1、高考资源网（） 您身边的高考专家第1讲几何体的表面积与体积、线面位置关系的判断考情考向高考导航1“立体几何”在高考中一般会以“两小一大”或“一小一大”的命题形式出现，这“两小”或“一小”主要考查三视图，与球有关的组合体、几何体的表面积与体积，空间点、线、面的位置关系(特别是平行与垂直)2考查一个小题时，本小题一般会出现在第67题的位置上，难度中档考查两个小题时，其中一个小题难度中低档，另一小题难度稍高，一般会出现在第911题的位置上，有时也出现在压轴小题的位置上真题体验1(全国卷)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A12 B.C8 D4解析：A由正方体的体积为8可知，正
2、方体的棱长a2.又正方体的体对角线是其外接球的一条直径，即2Ra(R为正方体外接球的半径)，所以R，故所求球的表面积S4R212.故选A.2(2018全国卷)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()A12B12C8 D10解析：B圆柱的轴截面是面积为8的正方形，设圆柱的底面半径为R，高为h，则(2R)28，R，h2R2.该圆柱的表面积为2R22Rh2()22212.3(2019江苏卷)如图，长方体ABCDA1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥EBCD的体积是_解析：本题蕴含“整体和局部”的对
3、立统一规律在几何体面积或体积的计算问题中，往往需要注意理清整体和局部的关系，灵活利用“割”与“补”的方法解题因为长方体ABCDA1B1C1D1的体积为120，所以ABBCCC1120，因为E为CC1的中点，所以CECC1，由长方体的性质知CC1底面ABCD，所以CE是三棱锥EBCD的底面BCD上的高，所以三棱锥EBCD的体积VABBCCEABBCCC112010.答案：104(2018全国卷)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30，若SAB的面积为8，则该圆锥的体积为_解析：如图SAO30，设圆锥的底面圆半径为R，则SORtan 30R，SAR，又SASB，SA
4、B的面积SSASB28.R2，圆锥的体积为VR2SOR3(2)38.答案：8主干整合1棱柱、棱锥(1)棱柱的性质侧棱都相等，侧面是平行四边形；两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；直棱柱的侧棱长与高相等且侧面与对角面是矩形(2)正棱锥的性质侧棱相等，侧面是全等的等腰三角形，斜高(侧面等腰三角形底边上的高)相等；棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影构成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也构成一个直角三角形；某侧面上的斜高、侧棱及底面边长的一半也构成一个直角三角形；侧棱在底面内的射影、斜高在底面内的射影及底面边长的一半也构成一个直角三角形2几
5、何体与球的切接问题(1)解决球的内接长方体、正方体、正四棱柱等问题的关键是把握球的直径即是棱柱的体对角线(2)解决柱、锥的内切球问题的关键是找准切点位置，化归为平面几何问题3直线、平面平行的判定及其性质(1)线面平行的判定定理：a，b，aba.(2)线面平行的性质定理：a，a，bab.(3)面面平行的判定定理：a，b，abP，a，b.(4)面面平行的性质定理：，a，bab.4直线、平面垂直的判定及其性质(1)线面垂直的判定定理：m，n，mnP，lm，lnl.(2)线面垂直的性质定理：a，bab.(3)面面垂直的判定定理：a，a.(4)面面垂直的性质定理：，l，a，ala.热点一空间几何体的表面
6、积与体积直观想象素养直观想象三视图中体现的核心素养直观想象即通过几何直观和空间想象感知几何体的形状与变化本例通过几何体的三视图直观感知几何体的形状与相关度量，想象几何体的结构特征. 例1(1)(2019全国卷)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型如图，该模型为长方体ABCDA1B1C1D1，挖去四棱锥OEFGH后所得的几何体其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，ABBC6 cm，AA14 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为_g.解析由题知挖去的四棱锥的底面是一个菱形，对角线长分别为6 cm和4 cm，故V挖去的四
