1、安徽省合肥市2020届高三数学第一次教学质量检测试题 文（含解析）（考试时间：120分钟满分：150分）第卷（60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析】利用集合的交运算即可求解.【详解】由题可知,集合,因为集合,所以由集合的交运算可得,故选:D【点睛】本题考查集合的交运算;属于基础题.2.已知为虚数单位，复数满足，则的共轭复数（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由复数的乘法运算法则化简复数,根据共轭复数的定义即可求解.【详解】因为复数
2、,由复数的乘法运算法则可得,利用共轭复数的定义可得,=,故选:B【点睛】本题考查复数的四则运算及共轭复数的定义;属于基础题.3.设双曲线的焦点为，点为上一点，则为（ ）A. 13B. 14C. 15D. 17【答案】B【解析】【分析】化简双曲线方程,求出,由双曲线的定义知,把代入求解即可.【详解】由题意可得，双曲线的方程为，所以,由双曲线的定义可得，因为,所以可得,解得.故选: B【点睛】本题主要考查双曲线的定义和标准方程;属于基础题.4.“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.
3、自2013年以来，“一带一路”建设成果显著.下图是2013-2017年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图.下列描述错误的是（ ）A. 这五年，2013年出口额最少B. 这五年，出口总额比进口总额多C. 这五年，出口增速前四年逐年下降D. 这五年，2017年进口增速最快【答案】C【解析】【分析】对于选项A：观察五个灰色的条形图的高低即可判断;对于选项B:观察五组条形图,对比每组灰色条形图与黑色条形图的高低及高低悬殊程度即可判断;对于选项C：从图中知,红色的折线图是先上升后下降即可判断;对于选项D：观察这五年所对的蓝色折线图的高低即可判断;【详解】对于选项A：观察五个灰色的条形图,可得2
4、013年所对的灰色条形图高度最低,所以这五年，2013年出口额最少.故选项A正确;对于选项B:观察五组条形图可得,2013年出口额比进口额稍低,但2014年2017年都是出口额高于进口额,并且2015年和2016年都是出口额明显高于进口额，故这五年，出口总额比进口总额多.故选项B正确;对于选项C：从图中可知,红色的折线图是先上升后下降,即2013年到2014年出口增速是上升的.故选项C错误;对于选项D：从图中可知,蓝色的折线图2017年是最高的,即2017年进口增速最快.故选项D正确;故选: C【点睛】本题主要考查统计条形图和折线图的应用;解题的关键是从条形图看出口金额和进口金额,从折线图看出
5、口增速和进口增速;属于基础题.5.已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则的值为（ ）A. B. C. 1D. 【答案】A【解析】【分析】利用任意角三角函数的定义求出，再由余弦二倍角公式和两角差的正弦公式求出的值即可.【详解】因为点,所以 由任意角三角函数的定义知,由余弦二倍角公式和两角差的正弦公式可得,，所以的值为.故选: A【点睛】本题主要考查任意角三角函数的定义、两角差的正弦公式及余弦二倍角公式;正确掌握三角函数的有关公式是求解本题关键;着重考查学生的运算能力;属于中档题.6.若执行下图的程序框图，则输出的值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【
6、分析】依次写出每次循环得到的的值,当时,不满足条件,退出循环，输出的值为即可.【详解】第一次循环:，满足，继续循环;第二次循环:，满足，继续循环;第三次循环:满足，继续循环;第四次循环:，不满足，跳出循环，输出.故选: B【点睛】本题主要考查程序框图中当型循环,循环结构主要用在一些规律的重复计算，如累加、累乘等,在循环结构框图中要特别注意条件的应用；属于基础题.7.已知正方形的边长为2，点为边中点，点为边中点，将，分别沿 ,折起，使三点重合于M点，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】把棱锥扩展为正四棱柱,求出正四棱柱的外接球的半径就是三棱锥外接球的
7、半径,即可求出三棱锥外接球的表面积.【详解】作图如下：由题意可得为等腰直角三角形,且平面MEF,将三棱锥的底面MEF扩展为边长为1的正方形,然后扩展为正四棱柱,三棱锥的外接球与正四棱柱的外接球是同一球,正四棱柱的对角线的长度就是外接球的直径,直径为：,所以球的半径为,所以三棱锥的外接球的表面积为,故选：C【点睛】本题主要考查多面体的外接球;重点考查学生的空间想象能力、知识迁移能力；属于难度较大型试题.8.已知函数，则下列关于函数的说法，不正确的是（ ）A. 的图象关于对称B. 在上有2个零点C. 在区间上单调递减D. 函数图象向右平移个单位，所得图像对应函数为奇函数【答案】C【解析】【分析】根
