1、【解析分类汇编系列三：北京2013（二模）数学理】5：数列一、选择题 1 （2013北京海淀二模数学理科）若数列满足:存在正整数,对于任意正整数都有成立,则称数列为周期数列,周期为. 已知数列满足,则下列结论中错误的是（）A若,则可以取3个不同的值 B若,则数列是周期为的数列 C且,存在,是周期为的数列 D且,数列是周期数列【答案】DA,若,若，解得，成立。若，解得成立。若，解得，成立。若，解得。若，解得，成立。若，解得，但此时不满足舍去。所以当时，或或，即可以取3个不同的值，所以A正确。B若，则，所以。此时数列是周期为的数列，所以正确。C由B可知，当时，数列是周期为的数列，所以C正确。所以下
2、列结论中错误的是D. 2 （2013北京顺义二模数学理科）已知数列中,等比数列的公比满足,且,则（）ABCD【答案】B因为，所以，所以，即是公比为4的等比数列，所以，选B.3 （2013北京海淀二模数学理科）已知数列是公比为的等比数列,且,则的值为（）ABC或D或【答案】D由，得，解得。当时，此时。当时，此时。选D.4 （2013北京房山二模数学理科）已知数列的前项和为,则（）ABCD【答案】C由得，所以，即。所以数列是以为首项，公比的等比数列，所以，选C.5 （2013北京昌平二模数学理科）设等比数列的公比为,其前项的积为,并且满足条件,.给出下列结论: ; ; 的值是中最大的; 使成立的最
3、大自然数等于198.其中正确的结论是（）ABCD【答案】B由得，由得，即，所以，所以正确。因为，所以，即错误。，所以错误。，而，所以使成立的最大自然数等于198，所以正确。所以选B.二、填空题 6（2013北京房山二模数学理科）在数列中,如果对任意的,都有(为常数),则称数列为比等差数列,称为比公差.现给出以下命题:若数列满足,则该数列不是比等差数列;若数列满足,则数列是比等差数列,且比公差;等比数列一定是比等差数列,等差数列一定不是比等差数列;若是等差数列,是等比数列,则数列是比等差数列.其中所有真命题的序号是_ . 【答案】由得。，因为，所以，即数列不是比等差数列。所以正确。若数列满足，则
4、，所以为常数，所以数列是比等差数列，且比公差，正确。若等比数列的公比为,则为常数，所以一定是比等差数列。当等差数列为时，有，为比等差数列。所以错误。若是等差数列，是等比数列，不妨设，则，所以，所以不是常数，所以数列不是比等差数列，所以错误，即真命题的序号。7（2013北京东城高三二模数学理科）各项均为正数的等比数列的前项和为,若,则的值为_,的值为_. 【答案】 若公比，则，不满足，所以。所以由，得，解得或（舍去），。所以，所以。8（2013北京西城高三二模数学理科）在等差数列中,则_;设,则数列的前项和_. 【答案】，由，解得。所以。所以。9（2013北京朝阳二模数学理科试题）数列的前项组成
5、集合,从集合中任取个数,其所有可能的个数的乘积的和为(若只取一个数,规定乘积为此数本身),记.例如当时,;当时,.则当时,_;试写出_.【答案】,当时，所以。由于，所以猜想。10.（2013北京东城区二模数学理科试题）在数列中，若对任意的，都有（为常数），则称数列为比等差数列，称为比公差现给出以下命题：等比数列一定是比等差数列，等差数列不一定是比等差数列；若数列满足，则数列是比等差数列，且比公差；若数列满足，（），则该数列不是比等差数列；若是等差数列，是等比数列，则数列是比等差数列其中所有真命题的序号是_ 【答案】若等比数列的公比为,则为常数，所以一定是比等差数列。当等差数列的公差时，有，为比
6、等差数列。当等差数列的公差，不是常数，所以此时不是比等差数列，故等差数列不一定是比等差数列，故正确。若数列满足，则，不是常数，所以数列不是比等差数列，所以错误。由得。，因为，所以，即数列不是比等差数列。所以正确。若是等差数列，是等比数列，不妨设，则，所以，所以不是常数，所以数列不是比等差数列，所以错误。所以正确的命题是 11（2013北京昌平二模数学理科）本小题满分14分)设数列对任意都有(其中、是常数) .(I)当,时,求;(II)当,时,若,求数列的通项公式;(III)若数列中任意(不同)两项之和仍是该数列中的一项,则称该数列是“封闭数列”.当,时,设是数列的前项和,试问:是否存在这样的“
