1、4.4 两角和与差、二倍角的公式(三)巩固夯实基础 一、自主梳理 1.化简三角函数式是为更清楚地显示式中所含量之间的关系,以便于应用. 化简三角函数式的要求: (1)能求出值的应求出值. (2)使三角函数种数、项数尽量少;分母尽量不含三角函数;被开方式尽量不含三角函数. 2.恒等式的证明,包括有条件的恒等式和无条件的恒等式两种. (1)无条件的等式证明,常用综合法(执因索果)和分析法(执果索因),证明的形式有化繁为简、左右归一、变更论证等,不论采用什么证明方式和方法,都要认真分析等式两边三角函数式的特点、角度和函数关系,找出差异,寻找证明的突破口. (2)有条件的等式证明,常常先观察条件式及欲
2、证式中左、右两边三角函数式的区别及联系,灵活使用条件,变形得证. 二、点击双基1.已知tan和tan(-)是方程ax2+bx+c=0的两个根，则a、b、c的关系是( )A.b=a+c B.2b=a+c C.c=b+a D.c=ab解析: tan=1. -=1-,-b=a-c. c=a+b.答案:C2.在ABC中,若tanB=式,则这个三角形是( )A.锐角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形解析:tanB=, =. 2sinBsinC=cosCcosB+sinCsinB. cosCcosB-sinCsinB=0,即cos(C+B)=0. cosA=0. 0A,A=
3、.故选B.答案:B3.设为第四象限的角,若=,则tan2=_.解析：= =. 2cos2+cos2=, 2cos2-1+cos2=. cos2=. 2k-2k, 4k-20, 2为第四象限的角. sin2=-=-, tan2=-.答案：-4.已知cos-cos=,sin-sin=,则cos(-)=_.解析:(cos-cos)2=,(sin-sin)2=. 两式相加,得2-2cos(-)=. cos(-)=.答案:诱思实例点拨 【例1】已知在ABC中,sinA(sinB+cosB)-sinC=0,sinB+sin2C=0,求角A、B、C的大小.剖析:欲求角A、B、C,需求A、B、C的某一个三角函
4、数值,利用方程的思想易求得A、B、C的值.解:由sinA(sinB+cosB)-sinC=0, 得sinAsinB+sinAcosB-sin(A+B)=0. sinAsinB+sinAcosB-sinAcosB-cosAsinB=0, 即sinB(sinA-cosA)=0. B(0,), sinB0,从而cosA=sinA. 由A(0,),知A=. 从而B+C=. 由sinB+cos2C=0,得 sinB+cos2(-B)=0, 即sinB-sin2B=0, 亦即sinB-2sinBcosB=0. 此得cosB=,B=,C=. A=,B=,C=.讲评:本题主要考查三角形及三角函数的基本知识,关
5、键是运用sin(A+B)=sinC.【例2】 求证：-2cos(+)=.剖析:先转换命题，只需证sin(2+)-2cos(+)sin=sin，再利用角的关系：2+=(+)+，(+)-=可证得结论.证明:sin(2+)-2cos(+)sin =sin(+)+-2cos(+)sin =sin(+)cos+cos(+)sin-2cos(+)sin =sin(+)cos-cos(+)sin =sin(+)-=sin. 两边同除以sin得 -2cos(+)=.讲评:证明三角恒等式，可先从两边的角入手变角，将表达式中出现了较多的相异的角朝着我们选定的目标转化，然后分析两边的函数名称变名，将表达式中较多的函
6、数种类尽量减少，这是三角恒等变形的两个基本策略.【例3】 求函数y=+sin2x的最小值.剖析:要求最值,需先进行三角恒等变形,化为一个角的一个三角函数形式.解法一:因为sin3xsin3x+cos3xcos3x=(sin3xsinx)sin2x+(cos3xcosx)cos2x =(cos2x-cos4x)sin2x+(cos2x+cos4x)cos2x =cos2x+(cos2x-sin2x)cos4x =(cos2x+cos2xcos4x) =cos2x(1+cos4x)=cos32x, y=+sin2x =cos2x+sin2x =sin(2x+). 当sin(2x+)=-1时,y取最
7、小值-.解法二:(只需记住三倍角的正、余弦角公式,可避开积化和差公式,而较方便地获解) 因为sin3xsin3x+cos3xcos3x =(3sinx-4sin3x)sin3x+(4cos3x-3cosx)cos3x =3sin4x-3cos4x+4cos6x-4sin6x =3(sin2x+cos2x)(sin2x-cos2x)+4(cos2x-sin2x)(cos4x+cos2xsin2x+sin4x) =-3cos2x+4cos2x(cos2x+sin2x)-sin2xcos2x =-3cos2x+4cos2x(1-sin2x) =-3cos2x+4cos2x(+cos22x) =cos32x. 以下同解法一.讲评:由本例可看出,求三角函数的最值,仍离不开三角函数式的恒等变形,这就要求熟练掌握三角函数恒等变形的常用方法,而关键还在于熟记常用的三角公式.