8、据正弦函数的对称性,其对称轴为判断选项A的正误；根据正弦函数的零点判断选项B的正误;根据正弦函数的单调区间,其增区间为，其减区间为,判断选项C的正误;根据函数的图象平移伸缩变换法则判断选项D的正误;【详解】对于选项A：当时,此时函数，所以的图象关于对称.故选项A正确;对于选项B：当时,所以当时,即函数在上存在零点.故选项B正确;对于选项C：当时,所以当时函数为增函数,当时函数为减函数,所以函数在区间上先增后减.故选项C不正确；对于选项D：函数图象向右平移个单位得到,函数为奇函数.故选项D正确;故选: C【点睛】本题主要考查函数的图象变换及正弦函数的图象与性质;重点考查正弦函数的单调性、对称性、
9、奇偶性等;考查学生的计算能力、推理能力;属于中档题.9.函数的图像大致为（ ）.A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题采用排除法: 由排除选项D；根据特殊值排除选项C;由,且无限接近于0时, 排除选项B；【详解】对于选项D:由题意可得, 令函数 ,则,;即.故选项D排除;对于选项C：因为,故选项C排除;对于选项B:当,且无限接近于0时,接近于,，此时.故选项B排除;故选项:A【点睛】本题考查函数解析式较复杂的图象的判断;利用函数奇偶性、特殊值符号的正负等有关性质进行逐一排除是解题的关键;属于中档题.10.射线测厚技术原理公式为，其中分别为射线穿过被测物前后的强度，是自然对数的底
10、数，为被测物厚度，为被测物的密度，是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用镅241（）低能射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为（ ）（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，结果精确到0.001）A. 0.110B. 0.112C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意知,，代入公式,求出即可.【详解】由题意可得,因为,所以,即.所以这种射线的吸收系数为.故选:C【点睛】本题主要考查知识的迁移能力,把数学知识与物理知识相融合;重点考查指数型函数,利用指数的相关性质来研究指数型函数的性质,以及解指数型方程；属于中档
11、题.11.已知正方体，过对角线作平面交棱于点E，交棱于点F，则：四边形一定是平行四边形；四边形有可能为正方形；四边形在底面内的投影一定是正方形；平面有可能垂直于平面.其中所有正确结论的序号为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据面面平行和正方体的几何特征进行判断，利用一些特殊情况进行说明【详解】如图：由平面平面，并且、 、四点共面，同理可证，故四边形一定是平行四边形，故正确；若是正方形，有，因为，所以平面，又因为平面，与经过平面外一点作已知平面的垂线有且只有一条相矛盾,故错误；由图得，在底面内的投影一定是正方形，故正确；当点和分别是对应边的中点时，平面平面，故正确故选：D
12、【点睛】本题主要考查了正方体的几何特征，利用面面平行和线线垂直，以及特殊情况进行判断；考查了空间想象能力和逻辑思维能力;属于难度大型试题.12.已知函数（），.若存在实数使不等式的解集为，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】令，则的图象在直线下方的部分对应点的横坐标，由，解得的值.判断函数的单调性，利用最值求解即可【详解】令,则的图象在直线下方的部分对应点的横坐标，由，解得的值.，的情况如下： +00+ 增极大值减极小值增由上表知,当时，当时，函数的极大值为，函数的极小值为,所以当或时，存在实数使不等式的解集为故选:D【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的
13、单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用；属于综合型强、难度大型试题.第卷（90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填在答题卡上的相应位置.13.已知实数满足则取得最大值的最优解为_.【答案】（4，2）【解析】【分析】首先作出不等式组表示的可行域,然后利用z的几何意义，作出直线,向上平移直线到最高点,此时目标函数取得最大值,求出此时直线与可行域的交点坐标即可【详解】作出不等式组所表示的可行域如图阴影所示：作出直线如图所示,向上平移直线，当经过点
