课堂小结 1. 等差数列的前n项和公式的推导方法:倒序相加法. 2. 在等差数列的通项公式与前n项和公式中,含有a1,d,n,an,Sn五个量,可以知三求二. 3. 利用等差数列的首项和公差(一般称为基本量),通过列方程或方程组进行计算是等差数列的基本运算方式.
