1、第九章第8讲 第2课时A级基础达标1(2020年道里区校级模拟)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点F是椭圆1的一个焦点(1)求抛物线C的方程；(2)设P，M，N为抛物线C上的不同三点，点P(1,2)，且PMPN，求证：直线MN过定点(1)解：依题意椭圆1的一个焦点为F(1,0)，抛物线C：y22px(p0)的焦点F是椭圆1的一个焦点可得1，所以p2，所以抛物线C：y24x.(2)证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，设直线MN的方程为xmyn，与抛物线联立得y24my4n0，y1y24n，y1y24m，x1x2(my1n)(my2n)m2y1y2mn(y1y2)n2，x1x2m(y1
2、y2)2n，由PMPN得(x11，y12)(x21，y22)0.化简得n26n4m28m50，解得n2m5或n2m1(舍去)，所以直线MN：xmy2m5过定点(5，2)2(2020年沈河区校级模拟)如图，已知椭圆C：y21上顶点为A，右焦点为F，直线AF与圆M：x2y26x2y70相切，其中a1.(1)求椭圆的标准方程；(2)不过点A的动直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且APAQ，求证：动直线l过定点，并且求出该定点坐标(1)解：椭圆C：y21上顶点为A(0,1)，右焦点为F(，0)，则直线AF的方程为xy0，圆M：x2y26x2y70的圆心为(3,1)，半径为，由直线和圆相切的条件可得，解得
3、a(负的舍去)，则椭圆的标准方程为y21.(2)证明：APAQ，从而直线AP与坐标轴不垂直，由A(0,1)，可设直线AP的方程为ykx1，得到直线AQ的方程为yx1(k0)，将ykx1代入椭圆C的方程y21中，并整理得(13k2)x26kx0，解得x0或x，可得P的坐标为，即.将上式中的k换成，同理可得Q.则直线PQ的斜率为kPQ，所以直线l的方程为y，整理得直线l的方程为yx，则直线l过定点.B级能力提升3(2020年衡水模拟)已知抛物线C：x24y的焦点为F，O为坐标原点，过点F的直线l与C交于A，B两点(1)若直线l与圆O：x2y2相切，求直线l的方程；(2)若直线l与x轴的交点为D，且
4、，试探究：是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由解：(1)由已知得F(0,1)，显然直线l的斜率存在，设l：ykx1.由直线l与圆O：x2y2相切，得，解得k，即直线l的方程为yx1.(2)设l：xm(y1)(m0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)联立消去x可得m2y22(m22)ym20，所以y1y2，y1y21.易知D(m,0)，由，得(x1m，y1)(x1,1y1)，所以，同理，所以1，所以为定值1.4如图所示，已知F(，0)为椭圆C：1(ab0)的右焦点，B1，B2，A为椭圆的下、上、右三个顶点，B2OF与B2OA的面积之比为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)试探
5、究在椭圆C上是否存在不同于点B1，B2的一点P满足下列条件：点P在y轴上的投影为Q，PQ的中点为M，直线B2M交直线yb0于点N，B1N的中点为R，且MOR的面积为.若不存在，请说明理由；若存在，求出点P的坐标解：(1)由已知得.又c，所以a2，则b2a2c21.所以椭圆C的标准方程为y21.(2)假设存在满足条件的点P，设其坐标为P(x0，y0)(x00)，则Q(0，y0)，且M.又B2(0,1)，所以直线B2M的方程为yx1.因为x00，所以y01，令y1，得N.又B1(0，1)，则R，所以|MR|.直线MR的方程为yy0，即2yy0x0x20，所以点O到直线MR的距离为d1，所以SMOR|MR|d1，解得y0.又y1，所以x0.所以存在满足条件的点P，其坐标为.
