1、第八章 圆锥曲线方程(一)椭圆与双曲线知识网络范题精讲【例1】 已知椭圆的两焦点为F1(0，1)、F2(0，1)，直线y=4是椭圆的一条准线.(1)求椭圆方程；(2)设点P在椭圆上，且|PF1|PF2|=1，求tanF1PF2的值.解析:本题考查椭圆的基本性质及解题的综合能力.(1)设椭圆方程为+=1(ab0).由题设知c=1，=4,a2=4,b2=a2c2=3.所求椭圆方程为+=1.(2)由(1)知a2=4,a=2.由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=4，又|PF1|PF2|=1,|PF1|=，|PF2|=.又|F1F2|=2c=2,由余弦定理cosF1PF2=.tanF1PF2=.【例2】
2、 已知双曲线x2=1,过点A(2，1)的直线l与已知双曲线交于P1、P2两点.(1)求线段P1P2的中点P的轨迹方程；(2)过点B(1，1)能否作直线l,使l与已知双曲线交于两点Q1、Q2，且B是线段Q1Q2的中点?请说明理由.(1)解法一:设点P1、P2的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，中点P的坐标为(x,y),则有x12=1,x22=1,两式相减，得2(x1+x2)(x1x2)=(y1+y2)(y1y2).当x1x2,y0时,由x1+x2=2x,y1+y2=2y,得=.又由P1、P2、P、A四点共线，得=.由得=,即2x2y24x+y=0.当x1=x2时，x=2,y=0满足此方程
3、，故中点P的轨迹方程是2x2y24x+y=0.解法二:设点P1、P2、中点P的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)、(x,y),直线l的方程为y=k(x2)+1,将l方程代入双曲线x2=1中，得(2k2)x2+2k(2k1)x+2k23=0,则x1+x2=,x1x2=,y1+y2=k(x1+x2)+24k=. 于是 当y0时，由得k=.将其代入，整理得2x2y24x+y=0.当l倾斜角为90时，P点坐标为(2，0)仍满足此方程，故中点P的轨迹方程为2x2y24x+y=0.(2)解:假设满足题设条件的直线l存在，Q1、Q2的坐标分别为(x3,y3)、(x4,y4),同(1)得2(x3+x4)
4、(x3x4)=(y3+y4)(y3y4).x3+x4=2,y3+y4=2,=2(x3x4),即l的斜率为2.l的直线方程为y1=2(x1)，即y=2x1.方程组无解，与假设矛盾,满足条件的直线l不存在.【例3】 如下图，已知OFQ的面积为S，且=1，(1)若S的范围为S2,求向量与的夹角的取值范围；(2)设|=c(c2),S=c,若以O为中心，F为焦点的椭圆经过点Q，当|取得最小值时，求此椭圆的方程.分析:本题考查向量的基本知识、三角知识及最值问题在解析几何中的综合运用.解:(1)=1,|cos=1.又|sin(180)=S,tan=2S,S=.又S2,2,即1tan4,0B.0R2C.0R4
5、D.2R4解析:将方程变为+=1,由已知可得,0R0,mb0)的离心率互为倒数，那么以a、b、m为边的三角形是A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形解析:双曲线=1的离心率e1=，椭圆的离心率e2=.e1与e2互为倒数，e1e2=1,即=1,整理得a2+b2=m2.以a、b、m为边的三角形是直角三角形.答案:B8.方程=|x+y2|表示的曲线是A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.不能确定解析:数形结合法.动点P(x,y)到定点(1,1)和定直线x+y2=0距离之比为.答案:B9.若椭圆+=1(mn0)和双曲线=1(ab0)有相同的焦点F1、F2，P是两条曲线的一个交点，则|PF1
6、|PF2|的值是A.maB.(ma)C.m2a2D.解析:|PF1|+|PF2|=2,|PF1|PF2|=2,|PF1|=+ ,|PF2|=.|PF1|PF2|=ma.答案:A10.已知F1、F2为椭圆+=1(ab0)的焦点,M为椭圆上一点,MF1垂直于x轴,且F1MF2=60,则椭圆的离心率为A.B.C.D.分析:本题考查如何求椭圆的离心率.解:MF1x轴,M点的横坐标为xM=c.把xM代入椭圆方程+=1中,得yM=,如下图所示.在RtMF1F2中,tanF1MF2=,即2ac=b2.a22acc2=0.每一项都除以a2,得2ee2=0,解得e1=或e2= (舍).答案:C第卷(非选择题 共
