1、课后限时集训(四十一)空间点、直线、平面之间的位置关系建议用时：40分钟一、选择题1a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是()A若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面B若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交C若ab，则a，b与c所成的角相等D若ab，bc，则acC若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面；若a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行或异面；若ab，bc，则a，c相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C正确故选C.2给出下列说法：梯形的四个顶点共面；三条平行直线共面；有三个公共点的两个平面重合；三条直线两两相交，可以确定1个或3个平面
2、其中正确的序号是()AB CDB显然正确；错误，三条平行直线可能确定1个或3个平面；若三个点共线，则两个平面相交，故错误；显然正确故选B.3如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是() ABCDDA，B，C图中四点一定共面，D中四点不共面4.如图所示，平面平面l，A，B，ABlD，C，Cl，则平面ABC与平面的交线是()A直线ACB直线ABC直线CDD直线BCC由题意知，Dl，l，所以D，又因为DAB，所以D平面ABC，所以点D在平面ABC与平面的交线上又因为C平面ABC，C，所以点C在平面与平面ABC的交线上，所以平面ABC平面CD.5.(2020兰
3、州模拟)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，若点E为BC的中点，点F为B1C1的中点，则异面直线AF与C1E所成角的余弦值为()A.BC.DB不妨设正方体的棱长为1，取A1D1的中点G，连接AG，易知GAC1E，则FAG(或其补角)为异面直线AF与C1E所成的角连接FG(图略)，在AFG中，AG，AF，FG1，于是cosFAG，故选B.6(多选)(2020北京通州区期末改编)设点B为O上任意一点，AO垂直于O所在的平面，且AOOB，对于O所在平面内任意两条相互垂直的直线a，b，有下列结论，其中正确的有()A当直线AB与a成60角时，AB与b成30角B当直线AB与a成60角时，AB与b
4、成60角C直线AB与a所成角的最小值为45D直线AB与a所成角的最小值为60BC如图，AOOB，直线ab，点D，M分别为BC，AC的中点，则ABC为直线AB与a所成的角，MDO为直线AB与b所成的角设AOOB1，若ABC60，则OMODMD，所以MDO60，故B正确，A不正确；因为AB与O所在平面所成的角为45，即直线AB与平面内所有直线所成角中的最小角为45，所以直线a与直线AB所成角的最小值为45，故C正确，D不正确故选BC.二、填空题7已知AE是长方体ABCDEFGH的一条棱，则在这个长方体的十二条棱中，与AE异面且垂直的棱共有_条4如图，作出长方体ABCDEFGH.在这个长方体的十二条
5、棱中，与AE异面且垂直的棱有：GH，GF，BC，CD.共4条8已知在四面体ABCD中，E，F分别是AC，BD的中点若AB2，CD4，EFAB，则EF与CD所成角的度数为_30如图，设G为AD的中点，连接GF，GE，则GF，GE分别为ABD，ACD的中位线由此可得GFAB，且GFAB1，GECD，且GECD2，FEG或其补角即为EF与CD所成的角又EFAB，GFAB，EFGF.因此，在RtEFG中，GF1，GE2，sinGEF，可得GEF30，EF与CD所成角的度数为30.9在下列四个图中，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有_(填序号) 图中
6、，直线GHMN；图中，G，H，N三点共面，但M平面GHN，因此直线GH与MN异面；图中，连接MG，GMHN，因此GH与MN共面；图中，G，M，N共面，但H平面GMN，因此GH与MN异面所以在图中，GH与MN异面10.如图所示，四边形ABEF和ABCD都是梯形，BC綊AD，BE綊FA，G，H分别为FA，FD的中点(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？解(1)证明：由已知FGGA，FHHD，可得GH綊AD.又BC綊AD，GH綊BC.四边形BCHG为平行四边形(2)BE綊AF，G为FA的中点，BE綊FG，四边形BEFG为平行四边形，EFBG.由(1)知BG
7、綊CH，EFCH，EF与CH共面又DFH，C，D，F，E四点共面11.如图所示，A是BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点(1)求证：直线EF与BD是异面直线；(2)若ACBD，ACBD，求EF与BD所成的角解(1)证明：假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是BCD所在平面外的一点相矛盾故直线EF与BD是异面直线(2)取CD的中点G，连接EG，FG，则ACFG，EGBD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角又因为ACBD，则FGEG.在RtEGF中，由EGFGAC，求得
8、FEG45，即异面直线EF与BD所成的角为45.1.在我国古代数学名著九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑如图，在鳖臑ABCD中，AB平面BCD，且ABBCCD，则异面直线AC与BD所成的角的余弦值为()AB CDA如图所示，分别取AB，AD，BC，BD的中点E，F，G，O，连接EF，FO，OG，GE，GF，则EFBD，EGAC，FOOG，FEG或其补角为异面直线AC与BD所成的角设AB2a，则EGEFa，FGa，EFG是等边三角形，FEG60，异面直线AC与BD所成角的余弦值为，故选A.2.(多选)(2020山东泰安一中、宁阳一中联考)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，
9、点F是线段BC1上的动点，则下列说法正确的是()A无论点F在线段BC1上怎么移动，都有A1FB1DB当F为BC1的中点时，才有A1F与B1D相交于一点，记为点E，且2C无论点F在线段BC1上怎么移动，异面直线A1F与CD所成的角都不可能是30D当F为BC1的中点时，直线A1F与平面BDC1所成的角最大，且为60ABC对于A选项，在正方体ABCDA1B1C1D1中，连接A1C1，A1B(图略)，易知B1D平面A1BC1，又A1F平面A1BC1，A1FB1D，故A正确；对于B选项，如图，当F为BC1的中点时，连接B1C，A1D，B1C与BC1交于点F，A1F与B1D共面于平面A1B1CD，且必相交
10、，交点为E，易知A1DEFB1E，所以2，故B正确；对于C选项，点F从点B移至点C1，异面直线A1F与CD所成的角先变小再变大，当F为BC1的中点时，异面直线A1F与CD所成的角最小，此时该角的正切值为，最小角大于30，故C正确；对于D选项，点F从点B移至点C1，直线A1F与平面BDC1所成的角先变大再变小，当F为BC1的中点时，设点O为A1在平面BDC1上的投影，连接OF(图略)，则直线A1F与平面BDC1所成角的最大角的余弦值为，则最大角大于60，故D错误故选ABC.3.如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边上的点，且AEEBAHHDm，CFFBCGGDn.(1)证明：E，F，G，H四点共面；(2)m，n满足什么条件时，四边形EFGH是平行四边形？(3)在(2)的条件下，若ACBD.试证明：EGFH.解(1)证明：因为AEEBAHHD，所以EHBD.又CFFBCGGD，所以FGBD.所以EHFG.所以E，F，G，H四点共面(2)当EHFG，且EHFG时，四边形EFGH为平行四边形因为，所以EHBD.同理可得FGBD，由EHFG，得mn.故当mn时，四边形EFGH为平行四边形(3)证明：当mn时，AEEBCFFB，所以EFAC，又EHBD，所以FEH是AC与BD所成的角(或其补角)，因为ACBD，所以FEH90，从而平行四边形EFGH为矩形，所以EGFH.