7、棱锥46312(cm3)又V长方体664144(cm3)，所以模型的体积为V长方体V挖去的四棱锥14412132(cm3)，所以制作该模型所需原料的质量为1320.9118.8(g)答案118.8(2)如图，四棱锥PABCD的底面ABCD为平行四边形，NB2PN，则三棱锥NPAC与三棱锥DPAC的体积比为()A12B18C16 D13解析D通解：设点P，N在平面ABCD内的投影分别为点P，N，则PP平面ABCD，NN平面ABCD，所以PPNN，则在BPP中，由BN2PN得.V三棱锥NPACV三棱锥PABCV三棱锥NABCSABCPPSABCNNSABC(PPNN)SABCPPSABCPP，V三
8、棱锥DPACV三棱锥PACDSACDPP，又因为四边形ABCD是平行四边形，所以SABCSACD，所以.优解：两三棱锥同底，体积比等于点N与点D到平面PAC的距离比，点D到面PAC的距离等于点B到面PAC的距离因为距离比为13，故体积比也为13.求解几何体的表面积及体积的技巧(1)求几何体的表面积及体积问题，可以多角度、多方位地考虑，熟记公式是关键所在求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转换原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上(2)求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解(1)如图所示，在直三棱柱A1B1C1ABC中，ACBC，AC4，B
9、CCC12.若用平行于三棱柱A1B1C1ABC的某一侧面的平面去截此三棱柱，使得到的两个几何体能够拼接成长方体，则长方体表面积的最小值为_解析：由题意知，拼接后的长方体有两种情形：一是长方体的高为2，底面是边长为2的正方形；二是长方体的高为2，底面是长为4，宽为1的矩形所以其表面积分别为24,28，故长方体表面积的最小值为24.答案：24(2)(2019天津卷)已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_解析：圆柱的底面半径是棱锥底面对角线长度的一半、不是底边棱长的一半四棱锥的高为2，故圆柱
10、的高为1，圆柱的底面半径为，故其体积为21.答案：热点二与球有关的组合体例2(1)(2019全国卷)已知三棱锥PABC的四个顶点在球O的球面上，PAPBPC，ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，CEF90，则球O的体积为()A8B4C2 D.审题指导由CEF90，可得EC，利用余弦定理可求PAPBPCPAPBPC，利用外接球的直径是由该几何体补成的正方体的体对角线求R，可得球体积解析D设PAPBPC2a，则EFa，FC，EC23a2.在PEC中，cosPEC.在AEC中，cosAEC.PEC与AEC互补，34a21，a，故PAPBPC.又ABBCAC2，PAPBPC，外接
11、球的直径2R，R，VR33.故选D.(2)(全国卷)在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球若ABBC，AB6，BC8，AA13，则V的最大值是()A4 B.C6 D.解析B由ABBC，AB6，BC8，得AC10.要使球的体积V最大，则球与直三棱柱的部分面相切若球与三个侧面相切，设底面ABC的内切圆的半径为r，则68(6810)r，所以r2,2r43，不合题意球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径R最大由2R3，即R.故球的最大体积VR3.故选B.多面体、旋转体与球接、切问题的求解策略(1)过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题(2)利用平
12、面几何知识寻找几何体元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解(3)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PAa，PBb，PCc，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，用4R2a2b2c2求解(2017全国卷)已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径，若平面SCA平面SCB，SAAC，SBBC，三棱锥SABC的体积为9，则球O的表面积为_解析：取SC的中点O，连接OA，OB(图略)，因为SAAC，SBBC，所以OASC，OBSC，因为平面SCA平面SC
13、B，所以OA平面SBC，设OAr，VASBCSSBCOA2rrrr3，所以r39r3，所以球的表面积为S4r236.答案：36热点三空间线面位置关系的判断例3(1)(2019武昌三模)已知m，n为异面直线，m平面，n平面.直线l满足lm，ln，l，l，则()A且lB且lC与相交，且交线垂直于lD与相交，且交线平行于l解析D通解：若，则mn，这与m、n为异面直线矛盾，所以A不正确将已知条件转化到正方体中，易知与不一定垂直，但与的交线一定平行于l，从而排除B、C.故选D.优解：构造图形如图所示，知D项正确(2)(2019北京卷)已知l，m是平面外的两条不同直线给出下列三个论断：lm；m；l.以其中
