1、第9课时基本不等式的证明(1) 教学过程一、 问题情境把一个物体放在天平的一个盘子上,在另一个盘子上放砝码使天平平衡,称得物体的质量为a.如果天平制造得不精确,天平的两臂长略有不同(其他因素不计),那么a并非物体的实际质量.不过,我们可作第二次测量:把物体调换到天平的另一个盘上,此时称得物体的质量为b.二、 数学建构(一) 生成概念问题1如何合理地表示物体的质量呢?活动1:把两次称得的物体的质量“平均”一下,以表示物体的质量.活动2:根据力学原理:设天平的两臂长分别为l1, l2,物体实际质量为M,则有l1M=l2a, l1b=l2M,两式相乘再除以l1l2,可得到M=.(引导学生讨论活动1,
2、2的合理性,并从物理学角度来探讨物体的质量)问题2对于正数a, b,我们把称为a, b的算术平均数,称为a, b的几何平均数.那么两个正数a, b的算术平均数与几何平均数之间具有怎样的大小关系?活动3:举一些数作试验,初步判断两者的大小关系.组1组2组3组4组5ab大小关系活动4:给予严密的证明.证法一(比较法):-=+-2=0,当且仅当=,即a=b时,取“=”.证法二(分析法):要证,只要证2a+b,只要证0a-2+b,只要证0.因为最后一个不等式成立,所以成立,当且仅当a=b时取“=”号.证法三(综合法):对于正数a,b,有0a+b-20a+b2.通过讨论,给出基本不等式:如果a,b是正数
3、,那么(当且仅当a=b时取“=”).(二) 理解概念 1. 基本不等式成立的条件:a,b是正数.(当a0, b0时,这个不等式仍然成立) 2. 基本不等式证明的方法:比较法,分析法,综合法. 3. 从图形上理解基本不等式:如图1,以a+b为直径作圆,在直径AB上取点C(使得AC=a, BC=b),过C作弦DDAB,则CD2=CACB=ab,从而CD=,而半径CD=.基本不等式的几何意义是“半径不小于半弦”.(图1) 4. 当且仅当a=b时取“=”的含义:一方面是当a=b时取等号,即a=b=;另一方面是仅当a=b时取等号,即=a=b. 5. (1) 在数学中,我们称为a, b的算术平均数,称为a
4、, b的几何平均数.基本不等式还可以叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.(2) 如果把看做是正数a, b的等差中项,看做是正数a, b的等比中项,那么基本不等式又可以叙述为:两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 6. 通过基本不等式还可以推得:(1) 如果a, b是正数,那么a+b2(当且仅当a=b时取“=”);(2) 如果a, bR,那么a2+b22ab(当且仅当a=b时取“=”).三、 数学运用【例1】(教材P98例1)设a, b为正数,证明下列不等式成立:(1) +2;(2) a+2.(见学生用书课堂本P57)处理建议由学生叙述解题思路或方法,教师板书,强化基本不等式
5、的应用.规范板书证明(1) a, b为正数, , 也为正数,由基本不等式得+2=2, 原不等式成立.(2) a, 均为正数,由基本不等式得a+2=2, 原不等式成立.题后反思运用基本不等式解决不等式的证明问题,一要注意不等号的方向;二要注意定理运用的条件:a, b都是正数,证明过程中一定要体现这一点!变式(教材P99练习第3(1)题)设a1,求证:a+3.处理建议让学生讨论,给出解题方法,并由学生板书.规范板书证明 a1, a-1, 均为正数,由基本不等式得a-1+2,即a+3.【例2】已知a, b, c为两两不相等的实数,求证:a2+b2+c2ab+bc+ca.(见学生用书课堂本P57)处理
6、建议由学生思考讨论,然后进行交流.在解答中,注意纠正学生忽略的问题.规范板书证明 a, b, c为两两不相等的实数, a2+b22ab, b2+c22bc, c2+a22ca,将以上三式相加得2(a2+b2+c2)2ab+2bc+2ca, a2+b2+c2ab+bc+ca.题后反思注意不等式“如果a, bR,那么a2+b22ab(当且仅当a=b时取“=”)”的运用,此时a, b都是实数,没有正数的要求!第二需要注意的是等号的取舍,由于本题中的“两两不相等”,所以题中的不等号是“”.变式设a, b为实数,求证:a2+b2+22a+2b.处理建议学生完成,教师点拨即可.规范板书证明 a, b为实数
7、,a2+b2+2=(a2+1)+(b2+1)2a+2b, 原不等式成立.【例3】图(1)是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标,该会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去像一个风车,代表中国人民热情好客.我们把“风车”造型抽象成图(2),在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形,设直角三角形的边长分别为a, b,那么正方形ABCD的面积为多少?在这个图案中隐藏了什么样的不等关系?(见学生用书课堂本P58)(1)(2)(例3)处理建议由学生思考讨论,然后进行交流.规范板书解由题意可知正方形ABCD的边长为,所以它的面积为a2+b2.而四个直角三角形的面积是4ab=2ab
8、,从而有a2+b22ab.题后反思本题告诉我们:可以从图形上理解“如果a, bR,那么a2+b22ab(当且仅当a=b时取“=”)”.*【例4】求证:2.处理建议由学生思考讨论,然后进行交流.在交流中,教师适时点拨.规范板书证明 0,又x2+31, , =+2=2,即2.题后反思本题对基本不等式的运用,关键是变形,抓住这一整体进行变形.四、 课堂练习 1. 证明:x2+44x.提示x2+42x2=4x. 2. 当m(-,0)且m-1时,证明:m+-2.提示当m(-,0)且m-1时,m+=-(-m)+0, b+c20, c+a20,从而有(a+b)(b+c)(c+a)222=8abc. 4. 已知a, b, c, d都是正数,求证:(ab+cd)(ac+bd)4abcd.提示由a, b, c, d都是正数,得0, 0, abcd,即(ab+cd)(ac+bd)4abcd.五、 课堂小结 1. 算术平均数与几何平均数的概念. 2. 基本不等式及其应用条件. 3. 不等式证明的三种常用方法. 4. 重要的公式:(1) 如果a, b都是正数,那么(当且仅当a=b时取“=”);(2) 如果a, b都是正数,那么a+b2(当且仅当a=b时取“=”);(3) 如果a, bR,那么a2+b22ab(当且仅当a=b时取“=”).