14、A时,目标函数取得最大值,所以点A所对的坐标即为所求的最优解.联立方程,解方程组得,即点A坐标为.故答案为:【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题;利用z的几何意义和数形结合的思想是求解本题的关键;属于中档题.14.已知向量（1，1），且，则的值等于_.【答案】1【解析】【分析】求出的坐标,再利用两向量垂直的坐标表示代入求解即可.【详解】由题意知,因为,（1，1）,由两向量垂直的坐标表示可得:,解得.故答案为: 1【点睛】本题主要考查两向量垂直的坐标表示;考查学生的运算能力;属于基础题.15.在中，内角所对的边分别为，若，则_，的最大值为_.【答案】 (1). 3 (2). 【解析】【分析】利
15、用正余弦定理把角化边即可求得的值,利用求出的最小值,此时所对的即为所求的最大值.【详解】因为，由正余弦定理可得, ,整理可得,，即3；因为,所以，由题意可得，,所以当时,C角有最大值,有最大值,所以,即.故答案为:3;【点睛】本题主要考查正余弦定理,利用基本不等式求三角函数最值;其中基本不等式与余弦定理的结合应用是求解本题的关键;属于中档题.16.已知点，抛物线（）的焦点为，若此抛物线的准线上存在一点，使得是以为直角的等腰直角三角形，则的值等于_.【答案】【解析】【分析】根据题意作出图形,设点,在中利用，建立关于的方程,解方程即可求解.【详解】根据题意作图如下：因为是等腰直角三角形, ,所以,
16、即,整理得代入整理化简得,解得因为,所以 ，因为,所以.故答案为:【点睛】本题主要考查抛物线的定义及其简单几何性质;重点考查学生的运算能力和数形结合思想的应用;属于中档题.三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等差数列的前项和为，.（1）求数列的通项公式；（2）若（），求的值.【答案】（1）（）（2）【解析】【分析】由得到的方程,由求出公差,代入等差数列通项公式即可;由知和等差数列定义可知，可得，把代入求解即可.【详解】（1）设等差数列的公差为，由得，整理得.又，（）.（2）可化为，解得.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和利用等差数列的
17、定义求参数;其中由等差数列的定义把化为是求解本题关键;重点考查学生的运算能力；属于中档题.18.某汽车公司生产新能源汽车，2019年3-9月份销售量（单位：万辆）数据如下表所示：月份3456789销售量（万辆）3.0082.4012.1892.6561.6651.6721.368（1）某企业响应国家号召，购买了6辆该公司生产的新能源汽车，其中四月份生产的4辆，五月份生产的2辆，6辆汽车随机地分配给A，B两个部门使用，其中A部门用车4辆，B部门用车2辆.现了解该汽车公司今年四月份生产的所有新能源汽车均存在安全隐患，需要召回.求该企业B部门2辆车中至多有1辆车被召回的概率；（2）经分析可知，上述数
18、据近似分布在一条直线附近.设关于的线性回归方程为，根据表中数据可计算出，试求出的值，并估计该厂10月份的销售量.【答案】（1）（2）；该厂10月份销售量估计为1.151万辆.【解析】【分析】设某企业购买的6辆新能源汽车，4月份生产的4辆车为，；5月份生产的2辆车为，列出部门2辆车所有可能的情况和至多有1辆车是四月份生产的所包含的情况，代入古典概型概率计算公式求解即可.求出，由线性回归方程过样本中心点代入线性回归方程即可求出，然后把代入回归方程求解即可.【详解】（1）设某企业购买的6辆新能源汽车，4月份生产的4辆车为，；5月份生产的2辆车为，6辆汽车随机地分配给两个部门.部门2辆车可能为（，），
19、（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，（，），（，）共15种情况；其中，至多有1辆车是四月份生产的情况有：（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，）共9种，所以该企业部门2辆车中至多有1辆车被召回的概率为.（2）由题意得，.因线性回归方程过样本中心点，所以，解得.当时，即该厂10月份销售量估计为1.151万辆.【点睛】本题主要考查古典概型的概率公式的应用和线性回归方程经过样本中心点、利用回归方程求估计值;重点考查学生的运算能力；属于中档题.19.如图，该几何体的三个侧面，都是矩形.（1）证明：平面平面；（2）若，
