1、3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式第1课时两角和与差的正弦、余弦公式学 习 目 标核 心 素 养1.掌握用两角差的余弦公式推导两角和的余弦公式和两角差与和的正弦公式(重点)2.会利用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数求值、化简和证明(重点)3.熟练两角和与差的正弦、余弦公式地灵活运用，了解公式的正用、逆用和变用等常用方法(难点、易混点)1.借助用两角差的余弦公式推导两角和的余弦公式以及两角和与差的正弦公式，培养学生的逻辑推理素养.2.通过用两角和与差的正弦、余弦公式进行化简、求值，提升学生的数学运算和数据分析素养.1两角和与差的余弦公式名称简记符号公式使用条件两角差的余弦公式
2、C()cos()cos cos sin sin ，R两角和的余弦公式C()cos()cos cos sin sin ，R2.两角和与差的正弦公式名称简记符号公式使用条件两角和的正弦公式S()sin()sin cos cos sin ，R两角差的正弦公式S()sin()sin cos cos sin ，R思考：sin()sin sin 成立吗？你能举出一例吗？提示不一定成立，如sinsinsin.3两角和余弦公式的推导由()，cos()cos()cos cos()sin sin()cos cossin sin .1sin 20cos 10cos 160sin 10()AB.CD.D原式sin 2
3、0cos 10cos 20sin 10sin(2010)sin 30.2cos 57cos 3sin 57sin 3的值为()A0 B. C. Dcos 54B原式cos(573)cos 60.3若cos ，是第三象限的角，则sin .cos ，是第三象限的角，sin ，sinsin cos .4.cos 15sin 15 .原式sin 30cos 15cos 30sin 15sin 45.给角求值问题【例1】(1)cos 70sin 50cos 200sin 40的值为()ABC.D.(2)若是第二象限角且sin ，则cos(60) .(3)求值：(tan 10).(1)D(2)(1)cos
4、 200cos(18020)cos 20sin 70，sin 40cos 50，原式cos 70sin 50(sin 70)cos 50sin(5070)sin 120.(2)是第二象限角且sin ，cos ，cos(60)cos sin .(3)解原式(tan 10tan 60)2.解决给角求值问题的策略(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式提醒：在逆用两角和与差的正弦和
5、余弦公式时，首先要注意结构是否符合公式特点，其次注意角是否满足要求1化简求值：(1)；(2)sin(75)cos(45)cos(15)解(1)原式sin 30.(2)设15，则原式sin(60)cos(30)cos cos 0.给值求值问题【例2】(1)已知sin ，cos ，且为第一象限角，为第二象限角，求sin()和sin()的值；(2)求值：sincos；(3)已知，cos()，sin()，求cos 2与cos 2的值思路点拨：(1)采用直接法：(2)采用常值代换：转化逆用公式(3)采用角的代换解(1)为第一象限角且sin ，cos .又为第二象限角且cos ，sin ，sin()sin
6、 cos cos sin .sin()sin cos cos sin .(2)sin cos 222sin2sin.(3)，0，.又cos()，sin()，sin()，cos().cos 2cos ()()cos()cos()sin()sin()，cos 2cos()()cos()cos()sin()sin().给值求值的方法(1)直接法：当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式.(2)常值代换：用某些三角函数代替某些常数，使之代换后能运用相关的公式，我们把这种代换称为常值代换，其中特别要注意的是“1”的代换，如1sin2cos2，1tan 45，1sin 90等
7、.1，等均可视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数换为三角函数使用.(3)角的代换：将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式，像这样的代换方法就是角的代换.,常见的有：()，()，2若sin，cos，且0，求sin()的值解0，0，又sin，cos，cos，sin.sin()coscos.给值求角【例3】已知cos ，sin()，0，0，求角的值思路点拨：解因为0，cos ，所以sin .又因为0，所以0.因为sin()sin ，所以，所以cos()，所以sin sin()sin()cos cos()sin .又因为0，所以.求解给值求角的关键两点(1)求出所求角的某种三角函数值；(2)确
