1、第二章 圆锥曲线与方程2.2 双曲线2.2.2 双曲线的简单几何性质A级基础巩固一、选择题1双曲线2x2y28的实轴长是()A2 B2 C4 D4解析：双曲线方程可变形为1，所以a24，a2，从而2a4.答案：C2等轴双曲线的一个焦点是F1(6，0)，则其标准方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：由已知可得c6，所以 abc3，所以 双曲线的标准方程是1.答案：D3下列双曲线中离心率为的是()A.1 B.1C.1 D.1解析：由e得e2，所以 ，则，所以 .即a22b2.答案：B4已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，则C的渐近线方程为()Ayx ByxCyx Dyx解析：因为双曲线
2、1的焦点在x轴上，所以双曲线的渐近线方程为yx.又离心率为e ，所以，所以双曲线的渐近线方程为yx.答案：C5双曲线C：1(a0，b0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于()A2 B2 C4 D4解析：双曲线的一条渐近线方程为0，即bxay0，焦点(c，0)到该渐近线的距离为，故b，结合2，c2a2b2得c2，则双曲线C的焦距为2c4.答案：C二、填空题6已知双曲线1的离心率为2，焦点与椭圆1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为_，渐近线方程为_解析：因为椭圆的焦点坐标为(4，0)，(4，0)，所以在双曲线中，c4，且满足2，故a2，b2，所以双曲线的渐近线方程为yxx.答案：(
3、4，0)，(4，0)yx7过双曲线x21的左焦点F1，作倾斜角为的直线AB，其中A，B分别为直线与双曲线的交点，则|AB|的长为_解析：双曲线的左焦点为F1(2，0)，将直线AB方程：y(x2)代入双曲线方程得8x24x130，显然0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以 x1x2，x1x2，所以 |AB| 3.答案：38双曲线1的离心率e(1，2)，则k的取值范围是_解析：双曲线方程可变为1，则a24，b2k，c24k，e，又因为e(1，2)，则12，解得12k0答案：(12，0)三、解答题9求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)过点(3，)，离心率e；(2)中心在原点，焦点F1，F
4、2在坐标轴上，实轴长和虚轴长相等，且过点P(4，)解：(1)若双曲线的焦点在x轴上，设其标准方程为1(a0，b0)因为双曲线过点(3，)，则1.又e，故a24b2.由得a21，b2，故所求双曲线的标准方程为x21.若双曲线的焦点在y轴上，设其标准方程为1(a0，b0)同理可得b2，不符合题意综上可知，所求双曲线的标准方程为x21.(2)由2a2b得ab，所以 e ，所以可设双曲线方程为x2y2(0)因为双曲线过点P(4，)，所以 1610，即6.所以 双曲线方程为x2y26.所以 双曲线的标准方程为1.10设双曲线C：y21(a0)与直线l：xy1相交于两个不同的点A、B.(1)求实数a的取值
5、范围；(2)设直线l与y轴的交点为P，若 ，求a的值解：(1)将yx1代入双曲线方程y21(a0)中得(1a2)x22a2x2a20.依题意所以 0a且a1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0，1)，因为，所以(x1，y11)(x2，y21)由此得x1x2.由于x1，x2是方程(1a2)x22a2x2a20的两根，且1a20，所以x2，x.消去x2得.由a0，解得a.B级能力提升1若0ka2，则双曲线1与1有()A相同的虚线 B相同的实轴C相同的渐近线 D相同的焦点解析：因为0ka2，所以 a2k0.对于双曲线1，焦点在x轴上且c2a2kb2ka2b2.同理双曲线1焦点在x轴上
6、且c2a2b2，故它们有共同的焦点答案：D2已知F1，F2是双曲线1(a0，b0)的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点P在双曲线上，则双曲线的离心率是_解析：如图，连接F2P，P是MF1中点，则PF2MF1，在正三角形MF1F2中，|F1F2|2c，则|PF1|c，|PF2|c.因为P在双曲线上，所以 |PF2|PF1|2a而cc2a所以 1.答案：13直线l：ykx1与双曲线C：2x2y21的右支交于不同的两点A，B.(1)求实数k的取值范围；(2)是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由解：(1)将直线l的方程ykx1代入双曲线C的方程2x2y21后，整理，得(k22)x22kx20，依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，所以 解得k的取值范围为.(2)设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则由，得x1x2，x1x2.假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过以曲线C的右焦点F(c，0)，则由FAFB，得(x1c)(x2c)y1y20.即(x1c)(x2c)(kx11)(kx21)0.整理，得(k21)x1x2(kc)(x1x2)c210.把式及c代入式，化简，得5k22k60.解得k或k(2，)(舍去)可知存在k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点