20、为中点，证明：平面.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】由侧面是矩形可得，利用线面平行的判定定理可得平面，同理可得：平面，再由面面平行的的判定定理即可得证；由侧面是矩形可得，又，由线面垂直的判定定理可得平面，再由线面垂直的性质定理可得，利用已知条件，为中点可得，利用线面垂直的判定定理即可得证.【详解】证明侧面是矩形，.又平面，平面，平面.同理可得：平面.，平面平面.（2）侧面都是矩形，.又，平面.平面，.为的中点，都是等腰直角三角形，即.而，平面.【点睛】本题主要考查立体几何中线面平行、面面平行的判定定理和线面垂直的判定定理及性质定理的灵活运用；其中判定定理和性质定理的灵活
21、转换是求解本题的关键；属于中档题.20.设椭圆（）的左右焦点分别为，椭圆的上顶点为点，点为椭圆上一点，且.（1）求椭圆的离心率；（2）若，过点的直线交椭圆于两点，求线段的中点的轨迹方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】利用向量的坐标表示及运算表示出点坐标,代入椭圆的方程即可求解;由知,结合求出椭圆的方程，分两种情况线段在轴上和线段不在轴上求解点，当线段不在轴上, 设直线的方程为，代入椭圆方程，利用韦达定理和中点坐标公式,消去参数即可.【详解】（1） 设（），所以，得，即，又（）在椭圆上，得，即椭圆的离心率为.（2） 由（1）知，.又，解得，椭圆的方程为.当线段在轴上时，线段的中点为坐标原点
22、（0，0）.当线段不在轴上时，设直线的方程为，将直线的方程为代入椭圆方程中，得.点在椭圆内部，则，点的坐标满足，消去得，（）.综上所述，点的轨迹方程为.【点睛】本题主要考查椭圆离心率的求解和标准方程及直线与椭圆相交时弦的中点的轨迹问题;其中当线段不在轴上时，设直线的方程为是求解本题的关键;考查学生的运算能力和知识的综合运用能力;属于中档题.21.已知函数，.（1）求直线与曲线相切时，切点的坐标；（2）当时，恒成立，求的取值范围.【答案】（1）（1，0）（2）【解析】【分析】求出函数的导函数,设所求切点的坐标为,利用导数的几何意义可得切线的斜率为，再由切点满足函数和，从而得到关于的方程组,解方程
23、即可;当时，恒成立，等价于对恒成立.构造函数，则，分两种情况和利用导数讨论函数单调性及最值即可.【详解】因为函数，所以，设直线与曲线相切的切点的坐标为，则，整理化简得.令，则，在上单调递减，由零点存在性定理可得,在最多有一个实数根.又，此时，即切点的坐标为（1，0）.（2）当时，恒成立，等价于对恒成立.令，则，.当，时，在上单调递增，因此符合题意.当时，令得.由与得，.当时，单调递减，当时，不符合题意；综上所述得，的取值范围是.【点睛】本题考查利用导数的几何意义求切点和利用导数研究函数的单调性和最值，利用函数的性质解决方程和恒成立问题;中点考查学生的推理论证能力和利用分类讨论思想综合解题能力;
24、解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用;属于难度大型试题.请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的方程为.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）设曲线与直线交于点，点的坐标为（3，1），求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】利用极坐标与直角坐标的互化公式:即可求解;联立直线的方程和曲线的方程,整理化简得到关于的一元二次方程,由题知点在直线上,利用参数方程中参数的几何意义及一元
25、二次方程中的韦达定理即可求出的值.【详解】因为曲线的方程， ， ，化简得,曲线的直角坐标方程为：.（2）把直线代入曲线得，整理得，.，所以方程有两个不等实根，设为方程的两个实数根，由韦达定理可得,，为异号，又点（3，1）在直线上，由参数方程中参数的几何意义可得,.所以.【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化、参数方程中参数的几何意义等知识，考查学生的运算能力、推理论证能力；其中正确掌握参数方程中参数的几何意义是求解本题的关键;属于中档题.23.已知函数（），不等式的解集为.（1）求的值；（2）若，且，求的最大值.【答案】（1）（2）32【解析】【分析】利用绝对值不等式的解法求出不等式的解集,得到关于的方程,求出的值即可;由知可得,，利用三个正数的基本不等式,构造和是定值即可求出的最大值.【详解】（1），所以不等式的解集为,即为不等式的解集为，的解集为,即不等式的解集为，化简可得,不等式的解集为，所以,即.（2），.又，当且仅当,等号成立,即，时，等号成立，的最大值为32.【点睛】本题主要考查含有两个绝对值不等式的解法和三个正数的基本不等式的灵活运用;其中利用构造出和为定值即为定值是求解本题的关键;基本不等式取最值的条件:一正二定三相等是本题的易错点;属于中档题.