8、定角的范围.一旦做好这两个环节，结合三角函数的性质与图象，便可求解.提醒：确定所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目，结合所给角的范围确定.3已知cos ，sin()，且，.求：(1)cos(2)的值；(2)的值解(1)因为，所以，又sin()0，所以0，所以sin ，cos()，cos(2)cos()cos cos()sin sin().(2)cos cos()cos cos()sin sin()，又因为，所以.辅助角公式的应用探究问题1能否将函数ysin xcos x(xR)化为yAsin(x)的形式？提示：能ysin xcos xsin.2如何推导asin xbcos xsin(x)公式
9、？提示：asin xbcos x，令cos ，sin ，则asin xbcos x(sin xcos cos xsin )sin(x)(其中角所在象限由a，b的符号确定，角的值由tan 确定，或由sin 和cos 共同确定)【例4】(1)sincos .(2)已知a(，1)，b(sin x，cos x)，xR，f(x)ab，求函数f(x)的周期，值域，单调递增区间思路点拨：解答此类问题的关键是巧妙构建公式C()、C()、S()、S()的右侧，逆用公式化成一个角的一种三角函数值(1)原式2.法一：(化正弦)原式222sin2sin.法二：(化余弦)原式222cos2cos.(2)解f(x)sin
10、 xcos x222sin，T2，值域2,2由2kx2k，得递增区间，kZ.1若将本例(2)中a(，1)改为a(1，)，其他条件不变，如何解答？解f(x)sin xcos x22cos，T2，值域为2,2，由2kx2k，得递增区间，kZ.2若将本例(2)中a(，1)改为a(m，m)其中m0，其他条件不变，应如何解答？解f(x)msin xmcos xmsin，T2，值域为m，m，由2kx2k，得递增区间，kZ.辅助角公式及其运用(1)公式形式：公式asin bcos sin()(或asin bcos cos()将形如asin bcos (a，b不同时为零)的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函
11、数式.(2)形式选择：化为正弦还是余弦，要看具体条件而定，一般要求变形后角的系数为正，这样更有利于研究函数的性质.提醒：在使用辅助角公式时常因把辅助角求错而致误.1公式的推导和记忆(1)理顺公式间的逻辑关系C()C()S()S()(2)注意公式的结构特征和符号规律对于公式C()，C()可记为“同名相乘，符号反”；对于公式S()，S()可记为“异名相乘，符号同”(3)符号变化是公式应用中易错的地方，特别是公式C()，C()，S()，且公式sin()sin cos cos sin ，角，的“地位”不同也要特别注意2应用公式需注意的三点(1)要注意公式的正用、逆用，尤其是公式的逆用，要求能正确地找出
12、所给式子与公式右边的异同，并积极创造条件逆用公式(2)注意拆角、拼角的技巧，将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式(3)注意常值代换：用某些三角函数值代替某些常数，使之代换后能运用相关公式，其中特别要注意的是“1”的代换，如1sin2cos2，1sin 90，cos 60，sin 60等，再如：0，等均可视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数换为三角函数1下列说法不正确的是()A存在角，使得cos()cos cos sin sin B任意角，都有sin()sin cos cos sin C存在角，使sin()sin cos cos sin D存在角，使sin()sin cos cos sin CA对，当2k时，cos 1，sin 0，等式成立；B对，这是恒等式，对任意，均成立；C错，sin()sin cos cos sin 恒成立；D对，2k时，等式成立2化简cos xsin x等于()A2sinB2cosC2sin D2cosDcos xsin x222cos.3cos cos()sin sin() .cos cos cos()sin sin()cos()cos .4已知，均为锐角，sin ，cos ，求.解，均为锐角，sin ，cos ，sin ，cos .sin sin ，0，sin()sin cos cos sin ，.