7、封闭数列” ,使得对任意,都有,且.若存在,求数列的首项的所有取值;若不存在,说明理由.【答案】解:(I)当,时, , 用去代得, 得, 在中令得,则0, 数列是以首项为1,公比为3的等比数列,= (II)当,时, 用去代得, 得, , . 用去代得, 得,即,. 数列是等差数列., 公差, (III)由(II)知数列是等差数列,. 又是“封闭数列”,得:对任意,必存在使 ,得,故是偶数, 又由已知,故.一方面,当时,对任意,都有. 另一方面,当时,则, 取,则,不合题意. 当时,则 , 当时, , 又,或或或 12（2013北京海淀二模数学理科）(本小题满分13分)123101设是由个实数组
8、成的行列的数表,如果某一行(或某一列)各数之和为负数,则改变该行(或该列)中所有数的符号,称为一次“操作”. () 数表如表1所示,若经过两次“操作”,使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数,请写出每次“操作”后所得的数表(写出一种方法即可);表1() 数表如表2所示,若必须经过两次“操作”,才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数,求整数的所有可能值;()对由个实数组成的行列的任意一个数表,能否经过有限次“操作”以后,使得到的数表每行的各数之 表2和与每列的各数之和均为非负整数?请说明理由. 【答案】(I)解:法1: 法2: 法3: (II) 每一列所有数之
9、和分别为2,0,0,每一行所有数之和分别为,1; 如果首先操作第三列,则 则第一行之和为,第二行之和为, 这两个数中,必须有一个为负数,另外一个为非负数, 所以 或 当时,则接下来只能操作第一行, 此时每列之和分别为 必有,解得 当时,则接下来操作第二行 此时第4列和为负,不符合题意 如果首先操作第一行 则每一列之和分别为, 当时,每列各数之和已经非负,不需要进行第二次操作,舍掉 当时,至少有一个为负数, 所以此时必须有,即,所以或 经检验,或符合要求 综上: (III)能经过有限次操作以后,使得得到的数表所有的行和与所有的列和均为非负实数.证明如下: 记数表中第行第列的实数为(),各行的数字
10、之和分别为,各列的数字之和分别为,数表中个实数之和为,则.记 . 按要求操作一次时,使该行的行和(或该列的列和)由负变正,都会引起(和)增大,从而也就使得增加,增加的幅度大于等于,但是每次操作都只是改变数表中某行(或某列)各数的符号,而不改变其绝对值,显然,必然小于等于最初的数表中个实数的绝对值之和,可见其增加的趋势必在有限次之后终止.终止之时,必是所有的行和与所有的列和均为非负实数,否则,只要再改变该行或该列的符号,就又会继续上升,导致矛盾,故结论成立 13（2013北京房山二模数学理科）设,对于项数为的有穷数列,令为中的最大值,称数列为的“创新数列”.例如数列3,5,4,7的创新数列为3,
11、5,5,7.考查自然数的所有排列,将每种排列都视为一个有穷数列.()若,写出创新数列为3,5,5,5,5的所有数列;()是否存在数列的创新数列为等比数列?若存在,求出符合条件的创新数列;若不存在,请说明理由;()是否存在数列,使它的创新数列为等差数列?若存在,求出所有符合条件的数列的个数;若不存在,请说明理由.【答案】()由题意,创新数列为3,5,5,5,5的所有数列有6个, 3,5,1,2,4; 3,5,1,4,2; 3,5,2,1,4; 3,5,2,4,1; 3,5,4,1,2; 3,5,4,2,1; ()存在数列的创新数列为等比数列. 设数列的创新数列为, 因为为前个自然数中最大的一个,
12、所以.若为等比数列, 设公比为,因为,所以 当时,为常数列满足条件,即为数列 当时,为增数列,符合条件的数列只能是, 又不满足等比数列.综上符合条件的创新数列只有一个. ()存在数列,使它的创新数列为等差数列, 设数列的创新数列为,因为为前个自然数中最大的一个, 所以.若为等差数列,设公差为, 因为,所以.且 当时,为常数列满足条件,即为数列(或写通项公式), 此时数列是首项为的任意一个排列,共有个数列; 当时,符合条件的数列只能是,此时数列是, 有1个; 当时, 又 这与矛盾,所以此时不存在. 综上满足条件的数列的个数为个(或回答个). 14（2013北京东城高三二模数学理科）已知数列,.(
