1、专题05 数 列一、选择题1已知等差数列的公差为，前项和为，则“”是“”的A 充分不必要条件 B 必要不充分条件C 充分必要条件 D既不充分也不必要条件C【解析】，当，可得；当，可得所以“”是“” 充分必要条件，选C2设是数列的前项和，若，则A5 B7 C9 D1 A【解析】，故选A3已知是公差为1的等差数列，为的前项和，若，则A B C DB【解析】设等差数列的首项为，公差为，由题设知，所以，解得，所以4(2018北京)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起
2、，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为A B C DD【解析】从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于，第一个单音的频率为，由等比数列的概念可知，这十三个单音的频率构成一个首项为，公比为的等比数列，记为，则第八个单音频率为，故选D5(2018浙江)已知，成等比数列，且若，则A， B，C， D，B【解析】解法一 因为()，所以，所以，又，所以等比数列的公比若，则，而，所以，与矛盾，所以，所以，所以，故选B解法二 因为，所以，则，又，所以等比数列的公比若，则，而，所以与矛盾，所以，所以，所以，故选B6已知等比数列满足，
3、则A2 B1 C DC【解析】由题意可得，所以，故，7已知数列满足，则的前10项和等于A B C DC【解析】，是等比数列 又，故选C8(2018浙江)已知，成等比数列，且若，则A， B，C， D，B【解析】解法一 因为()，所以，所以，又，所以等比数列的公比若，则，而，所以，与矛盾，所以，所以，所以，故选B解法二 因为，所以，则，又，所以等比数列的公比若，则，而，所以与矛盾，所以，所以，所以，故选B9等比数列的前项和为，且、成等差数列，若，则（ ）ABCD【答案】C【解析】设等比数列的公比为，由于、成等差数列，且，即，即，解得，因此，.故选：C.二、填空题10中位数为1010的一组数构成等差
4、数列，其末项为2015，则该数列的首项为_5【解析】设该数列的首项为，由等差数列的性质知，所以11若等差数列满足，则当_时，的前项和最大8【解析】数列是等差数列，且，又，当=8时，其前项和最大12在等差数列中，公差为，前项和为，当且仅当时取最大值，则的取值范围_【解析】由题意可知，当且仅当时取最大值，可得，解得13等比数列的各项均为实数，其前项的和为，已知，则= 32【解析】设的公比为，由题意，由，所以，由，得，所以14若三个正数，成等比数列，其中，则_1【解析】因为三个正数，成等比数列，所以，因为，所以15数列中为的前n项和，若，则 6【解析】，数列是首项为2，公比为2的等比数列，16已知数
5、列中，()，则数列的前9项和等于_27【解析】，所以数列是首项为1，公差为的等差数列，所以前9项和17数列满足，且（），则数列前10项的和为 【解析】由题意得：所以18(2018江苏)已知集合，将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列记为数列的前项和，则使得成立的的最小值为 27【解析】所有的正奇数和()按照从小到大的顺序排列构成，在数列 中，前面有16个正奇数，即，当时，不符合题意；当时，不符合题意；当时，不符合题意；当时，不符合题意；当时，= 441 +62= 503=540，符合题意故使得成立的的最小值为2719已知是等差数列，公差不为零若，成等比数列，且，则 ， 【解析】由题可得，故有
6、，又因为，即，所以20已知数列满足：（），若，则 .【答案】【解析】试题分析：因,故当时,即时,即,所以;当时,即时,可得,不成立,所以,应填.21已知等差数列的前项和是，公差，且成等比数列，则_【答案】【解析】因为成等比数列，所以，解得，从而，所以.故答案为：175三、解答题22（2018全国卷）记为等差数列的前项和，已知，(1)求的通项公式；(2)求，并求的最小值【解析】(1)设的公差为，由题意得由得所以的通项公式为(2)由(1)得所以当时，取得最小值，最小值为1623对于给定的正整数，若数列满足对任意正整数总成立，则称数列是“数列”（1）证明：等差数列是“数列”；（2）若数列既是“数列”
7、，又是“数列”，证明：是等差数列【解析】证明:（1）因为是等差数列，设其公差为，则，从而，当时，所以，因此等差数列是“数列”.（2）数列既是“数列”，又是“数列”，因此，当时，当时，.由知，将代入，得，其中，所以是等差数列，设其公差为.在中，取，则，所以，在中，取，则，所以，所以数列是等差数列.24（2018全国卷）已知数列满足，设(1)求，；(2)判断数列是否为等比数列，并说明理由；(3)求的通项公式【解析】(1)由条件可得将代入得，而，所以，将代入得，所以，从而，(2)是首项为1，公比为2的等比数列由条件可得，即，又，所以是首项为1，公比为2的等比数列(3)由(2)可得，所以25（2018
