1、第二章 导数及其应用 数列 B卷 能力提升-2021-2022学年高二数学北师大版（2019）选择性必修二单元测试AB卷【满分：100分】一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知函数在上为单调递增函数，则实数的取值范围为()A.B.C.D. 2.曲线在点处的切线与直线垂直，则点的坐标为()A.B.C. D. 3.过原点作曲线的切线，则切线斜率为()A.B.C. eD. 4.过函数上一点的切线方程为（ ）A. B. C. D.或5.函数的最大值为（ ）A. B. C. D. 6.曲线在点的切线的方程为( )A.B.C.D.7.
2、函数的最大值为( )A.32B.27C.16D.408.设函数是奇函数的导函数，时，则使得成立的的取值范围是（ ）A.B.C.D.9.设函数，若存在的极值点满足，则m的取值范围是( )A.B.C.D.10.定义在R上的偶函数的导函数为，若对任意，都有，则使成立的实数x的取值范围是( )A.B.C.D.二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知函数的图象在处的切线方程是，则等于_.12.函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则k的取值范围是_.13.现有一倒放圆锥形容器，该容器深24 m，底面直径为6 m，水以的速度流入，则当水流入时间为1 s时，水面上升的速度为_m/s.
3、14.已知正四棱锥内接于半径为1的球，则当此正四棱锥的体积最大时，其高为_.15.设函数，若函数的极小值不大于，则实数a的取值范围是_.三、解答题：本题共2小题，共25分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16. （10分）已知函数.(1)当时,求曲线在点处的切线方程；(2)求函数的极值17. （15分）已知.（1）求函数的单调区间；（2）设，求证：.答案以及解析1.答案：D解析：，由题意可得在上恒成立，所以，解得.故m的取值范围为.故选：D.2.答案：B解析：曲线在点A处的切线与直线垂直，切线的斜率，函数的导数为，由，解得，此时，即切点，故选:B.3.答案：D解析：设切点坐标为， ，切
4、线的斜率是 ，切线的方程为 ，将 代入可得 ， 切线的斜率是 。故选 : D4.答案：D解析：设切点，由得，切线的斜率，切线方程为，过，解得或，代入整理可得所求切线方程为或.综上所述答案选择：D.5.答案：A解析：函数的定义域为，将函数求导得，函数在区间上单调增，在上单调递减，所以当时，函数有最大值.故选A.6.答案：B解析：由题意可得，即，切线方程为.综上所述，本题的正确答案为B.7.答案：A解析：因为，所以当时，；当时，.因此，的最大值为.8.答案：A解析：令，则对于恒成立，所以当时，单调递减，又因为，所以当时，；此时，所以；当时，此时，所以；又因为是奇函数，所以时，；当时，；因为，所以当
5、时，解得；当时，解得；综合得成立的的取值范围为，故选：A.9.答案：C解析：由题意得，当，即时，取得极值.若存在的极值点满足，则存在，使成立，问题等价于存在使不等式成立，因为的最小值为，所以只要成立即可，即，解得或.故选C.10.答案：D解析：令，则，所以当时，则函数在上单调递减.因为是偶函数，所以是偶函数，则函数在上单调递增.不等式可化为，即，所以，解得或，故选D.11.答案：0解析：因为，所以.12.答案：解析：函数的定义域为，.令，因为，可得，列表如下：x1-0+极小值所以函数在处取得极小值.由于函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则解得，故实数k的取值范围是.13.答案：解析：
6、设注入水后水面高度为h，水面所在圆的半径为r，则，即.因为水的体积为，即，所以当时，即水面上升的速度为.14.答案：解析：由球的几何性质可设四棱锥的高为h，从而，令，则，当时，单调递增；当时，单调递减，所以当时，取得最大值，即体积最大.15.答案：解析：由题可知，则.由，可知当时，单调递增；当时，单调递减，所以函数在处取得极小值，所以，解得.16.答案：(1)当时,在点处的切线方程为,即 (2)由,知：当时,函数为上的增函数,函数无极值；当时,由,解得又当时,当时,从而函数在处取得极小值,且极小值为,无极大值综上,当时,函数无极值；当时,函数在处取得极小值,无极大值17.答案：解：（1）定义域为，恒成立，所以函数在为减函数.（2）不妨设.先证，只要证，即，即，令，则需证，由（1）知，在为减函数.当时，又，所以，即得证。下面再证，即证，令，只要证，.令，（），恒成立，在为减函数，即得，所以成立.