13、)求,;()是否存在正整数,使得对任意的,有;()设,问是否为有理数,说明理由.【答案】(共13分)解:(); . ()假设存在正整数,使得对任意的,有. 则存在无数个正整数,使得对任意的,有. 设为其中最小的正整数. 若为奇数,设(), 则. 与已知矛盾. 若为偶数,设(),则,而 从而. 而,与为其中最小的正整数矛盾. 综上,不存在正整数,使得对任意的,有. ()若为有理数,即为无限循环小数, 则存在正整数,对任意的,且,有. 与()同理,设为其中最小的正整数. 若为奇数,设(), 当时,有.与已知矛盾. 若为偶数,设(), 当时,有,而 从而. 而,与为其中最小的正整数矛盾. 故不是有理
14、数 15（2013北京朝阳二模数学理科试题）已知实数()满足,记.()求及的值;()当时,求的最小值;()求的最小值.注:表示中任意两个数,()的乘积之和.【答案】解:()由已知得. ()设. 当时,. 若固定,仅让变动,此时, 因此. 同理. . 以此类推,我们可以看出,的最小值必定可在某一组取值的所达到, 于是. 当()时, . 因为,所以,且当,时,. 因此 ()设 . 固定,仅让变动,此时 , 因此. 同理. . 以此类推,我们可以看出,的最小值必定可在某一组取值的所达到,于是. 当()时, . 当为偶数时, 若取,则,所以. 当为奇数时,因为,所以, 若取,则, 所以 16（2013
15、北京丰台二模数学理科）已知等差数列的通项公式为an=3n-2,等比数列中,.记集合 ,把集合U中的元素按从小到大依次排列,构成数列.()求数列bn的通项公式,并写出数列的前4项;()把集合中的元素从小到大依次排列构成数列,求数列的通项公式,并说明理由;()求数列的前n项和【答案】解:()设等比数列的公比为q, ,则q3=8,q=2,bn=2n-1, 数列的前4项为1,4,7,10,数列bn的前4项为1,2,4,8, 数列的前4项为1,2,4,7; ()据集合B中元素2,8,32,128A,猜测数列的通项公式为dn =22n-1. dn=b2n ,只需证明数列bn中,b2n-1A,b2nA().
16、 证明如下: b2n+1-b2n-1=22n-22n-2=4n-4n-1=34n-1,即b2n+1=b2n-1+34n-1, 若mN*,使b2n-1=3m-2,那么b2n+1=3m-2+34n-1=3(m+4n-1)-2,所以,若b2n-1A,则b2n+1A.因为b1A,重复使用上述结论,即得b2n-1A(). 同理,b2n+2-b2n=22n+1-22n-1=24n-24n-1=324n-1,即b2n+2=b2n+324n-1,因为“324n-1” 数列的公差3的整数倍,所以说明b2n 与b2n+2同时属于A或同时不属于A, 当n=1时,显然b2=2A,即有b4=2A,重复使用上述结论, 即
17、得b2nA,dn =22n-1; ()(1)当n=1时,所以因为,所以S1=1; (2)当n2时,由()知,数列bn中,b2n-1A,b2nA,则,且kn,使得 下面讨论正整数k与n的关系: 数列中的第n项不外如下两种情况: 或者 , 若成立,即有, 若成立,即有 , 有或者, 显然=N*,所以. 综上所述,. 17（2013北京西城高三二模数学理科）已知集合是正整数的一个排列,函数 对于,定义:,称为的满意指数.排列为排列的生成列;排列为排列的母列.()当时,写出排列的生成列及排列的母列;()证明:若和为中两个不同排列,则它们的生成列也不同;()对于中的排列,定义变换:将排列从左至右第一个满
18、意指数为负数的项调至首项,其它各项顺序不变,得到一个新的排列.证明:一定可以经过有限次变换将排列变换为各项满意指数均为非负数的排列.【答案】()解:当时,排列的生成列为; 排列的母列为 ()证明:设的生成列是;的生成列是与. 从右往左数,设排列与第一个不同的项为与,即:, . 显然 ,下面证明: 由满意指数的定义知,的满意指数为排列中前项中比小的项的个数减去比大的项的个数. 由于排列的前项各不相同,设这项中有项比小,则有项比大,从而. 同理,设排列中有项比小,则有项比大,从而. 因为 与是个不同数的两个不同排列,且, 所以 , 从而 . 所以排列和的生成列也不同 ()证明:设排列的生成列为,且为中从左至右第一个满意指数为负数的项,所以 进行一次变换后,排列变换为,设该排列的生成列为. 所以 因此,经过一次变换后,整个排列的各项满意指数之和将至少增加. 因为的满意指数,其中, 所以,整个排列的各项满意指数之和不超过, 即整个排列的各项满意指数之和为有限数, 所以经过有限次变换后,一定会使各项的满意指数均为非负数