8、全国卷）等比数列中，(1)求的通项公式；(2)记为的前项和若，求【解析】(1)设的公比为，由题设得由已知得，解得（舍去），或故或(2)若，则由得，此方程没有正整数解若，则由得，解得综上，26（2018浙江）已知等比数列的公比，且，是，的等差中项数列满足，数列的前项和为(1)求的值；(2)求数列的通项公式【解析】(1)由是，的等差中项得，所以，解得由得，因为，所以(2)设，数列前项和为由，解得由(1)可知，所以，故，设，所以，因此，所以27记为等比数列的前项和，已知，(1)求的通项公式；(2)求，并判断，是否成等差数列。【解析】（1）设的公比为由题设可得 ，解得，故的通项公式为（2）由（1）可得
9、由于，故，成等差数列28已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，(1)若，求的通项公式；(2)若，求【解析】设的公差为，的公比为，则，由得， （1）由得， 联立和解得（舍去），因此的通项公式为（2）由，得解得，当时，由得，则当时，由得 ，则29已知是各项均为正数的等比数列，且， ()求数列通项公式；() 为各项非零的等差数列，其前项和，已知，求数列的前项和【解析】 ()设数列的公比为，由题意知，又，解得，所以()由题意知又,，所以,令,则因此，又,两式相减得，所以30（2018天津）设是等差数列，其前项和为()；是等比数列，公比大于0，其前项和为()已知，(1)求和；(2)若，求正整数的值
10、【解析】(1)设等比数列的公比为，由，可得因为，可得，故所以设等差数列的公差为由，可得由，可得 从而，故，所以(2)由(1)，知 由可得，整理得，解得（舍），或所以的值为431设数列满足(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和【解析】（1）因为，故当时，两式相减得所以又由题设可得从而的通项公式为 =.（2）记的前项和为，由（1）知则32（2018江苏）设是首项为，公差为的等差数列，是首项为，公比为的等比数列(1)设，若对均成立，求的取值范围；(2)若，证明：存在，使得对均成立，并求的取值范围（用表示）【解析】(1)由条件知：,因为对=1，2，3，4均成立，即对=1，2，3，4均成立，即11，1
11、3，35，79，得因此，的取值范围为(2)由条件知：,若存在，使得(=2，3，+1)成立，即(=2，3，+1)，即当时，满足因为，则，从而，对均成立因此，取=0时，对均成立下面讨论数列的最大值和数列的最小值（）当时，当时，有，从而因此，当时，数列单调递增，故数列的最大值为设，当时，所以单调递减，从而当时，因此，当时，数列单调递减，故数列的最小值为因此，的取值范围为33（2017浙江）已知数列满足：，证明：当时（）；（）；（）*根据亲所在地区选用，新课标地区（文科）不考【解析】（）用数学归纳法证明：当时，假设时，那么时，若，则，矛盾，故因此所以因此（）由得记函数函数在上单调递增，所以=0，因此故
12、（）因为所以得由得所以 故综上， 34对于给定的正整数，若数列满足对任意正整数总成立，则称数列是“数列”（1）证明：等差数列是“数列”；（2）若数列既是“数列”，又是“数列”，证明：是等差数列【解析】证明:（1）因为是等差数列，设其公差为，则，从而，当时，所以，因此等差数列是“数列”.（2）数列既是“数列”，又是“数列”，因此，当时，当时，.由知， ，将代入，得，其中，所以是等差数列，设其公差为.在中，取，则，所以，在中，取，则，所以，所以数列是等差数列.35已知数列的首项为1，为数列的前项和，其中，()若成等差数列，求数列的通项公式；()设双曲线的离心率为，且，求【解析】（）由已知， 两式相
13、减得到.又由得到，故对所有都成立.所以，数列是首项为1，公比为q的等比数列.从而.由成等差数列，可得，所以，故.所以.（）由（）可知，.所以双曲线的离心率.由解得.所以，36设数列的前项和为.已知=4，=2+1，.（I）求通项公式；（II）求数列的前项和.【解析】（1）由题意得：，则，又当时，由，得，所以，数列的通项公式为.（2）设，.当时，由于，故.设数列的前项和为，则.当时，所以，.37已知数列满足，且.(1)证明数列是等差数列，并求数列的通项公式.(2)若，求数列的前项和.【答案】（1）见解析，（2）【解析】(1)因为两边都加上，得所以，即，所以数列是以为公差，首项为的等差数列所以，即(
14、2)因为，所以数列的前项和，则，由，得，所以38已知数列满足，且时，成等差数列（1）求证：数列为等比数列；（2）求数列的前项和【答案】（1）证明见解析 （2）2nn1【解析】（1）证明：由题意，当时，成等差数列，则，即，又，数列是以1为首项，2为公比的等比数列（2）解：由（1），知，即，39在等比数列中，公比为，.（）求数列的通项公式；（）设，求数列的前项和.【答案】（）；（）【解析】（）因为公比为的等比数列中，所以，当且仅当，时成立.此时公比，所以.（）因为，所以，.故数列的前项和.40.已知数列满足：，且是、的等比中项.（）求数列的通项公式；（）设，求数列的前和.【答案】（）（）【解析】解：（）由可知道，数列是等差数列，且，解得，；（），所以.
