1、5垂直关系5.1直线与平面垂直课后篇巩固提升基础达标练1.空间中直线l和三角形的两边AC,BC同时垂直,则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是()A.平行B.垂直C.相交D.不确定解析由于直线l和三角形的两边AC,BC同时垂直,而这两边相交于点C,所以直线l和三角形所在的平面垂直,又因三角形的第三边AB在这个平面内,所以lAB.答案B2.给出下列三个命题:一条直线垂直于一个平面内的三条直线,则这条直线和这个平面垂直;一条直线与一个平面内的任何直线所成的角相等,则这条直线和这个平面垂直;一条直线在平面内的投影是一点,则这条直线和这个平面垂直.其中正确的个数是()A.0B.1C.2D.3解析错
2、,对.答案C3.直线a直线b,直线b平面,则a与的关系是()A.aB.aC.aD.a或a解析若a,b平面,可证得ab;若a,过a作平面,=c,b平面,c,则bc,ac,于是ba.故选D.答案D4.如图所示,PA平面ABC,ABC中BCAC,则图中直角三角形的个数为.解析由题意知,PAC,PAB,ACB是直角三角形.因为PA平面ABC,BC平面ABC,所以PABC.又ACBC,PAAC=A,得BC平面PAC,即BCPC.所以PCB是直角三角形.所以共有4个直角三角形.答案45.已知直线l,a,b,平面,若要得到结论l,则需要在条件a,b,la,lb中另外添加的一个条件是.答案a与b相交6.如图,
3、在棱长均为1的直三棱柱ABC-A1B1C1中,D是BC的中点.(1)求证:AD平面BCC1B1;(2)求直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值.(1)证明直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1平面ABC,所以BB1AD,因为AB=AC,D是BC的中点,所以ADBC.又BCBB1=B,所以AD平面BCC1B1.(2)解连接C1D.由(1)知AD平面BCC1B1,则AC1D即为直线AC1与平面BCC1B1所成角.在RtAC1D中,AD=32,AC1=2,sinAC1D=ADAC1=64,即直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值为64.能力提升练1.在ABC中,AB=AC=5,BC=6,PA
4、平面ABC,PA=8,则P到BC的距离是()A.5B.25C.35D.45解析如图所示,作PDBC于点D,连接AD.因为PA平面ABC,所以PABC.又PAPD=P,所以BC平面PAD,所以ADBC.在ACD中,AC=5,CD=3,所以AD=4.在RtPAD中,PA=8,AD=4,所以PD=82+42=45.答案D2.(多选)如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别是CC1,C1D1,D1D,DC的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH上或其内部运动,且使MNAC.下列命题中为正确命题的是()A.点M可以与点H重合B.点M可以与点F重合C.点M可以在线段FH上D.点
5、M可以与点E重合解析由题意知HNAC,FNAC,猜想:M在FH上时,均能满足要求.事实上,若M为FH上异于F,H的任意一点,因为FH底面ABCD,所以HN是斜线MN在底面ABCD上的射影,而HNAC,所以MNAC.由题意知,当M为H或F时,MNAC,所以点M可以与点H重合,A正确;点M可以与点F重合,B正确;点M可以在线段FH上,C正确.因为NEBC1,且BC1与AC不垂直,所以点M不能与点E重合,故D错误.答案ABC3.已知P为ABC所在平面外一点,且PA,PB,PC两两垂直,则下列命题:PABC;PBAC;PCAB;ABBC.其中正确的是.解析由PA,PB,PC两两垂直,可得PA平面PBC
6、,PB平面PAC,PC平面PAB,所以PABC,PBAC,PCAB,故正确.若ABBC,则由PA平面PBC,得PABC,又PAAB=A,所以BC平面PAB,又PC平面PAB,这与过一点有且只有一条直线与已知平面垂直矛盾,故错误.答案4.如图,ABC是正三角形,AE和CD都垂直于平面ABC,且AE=AB=2a,CD=a,F是BE的中点,求证:(1)DF平面ABC;(2)AFBD.证明(1)取AB的中点G,连接FG,CG,可得FGAE,FG=12AE.因为CD平面ABC,AE平面ABC,所以CDAE,且CD=12AE,所以FGCD,FG=CD.所以FG平面ABC,即四边形CDFG是矩形,所以DFC
7、G.又因为CG平面ABC,DF平面ABC,所以DF平面ABC.(2)在RtABE中,因为AE=AB,F为BE的中点,所以AFBE.因为ABC是正三角形,所以CGAB,所以DFAB.因为AE平面ABC,CG平面ABC,所以AECG,所以AEDF,且AEAB=A,所以DF平面ABE,因为AF平面ABE,所以AFDF.因为BEDF=F,BE平面BDE,DF平面BDE,所以AF平面BDE,所以AFBD.素养培优练如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=1,ACB=90,AA1=2,D是A1B1的中点.(1)求证:C1D平面AA1B1B;(2)当点F在BB1上的什么位置时,会使得AB1平面C
8、1DF?证明你的结论.证明(1)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以A1C1=B1C1=1,且A1C1B1=90.又D是A1B1的中点,所以C1DA1B1.因为AA1平面A1B1C1,C1D平面A1B1C1,所以AA1C1D,又A1B1AA1=A1,所以C1D平面AA1B1B.(2)作DEAB1交AB1于点E,延长DE交BB1于点F,连接C1F,则AB1平面C1DF,点F为所求.因为C1D平面AA1B1B,AB1平面AA1B1B,所以C1DAB1.又AB1DF,DFC1D=D,所以AB1平面C1DF.因为AA1=A1B1=2,所以四边形AA1B1B为正方形.又D为A1B1的中点,DFAB1,所以F为BB1的中点,即当点F为BB1的中点时,AB1平面C1DF.
