1、河南省卢氏一中2012届高考数学二轮基本初等函数、函数与方程及函数的应用专题训练一、选择题1(2011东城模拟)设alog2，blog，c()0.3，则a，b，c的大小关系为()AacbBabcCbac Dbca解析：因为alog2log1,0c()0.31，所以acb.答案：A2设2a5bm，且2，则m()A. B10C20 D100解析：alog2m，blog5m，代入已知得logm2logm52，即logm102，所以m.答案：A3函数f(x)的零点个数为()A0 B1C2 D3解析：法一：令f(x)0得，或x3或xe2.法二：画出函数f(x)的图像可得其图像与x轴有两个交点，则函数f(
2、x)有2个零点答案：C4(2011湖南高考)设直线xt与函数f(x)x2，g(x)lnx的图像分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为()A1 B.C. D.解析：|MN|的最小值，即函数h(x)x2lnx的最小值，h(x)2x，显然x是函数h(x)在其定义域内唯一的极小值点，也是最小值点，故t.答案：D5(2011深圳模拟)若实数t满足f(t)t，则称t是函数f(x)的一个次不动点设函数f(x)lnx与函数g(x)ex(其中e为自然对数的底数)的所有次不动点之和为m，则()Am0 Bm0C0m1解析：在同一直角坐标系中画出函数ylnx、yx的图像，其图像有唯一的公共点(t，t)，即有
3、lntt，ett，于是有点(t，t)是函数yex、yx的图像的交点，因此函数f(x)lnx与g(x)ex的次不动点必是成对出现，且两者互为相反数，m0.答案：B6放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：M(t)M02，其中M0为t0时铯137的含量已知t30时，铯137含量的变化率是10ln2(太贝克/年)，则M(60)()A5太贝克 B72ln2太贝克C150ln2太贝克 D150太贝克解析：因为铯137含量的变化率为M(t)M02ln2，所以当t30
4、时，M (30)M02ln2ln210ln2，所以M0600，可解得M(60)150.答案：D : 二、填空题7(2011烟台模拟)已知函数f(x)的图像如图所示，则函数g(x)logf(x)的定义域是_解析：当f(x)0时，函数g(x)logf(x)有意义，由函数f(x)的图像，知x(2,8答案：(2,88(2011北京高考)已知函数f(x)若关于x的方程f(x)k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是_解析：当x0，说明函数在(，2上单调递增，函数的值域是(，1)，函数在2，)上单调递减，函数的值域是(0,1因此要使方程f(x)k有两个不同的实根，则0k1.答案：(0,1)9(2011合肥
5、模拟)设函数f(x)的定义域为R，若f(x1)与f(x1)都是奇函数，则函数yf(x)在区间0,100上至少有_个零点解析：f(x1)与f(x1)都是奇函数，f(x1)f(x1)，f(x1)f(x1)f(x)f(2x)，f(x)f(2x)f(2x)f (2x)f(x)f(x4)f(x)是以4为周期的函数令中的x0，则f(1)0，f(1)0，f(3)0，x0,4时f(x)至少有两个零点x0,100时f(x)至少有50个零点答案：50三、解答题10函数f(x)的图像在2,2上为连续不断的曲线，且满足2 012f(x)，且在0,2上是增函数，若f(log2m)flog4(m2)成立，求实数m的取值范
6、围解：2 012f(x)，即2 012f(x)2 012f(x)，可得f(x)f(x)又因为函数的定义域2,2关于原点对称，所以函数f(x)为奇函数由奇函数的性质，可知函数在关于原点对称的两个区间上的单调性是相同的，而已知函数f(x)在0,2上是单调递增的，所以函数f(x)在2,0上也是单调递增的故由f(log2m)flog4(m2)，可得由2log2m2，解得m4.由2log4(m2)2，解得m216，即m14.由log2mlog4(m2)，得log4m2log4(m2)，故有解得0m2.综上所述，m的取值范围为，2)11已知函数f(x)log4(4x1)2kx(kR)是偶函数，(1)求k的
7、值；(2)若方程f(x)m有解，求m的取值范围解：(1)由函数f(x)是偶函数，可知f(x)f(x)，log4(4x1)2kxlog4(4x1)2kx.即log44kx.log44x4kx.x4kx对一切xR恒成立k. : (2)由mf(x)log4(4x1)x，得mlog4log4(2x)，2x2，mlog42.故要使方程f(x)m有解，m的取值范围为，)12(2011深圳模拟)如图，有一正方形钢板ABCD缺损一角(图中的阴影部分)，边缘线OC是以直线AD为对称轴，以线段AD的中点O为顶点的抛物线的一部分工人师傅要将缺损一角切割下来，使剩余的部分成为一个直角梯形若正方形的边长为2 m，问如何
8、画切割线EF，可使剩余的直角梯形的面积最大？并求其最大值解：以A为坐标原点，直线AB、AD分别为x轴、y轴，建立如图所示的直角坐标系，依题意可设边缘线OC的方程为yax21(0x2)，点C的坐标为(2,2)，22a12，a.故边缘线OC的方程为yx21(0x2) : 要使梯形ABEF的面积最大，则EF所在的直线必与边缘线OC相切，设切点坐标为P(t，t21)(0t2)，yx，直线EF的方程可表示为yt21t(xt)，即ytxt21，由此可求得E(2，tt21)，F(0，t21)|AF|1t2，|BE|t2t1.设梯形ABEF的面积为S(t)，则S(t)|AB|(|AF|BE|)(1t2)(t2t1)t2t2(t1)2.当t1时，S(t)，故S(t)的最大值为2.5，此时|AF|0.75，|BE|1.75. : 答：当AF0.75 m，BE1.75 m时，可使剩余的直角梯形的面积最大，其最大值为2.5 m2.
