1、第3讲算术平均数与几何平均数课标要求考情分析1.探索并了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题全国卷基本上没有考过基本不等式，而其他省份屡见不鲜，复习应注意：(1)平时突出对基本不等式取等号的条件及运算能力的强化训练；(2)训练过程中注意对等价转化、分类讨论及逻辑推理能力的培养1.基本不等式：(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当 ab 时取等号.式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2.几个常用的重要不等式(1)aR，a20，|a|0，当且仅当a0时取“”.(2)a，bR，则 a2b2_2ab.3.最值定理即积定和
2、最小，和定积最大.题组一走出误区1.(多选题)下列命题不正确的是()D.两个正数的等差中项不小于它们的等比中项答案：ABC题组二走进教材A.有最小值，且最小值为 2B.有最大值，且最大值为 2C.有最小值，且最小值为2D.有最大值，且最大值为2答案：D3.(必修 5P100A 组第 2 题改编)若 a，bR，且 ab0，则下)列不等式中，恒成立的是(答案：D题组三真题展现4.(2020 年江苏)已知 5x2y2y41(x，yR)，则x2y2的最小值是_.答案：45的最小值为_.答案：4考点 1 利用基本不等式求最值(或取值范围)自主练习18b1.(2018 年天津)已知 a，bR，且 a3b6
3、0，则 2a的最小值为_.解析：由 a3b60，可知 a3b6，为_.答案：43.(2018 年湖北荆州月考)已知 a1，b2，ab 5，则A.4B.8C.9D.6解析：由题意知 a10，b20，又 ab5，(a1)(b2)2，答案：B答案：85.(2018 年江苏)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，ABC120，ABC 的平分线交 AC 于点 D，且BD 1，则 4ac 的最小值为_.解析：由题意可知，SABCSABDSACD，由角平分线性当且仅当 c2a3 时取等号，则 4ac 的最小值为 9.答案：9【题后反思】(1)利用均值不等式及变式求函数的最值时，要注意到合理
4、拆分项或配凑因式，而拆与凑的过程中，一要考虑定理使用的条件(两数都为正)；二要考虑必须使和或积为定值；三要考虑等号成立的条件(当且仅当 ab 时取“”)，即“一正，二定，三相等”.(2)第 3,4,5 题需要将“1”灵活代入所求的代数式中，这种方法叫逆代法.考点 2 基本不等式的证明 师生互动例 1已知正数 a，b 满足 ab1，求证：【题后反思】1.本题考查了基本不等式的应用，以及重要不等式.一般来说，对于 a，b 是正实数，有以下不等式成立：2.第(3)题思路的关键是想到用 ab 来代替 1，这种方法叫逆代法，用这种方法解题最简洁，但想到它不是很容易；思路利用算术平均数与几何平均数的关系，
5、虽然最简洁，但它属于教材以外拓展的内容；思路两次用到基本不等式，不超纲而且简单，但是由于连续两次用到基本不等式，应验证两次“等号”能否成立，而且是否是“同时”成立，这一点在将来的学习中应特别注意.4.在考查(4)(5)(6)(7)题时由于涉及多个等号能否同时成立的问题，同学们最容易忽略.5.在考查(8)(9)的等号何时成立的同时要利用到形如“f(x)【考法全练】1.(2020 年新高考)(多选题)已知a0，b0，且ab1，则()答案：ABD2.(多选题)设正实数 a，b 满足 ab1，则()解析：因为 a，b 是正实数，且仅当 ab 时取等号)，故 A 选项是正确的；且仅当 ab 时取等号)，
6、故 B 选项是不正确的；答案：ACD考点 3 利用基本不等式求参数的取值范围 多维探究立，则 a 的取值范围为_.(2)(2017 年河南八市模拟)已知关于 x 的不等式 2x m 8x1(0 对一切 x(1，)恒成立，则实数 m 的取值范围是)A.m8B.m8D.m10又不等式 2xm 8x10 对x(1，)恒成立，m100，即 m10.故选 D.答案：D则 a_.答案：36【考法全练】则 n 的最大值为()A.3B.4C.14D.8解析：由 abc 知 ab0，bc0，ac0，(当且仅当 abbc 时取等号)，n 的最大值为 4，故选 B.答案：B利用整体法求最值例 3(1)(2018 年
7、河南南阳统考)若实数 x，y 满足 x2y2xy1，则 xy 的取值范围是_.(2)已知 x，yR 且满足 x22xy4y26，则 zx24y2 的取值范围为_.x24y24(当且仅当 x2y 时取等号).又(x2y)262xy0，即2xy6，zx24y262xy12.综上可知4x24y212.答案：4,12【策略指导】本例题主要考查了基本不等式在求最值时的运用.整体思想是解答这类题目的突破口，即 xy 与 x24y2 分别是统一的整体，如何构造出只含 xy(构造 xy 亦可)与 x2 4y2(构造 x2y 亦可)形式的不等式是解本题的关键.【高分训练】(2019 年广东珠海模拟)已知 x0，
8、y0，x3yxy9，则x3y 的最小值为()A.2B.4C.6D.8解析：方法一，由已知得 xy9(x3y)，y1 时取等号，令 x3yt，则 t0，且 t212t1080，解得 t6，即x3y6.答案：C数的最值时，要注意到合理拆分项或配凑因式，而拆与凑的过程中，一要考虑定理使用的条件(两数都为正)；二要考虑必须使和或积为定值；三要考虑等号成立的条件(当且仅当 ab 时取“”)，即“一正，二定，三相等”，在利用基本不等式求最值(值域)时，过多地关注形式上的满足，极容易忽视符号和等号成立条件的满足，这是造成解题失误的关键所在.2.当用基本不等式求函数最值失效时，要转化为研究函数的单调性，利用单调性求最值.3.多次重复使用基本不等式求解时，要考虑在相加相乘时字母应满足的条件及多次使用后等号成立的条件是否一致，若不一致，则不等式中的等号不能成立.