14、的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：_.解析已知l，m是平面外的两条不同直线，由lm与m，不能推出l，因为l可以与平行，也可以相交不垂直；由lm与l能推出m；由m与l可以推出lm.故正确的命题是或.答案或判断与空间位置关系有关的命题真假的方法1借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断2借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结合有关定理，进行判断(1)(2020江西八校联考)设有两条直线m，n和三个平面，.给出下面四个命题：m，nmn，n；，m，mm；，mm；，.其中正确命题的个数是()A1B2C3 D
15、4解析：B中：m，nm不能得出n，n.因为n可能在或内，故错误；，m，m，根据直线与平面平行的判定，可得m，故正确；，m，根据面面平行的性质定理可得m，故正确；，则与可能平行也可能相交，故错误(2)(2019大庆二模)已知，是两个不同的平面，l，m，n是不同的直线，下列命题不正确的是()A若lm，ln，m，n，则lB若lm，l，m，则lC若，l，m，ml，则mD若，m，n，是mn解析：A若lm，ln，m，n，不能推出l，缺少条件m与n相交，故不正确限时40分钟满分80分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1(2019上海徐汇区模拟)魏晋时期数学家刘徽在他的著作九章算术注中，称一
16、个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为4.若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为()A16B16C. D.解析：C若正方体的棱长为2，则其内切球的半径r1，正方体的内切球的体积V球13.又已知，V牟合方盖.故选C.2(2020四省八校联考)m，n是两条不同的直线，是平面，n，则m是mn的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分又不必要条件解析：A当m时，在平面内存在一条直线b，使得bm，结合n，知nb，所以nm，所以m是mn的充分条件；当n，mn时，m或m，所以m是mn的不必要条件
17、综上，m是mn的充分不必要条件，故选A.3(2019黄山市一模)九章算术卷5商功记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺高一丈一尺问积几何？答曰：二千一百一十二尺术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”就是说：圆堡瑽(圆柱体)的体积为V(底面圆的周长的平方高)，则由此可推得圆周率的取值为()A3 B3.1C3.14 D3.2解析：A圆堡瑽(圆柱体)的体积为V(底面圆的周长的平方高)，(2r)2hr2h，解得3.故选A.4(多选)(2020江西省红色七校联考)设m，n是空间中两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是()A若
18、mn，n，则m或mB若m，n，则mnC若，m，则mD若m，n，m，n，则解析：AC若mn，n，则m或m，所以选项A正确；若m，n，则mn或m与n异面，所以选项B不正确；由面面平行的性质、线面垂直的性质知选项C正确；若m，n，m，n，则或与相交，所以选项D不正确故选AC.5.(2019山东省实验中学模拟)我国古代九章算术里，记载了一个“商功”的例子：今有刍童，下广二丈，袤三丈，上广三丈，袤四丈，高三丈问积几何？其意思是：今有上下底面皆为长方形的草垛(如图所示)，下底宽2丈，长3丈，上底宽3丈，长4丈，高3丈问它的体积是多少？该书提供的算法是：上底长的2倍与下底长的和与上底宽相乘，同样下底长的2倍
19、与上底长的和与下底宽相乘，将两次运算结果相加，再乘以高，最后除以6.则这个问题中的刍童的体积为()A13.25立方丈 B26.5立方丈C53立方丈 D106立方丈解析：B由题意知，刍童的体积为(423)3(324)23626.5(立方丈)，故选B.6. (2019山东滨州模拟)如图，圆柱O1O2的底直径与高都等于球O的直径，记圆柱O1O2的表面积为S1，球O的表面积为S2，则()A1 B.C. D.解析：C设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R.所以球的表面积S24R2，圆柱的表面积S12R2RR2R26R2，则，故选C.7.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结
