1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。专项强化训练(四)平行、垂直的综合问题1.(2015济南模拟)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,ADAB,ABC是正三角形,AC与BD的交点M恰好是AC的中点,N为线段PB的中点,G在线段BM上,且=2.(1)求证:ABPD.(2)求证:GN平面PCD.【证明】(1)因为PA平面ABCD,所以PAAB,又因为ADAB,PAAD=A,所以AB平面PAD,又PD平面PAD,所以ABPD.(2)因为ABC是正三角形,且M是AC的中点,所以BMAC.在直角三角形
2、AMD中,MAD=30,所以MD=AD.在直角三角形ABD中,ABD=30,所以AD=BD.所以MD=BD.又因为=2,所以BG=GD,又N为线段PB的中点,所以GNPD,又GN平面PCD,PD平面PCD,所以GN平面PCD.2.(2015太原模拟)如图所示,ABCD为矩形,DA平面ABE,AE=EB=BC=2,F为CE上的点,且BF平面ACE,AC和BD交于点G.(1)求证:AE平面BFD.(2)求三棱锥C-BFG的体积.【解析】(1)由题意可得G是AC的中点,因为BF平面ACE,所以BFCE,又BC=BE,所以F是CE的中点,所以FGAE,又FG平面BFD,AE平面BFD,所以AE平面BF
3、D.(2)由矩形ABCD知ADBC,因为AD平面ABE,所以BC平面ABE,所以BCAE.因为BF平面ACE,所以BFAE,又BCBF=B,所以AE平面BCE.由(1)知G是AC的中点,F是CE的中点,所以FGAE且FG=AE=1.所以FG平面BCE.在RtBCE中,BF=CE=CF=,所以SCFB=1.所以VC-BFG=VG-BCF=SCFBFG=11=.【加固训练】(2015长春模拟)在如图所示的几何体中,ABC是边长为2的正三角形.若AE=1,AE平面ABC,平面BCD平面ABC,BD=CD,且BDCD.(1)求证:AE平面BCD.(2)求三棱锥D-BCE的体积.【解析】(1)取BC的中
4、点M,连接DM,AM,因为BD=CD,所以DMBC,又因为平面BCD平面ABC,BC为交线,所以DM平面ABC,因为AE平面ABC,所以AEDM,又因为AE平面BCD,DM平面BCD,所以AE平面BCD.(2)由(1)知AEDM,在BCD中,CDBD,CD=BD,所以MD=BC=1=AE,所以四边形AMDE是平行四边形,所以DEAM,且DE=AM=,因为DM平面ABC,所以DMAM.又AMBC,BCDM=M,所以AM平面BCD,所以DE平面BCD,则VD-BCE=VE-BCD=SBCDDE=BCDMDE=21=.3.(2015天津模拟)如图,在边长为1的等边ABC中,D,E分别是AB,AC边上
5、的点,AD=AE,F是BC的中点,AF与DE交于点G,将ABF沿AF折起,得到如图所示的三棱锥A-BCF,其中BC=.(1)证明:DE平面BCF.(2)证明:CF平面ABF.(3)当AD=时,求三棱锥F-DEG的体积VF-DEG.【解析】(1)在等边ABC中,AD=AE,所以=,在折叠后的三棱锥A-BCF中也成立,所以DEBC.因为DE平面BCF,BC平面BCF,所以DE平面BCF.(2)在等边ABC中,F是BC的中点,所以AFFC,BF=CF=.因为在三棱锥A-BCF中,BC=,所以BC2=BF2+CF2,CFBF.因为BFAF=F,所以CF平面ABF.(3)由(1)可知GECF,结合(2)
6、可得GE平面DFG.VF-DEG=VE-DFG=DGFGGE=()=.【加固训练】(2015佛山模拟)如图1,在直角梯形ABCD中,ADC=90,CDAB,AD=CD=AB=2,点E为AC中点,将ADC沿AC折起,使平面ADC平面ABC,得到几何体D -ABC,如图2所示.(1)求证:ADBC.(2)在CD上找一点F,使AD平面EFB.【解析】(1)在题图1中,可得AC=BC=2,从而AC2+BC2=AB2,所以ACBC.因为平面ADC平面ABC,平面ADC平面ABC=AC,BC平面ABC,所以BC平面ADC.又AD平面ADC,所以ADBC.(2)取CD的中点F,连接EF,BF,在ACD中,因
7、为E,F分别为AC,DC的中点,所以ADEF,EF平面EFB,AD平面EFB,所以AD平面EFB.4.已知等边ABC的边长为3,点D,E分别在边AB,AC上,且满足=,将ADE沿DE折叠到A1DE的位置,使平面A1DE平面BCED,连接A1B,A1C.(1)证明:A1D平面BCED.(2)在线段BD上是否存在点M,使得CM平面A1DE?若存在,求出BM的长;若不存在,说明理由.【解题提示】(1)由平面A1DE平面BCED,只需证明DEA1D即可.(2)过C作BD边的垂线,垂足为所求,然后证明确认.【解析】(1)在ABC中,=,得AD=CE=1,BD=AE=2,在ADE中,A=60,AD=1,A
8、E=2,由余弦定理得DE=,于是AE2=AD2+DE2,故ADE为直角三角形,且DEAD,折叠后DEA1D.因为平面A1DE平面BCED,平面A1DE平面BCED=DE,A1D平面A1DE,所以A1D平面BCED.(2)过C作BD边的垂线,垂足即为所求的点M.证明如下:由(1)可知DEAB,于是DECM,因为CM平面A1DE,DE平面A1DE,所以CM平面A1DE,因为ABC为等边三角形,且CMBD,所以BM=BA=.5.如图是某直三棱柱被削去上底后所得几何体的直观图、侧视图、俯视图,在直观图中,M是BD的中点,侧视图是直角梯形,俯视图是等腰直角三角形,有关数据如图所示.(1)求该几何体的体积
9、.(2)求证:EM平面ABC.(3)试问在棱DC上是否存在点N,使MN平面BDE?若存在,确定点N的位置;若不存在,请说明理由.【解题提示】(1)根据直观图与三视图的关系,确定相关线段的长度及线线、线面的位置关系,确定几何体的高.(2)取BC的中点G,证明四边形AGME为平行四边形,利用线面平行的判定定理证明.(3)假设在棱DC上存在点N,使MN平面BDE,通过相关的性质及相似三角形的性质确定N点的位置.【解析】由题意知,EA平面ABC,DC平面ABC,AEDC,AE=2,DC=4,ABAC且AC=AB=2.(1)因为EA平面ABC,所以EAAB,又因为ABAC,EAAC=A,所以AB平面AC
10、DE.所以四棱锥B-ACDE的高h=AB=2,又梯形ACDE的面积S=6.所以VB-ACDE=Sh=4. (2)取BC的中点G,连接EM,MG,AG,因为M为DB的中点,所以MGDC,且MG=DC.所以MGAE,MG=AE,所以四边形AGME为平行四边形,所以EMAG.又EM平面ABC,AG平面ABC,所以EM平面ABC.(3)由(2)知EMAG,又因为平面BCD底面ABC,AGBC,所以AG平面BCD,EM平面BCD,又因为EM平面BDE,所以平面BDE平面BCD,在平面BCD中,过M作MNDB交DC于点N,所以MN平面BDE,此时点N即为所求点.因为DMNDCB,所以=,即=,所以DN=3,即DN=DC,所以,边DC上存在点N,当满足DN=DC时,MN平面BDE.关闭Word文档返回原板块