7、70分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)11.若椭圆的两个焦点为F1(4，0)、F2(4，0)，椭圆的弦AB过点F1，且ABF2的周长为20，那么该椭圆的方程为_.解析:ABF2的周长:|AF2|+|AF1|+|BF2|+|BF1|=2a+2a=4a=20,a=5.又c=4,b=3.椭圆的方程为+=1.答案: +=112.已知P是椭圆上的一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，PF1F2=90,PF2F1=30,则椭圆的离心率是_.解析:因为e=,于是在PF1F2中，由正弦定理知e=.答案:13.经过点M(10, ),渐近线方程为y=x的双曲线方程为_.分析:本题考查依据条件求双曲
8、线的方程.解:设双曲线的方程为(x3y)(x+3y)=m(mR,且m0),因双曲线过点M(10,),所以有(103)(10+3)=m,得m=36.所以双曲线方程为x29y2=36,即=1.答案: =114.方程+=1表示的曲线为C，给出下列四个命题:曲线C不可能是圆；若1k4,则曲线C为椭圆；若曲线C为双曲线，则k4；若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1k.其中正确的命题是_.解析:当4k=k1,即k=时表示圆，否定命题,显然k=(1,4),否定命题；若曲线C为双曲线，则有(4k)(k1)0,即4k或kk10,解得1k,说明命题正确.答案:三、解答题(本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说
9、明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分8分)设椭圆的中心为坐标原点，它在x轴上的一个焦点与短轴两端点连成60的角，两准线间的距离等于8，求椭圆方程.解:依题意，设所求椭圆方程为+=1,椭圆右焦点F(c,0)与短轴两端点A、B连成60的角，如图，则AFB=60,AFB为等边三角形，于是有a=2b.又由两准线间的距离等于8，得=8.联立两方程，解得a=6,b=3.故所求椭圆方程为+ =1.16.(本小题满分10分)已知椭圆+=1,过点P(2，1)引一条弦，使它在这点被平分，求此弦所在的直线方程.解:如图，设弦与椭圆的两交点坐标为A(x1,y1)、B(x2,y2).又P(2,1), 得(x1x2
10、)(x1+x2)+4(y1y2)(y1+y2)=0,=kAB.lAB的方程为y1=(x2).17.(本小题满分12分)求以椭圆+=1的顶点为焦点,且一条渐近线的倾斜角为的双曲线方程.分析:已知渐近线方程为bxay=0,中心在原点,求双曲线的方程.可设双曲线方程为 b2x2a2y2=(0),根据其他条件,确定的正负.解:椭圆的顶点坐标为(8,0)、(0,4).双曲线渐近线方程为xy=0,则可设双曲线方程为x23y2=k(k0)，即=1.若以(8,0)为焦点,则k+=64,得k=48,双曲线方程为=1；若以(0,4)为焦点,则k=16,得k=12,双曲线方程为=1.18.(本小题满分12分)如下图
11、，双曲线=1(bN*)的两个焦点为F1、F2，P为双曲线上一点，|OP|5,|PF1|、|F1F2|、|PF2|成等差数列，求此双曲线方程.解:|PF1|、|F1F2|、|PF2|成等差数列，|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4c.又|PF1|PF2|=2a=4,|PF1|=2c+2,|PF2|=2c2.根据中线定理有|PF1|2+|PF2|2=2(|PO|2+|F1O|2)2(52+c2),(2c+2)2+(2c2)22(52+c2).8c2+850+2c2.c27,即4+b27.b23.又bN*,b=1.所求双曲线方程为y2=1.19.(本小题满分12分)在ABC中,已知B(2,0)
12、、C(2,0),ADBC于点D,ABC的垂心为H,且=.(1)求点H(x,y)的轨迹G的方程；(2)已知P(1,0)、Q(1,0),M是曲线G上的一点,那么,能成等差数列吗?若能,求出M点的坐标；若不能,请说明理由.(1)解:H点坐标为(x,y),则D点坐标为(x,0),由定比分点坐标公式可知,A点的坐标为(x,y).=(x+2,y),=(x2,y).由BHCA知x24+y2=0,即+ =1,G的方程为+=1(y0).(2)解法一:显然P、Q恰好为G的两个焦点,|+|=4,|=2.若,成等差数列,则+=1.|=| |+|=4.由可得|=|=2,M点为+=1的短轴端点.当M点的坐标为(0, )或(0,)时,成等差数列.解法二:设M点的坐标为(x,y),显然P、Q恰好为+ =1的两个焦点,|+|=4,| |=2.,成等差数列,+=1.由椭圆第二定义可得|=a+ex,|=aex,+=1.解得x=0.M点的坐标为(0, )或(0,).当M点的坐标为(0, )或(0,)时,成等差数列.