20、构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，从外表看，六根等长的正四棱柱分成三组，经90榫卯起来，如图若正四棱柱的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为(容器壁的厚度忽略不计)()A42 B22C41 D21解析：C表面积最小的球形容器可以看成长、宽、高分别为2,1,6的长方体的外接球设其半径为R，则R2322，所以该球形容器的表面积的最小值为4R241.8(2018新课标卷)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正
21、切值为()A. B.C. D.解析：C如图取DD1的中点F，连接AF、EF，则EFCD，AEF即是AE与CD所成的角，设正方体的棱长为a，在直角三角形AFE中，EFa，AF a，tanAEF.9(2019益阳三模)在三棱锥PABC中，PA平面ABC，ABBC，若AB2，BC3，PA4，则该三棱锥的外接球的表面积为()A13 B20C25 D29解析：D把三棱锥PABC放在长方体中，如图所示，所以长方体的体对角线长为，所以三棱锥外接球的半径为，所以外接球的表面积为4229.10(2019山东日照模拟)设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是()A若m，n，mn，则B若m，
22、n，mn，则C若m，n，mn，则D若m，n，mn，则解析：B对于A，B，mn，m，n确定一个平面.又m，平面与平面交于直线l，nl.n，l.又l，根据面面垂直的判定定理得，故A错误，B正确对于C，D，由m与mn不能得到n与平面的关系，故根据n不能得到与的关系例如在如图所示的正方体中，令直线ABm，直线BCn，平面A1B1C1D1，平面CDD1C1，但平面A1B1C1D1与平面CDD1C1不平行，故C错误；令直线ABm，直线BC1n，平面A1B1C1D1，平面A1B1CD，但平面A1B1C1D1与平面A1B1CD不垂直，所以D错误故选B.11(2019陕西汉中质检)已知l，m表示两条不同的直线，
23、表示两个不同的平面，l，m，则有下面四个命题：若，则lm；若，则lm；若lm，则.若lm，则.其中所有正确的命题是()A BC D解析：A本题考查线线平行与垂直、面面平行与垂直的判断因为l，根据面面平行的性质知l，又m，则lm，故正确；若，l，则l可能在内或与平行，则l可能与m相交、平行或异面，故错误；由lm，l可推出m，又m，根据面面垂直的判定定理可知，故正确；若，的交线为m，则lm，推不出，故错误故选A.12(2020陕西省质量检测)已知三棱锥SABC中，SA平面ABC，且ACB30，AC2AB2.SA1.则该三棱锥的外接球的体积为()A. B13C. D.解析：DACB30，AC2AB2
24、，ABC是以AC为斜边的直角三角形，其外接圆半径r，则三棱锥外接球即为以ABC为底面，以SA为高的三棱锥的外接球三棱锥外接球的半径R满足R .故三棱锥外接球的体积VR3.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13(2020黄冈模拟)三棱锥PABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥DABE的体积为V1，PABC的体积为V2，则_.解析：如图所示，由于D，E分别是边PB与PC的中点，所以SBDESPBC.又因为三棱锥ABDE与三棱锥APBC的高长度相等，所以.答案：14(2019全国卷)已知ACB90，P为平面ABC外一点，PC2，点P到ACB两边AC，BC的距离均为，那么P到
25、平面ABC的距离为_解析：过P作PDAC于D，PEBC于E，PO平面ABC于O.连OD，OE，PDPE，PC2，CDCE1.由题意，四边形ODCE为圆内接四边形，又ACB90四边形ODCE为正方形，OD1，PO.即点P到平面ABC的距离为.答案：15(2019银川市模拟)把边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，此三棱锥的外接的表面积的大小等于_解析：如图所示，当平面BAC平面DAC时，三棱锥体积最大，取AC的中点E，连接BE和DE，则BE平面DAC，且AEBECEDE，E是此三棱锥外接球的球心，且半径为；此三棱锥外接球的表面积为422.答案：216.如图所示，是某正方体的平面展开图，在这个正方体中，BM与ED平行；CN与BE是异面直线；CN与BM成60角；DM与BN垂直解析：如图所示，把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，显然BM与ED为异面直线，故命题不成立；而CN与BE平行，故命题不成立BECN，CN与BM所成角为MBE.MBE60，故正确；BC平面CDNM，BCDM，又DMNC，DM平面BCN，DMBN，故正确，故填.答案：- 17 - 版权所有高考资源网
